duP àvV/u-Q

0/2 awra donc l'inégalité très importante

De là nous concluons une propriété essentielle du développement (i); la série, formée avec les modules des termes de la série

est convergente, quand x et y sont respectivement à l'intérieur des cercles C et G. On le voit de suite, puisque, en remplaçant I Ap,y I par sa limite supérieure, on a

el cette série est convergente quand -; <^ 1 , \-j

La fonction représentée par la série (2) s'obtient d'ailleurs immédiatement sous forme finie; ce n*est autre chose que

a6o CHAPITRE IX. .

comme le montrent les développements de et ; et Tap-

I « . rL.

plication de la règle de multiplication des séries.

Nous ferons plus tard grand usage de la fonction G(a:,^). Diaprés la manière même dont elle a été obtenue, on peut dire que ses dérivées partielles, toutes positives pour x = o, ^ = o, sont, pour ces valeurs des variables, supérieui*es aux modules de la dérivée correspondante de f{x^y) : on a les inégalités

dP-^^G

XdxPày

ÙP^*lf

oxP ôy'i

On peut trouver bien d^autres fonctions jouissant de la même propriété que Cf{x^y), Citons la suivante dont nous aurons aussi à faire usage

Le coefficient de xPy^y dans le développement de cette fonction, étant

se trouve supérieur à la limite trouvée pour les modules des

coefficients f{Xj y),

6. Nous nous sommes borné au cas de deux variables : tous ces calculs s'étendent à un nombre quelconque de variables. Pour une fonction

uniforme et continue à l'intérieur des cercles C<, Cj, . . ., C« de centre O et de rayons r^^ r.^, . . ., /'//, on a le déveloj)pemenl

cl l'inégalité I

I ^PlPi"'Pn I <1

rÇ.rÇ....//;-

conduit à des conséquences analogues à celles que nous avo&s obtenues pour le cas de deux variables.

GoogI(

DES FONCTIOr^S D£ PLUSIEURS VARIABLES I!<iDÉPENDANTES. 26 1

II. — Décomposition en facteurs d'une fonction de plusieurs variables. Fonctions implicites.

7. Ladécomposîlion en facteurs d'une fonclion d'une variable, qui permet de mettre en évidence les racines de cette fonction, n'est pas susceptible de s'étendre sous la même forme à une fonction de deux ou plusieurs variables. Ici, en effet, l'ensemble des valeurs des variables qui annulent la fonction forme une suite continue. On peut cependant, dans une certaine mesure, réaliser une décomposition qui mette en évidence la partie d'une fonction susceptible de s'annuler dans le voisinage d'un système déterminé de valeurs des variables.

Avant d'a-border ce point, commençons par montrer comment le théorème de Gauchy, démontré (Chap. VI, § 21) pour les polynômes, est susceptible de s'étendre à une fonction holomorphe quelconque. Nous nous bornons toujours, uniquement pour abréger, à une fonction de deux variables.

Soit donc une fonction F (x, y) holomorphe dans le voisinage de j7== o, j'=: o, c'est-à-dire dans les cercles de rayon ç^ et R. • On suppose que ¥{x^y) s'annule pour x=:o, y = oet que F (o, ^) ne soit pas identiquement nul.

Écrivons F(a:, y) sous la forme

les  étant des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de x=zo.

En désignant par M le module maximum de /{^^ y), on a

On suppose que

Ao(") = At(o) =...= A«,(oi = o et A„(o) y^ o. Nous voulons chercher le nombre des racines de l'équation en^.j

voisines de zéro, pour x suffisamment voisin de zéro

GoogI(

Écrivons

en posant

" \nr' A„j.«-i ' ••• ' Xny

Soit B le module minimum de À;,, x restant à l'intérieur d^un certain cercle dans lequel A^ ne s^annule pas et que nous supposerons être le cercle de ra^^on po« On aura, en désignant par /* le module de r,

Si donc on prend r assez petit, on aura

mod Q < - >

lorsque le point (x, y) est quelconque à l'intérieur des cercles de rajon p© pour x, et de rayon r pour y.

On aura, d'autre part, pour P, quand y reste sur le cercle de rayon r, en appelant A le module maximum de Aq, A,, . . ., A,,.. ,

"«°dP<w(i^7^.-^-+7-)'

et comme A©, A< , . . ., A„4 s'annulent pour x = o, on aura, si l'on prend pour domaine de x un cercle d'un ra^on p <C po assez petit, A aussi petit qu'on voudra. Prenons p assez petit pour que

alors on aura

mod P < - 9

X restant dans le cercle de rayon p et ^ sur la circonférence de rayon r.

Il est facile maintenant d'avoir le nombre des racines de l'équation en y

Ykt^ y) =0

GoogI(

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS YARIABLBS INDÉPENDANTES. a63

(a? ayant une valeur fixe dans le cercle de rayon p) contenues dans le cercle de rayon r. Il suffit d'étudier la variation de l'argumenl de F(j7, y) quand y décrit la circonférence de rayon r; or le module de P + Q étant inférieur à uriy l'argument de

reprend la même valeur. La variation de l'argument sera donc imzi et y par suite, le nombre des racines sera égal à n.

8. Cherchons quelle forme on peut donner à la fonction V^x^y). A cet effet, x ayant une valeur fixe dans le cercle de rayon p, effectuons, sur le cercle de rayon r dans le plan des y^ l'intégrale