il

y désignant un point quelconque à Tinlérieur de (r). En développant — ——7 suivant les puissances entières de^', on voit immédiatement que celte intégrale est de la forme

les G étant des fonctions holomorphes de x. D'autre part, en désignant par

yu ytj .-., y H

les n racines de F^x^y) = o, contenues dans le cercle de rayon r, cette intégrale est aussi égale à la somme des résidus de la fonction

sous le signe d'intégration, relatifs aux pAles^,, ^2 y„ et r ,

c'esl-à-dire à

àF ^

ày ] I I

^ / y=y yx—y y il

On a donc, en remplaçante^ P^ir j^, et posant

/(y) = (y -yi)(y -r» > • • • (y ->•«).

GoogI(

l'idenlilé

dF ^ iL

H(j7,^) étant une fonction holomorphe de x et y, lorsque ces points sont respectivement à rintérieur des cercles de rayon p et r.

D'ailleurs /{y) est un poljnome en y

dont les coefficients sont des fonctions holomorphes de x, l*oiir le voir, effectuons encore sur le cercle (/•) l'intégrale

C'est une fonction holomorphe de x, qui est identiquement égale à la somme

^i' -t- rî-^- •••-+- jS

des résidus de la fonction intégrée, c'est-à-dire que les sommes des puissances semblables Aq y^^ . .,,yn sont des fonctions holomorphes de X, el, par suite, enfin les coefficicnis a. Nous pouvons donc écrire

F{x,y)==/(x,y)Ce^*i^^^y\

^ti^^y) étant encore holomorphe, et C une constante par rapport à yj c'est-à-dire une fonction de x qu'il est facile de déterminer : en faisant y =yo^ y a étant sur le cercle de rayon r, on aura

or F(j7,j^o) et /(^5 ^o) i^e s'annulent pas quand x est à l'intérieur du cercle p. Il en résulte que nous pouvons écrire

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES LN DÉPENDANT ES. '2 05

K(x,^) étant une fonction holomorphe qui ne s^ annule pas quand x et y sont à V intérieur des cercles p et r; de plus, fi^ty) est un polynôme en y dont le premier coefficient est V unité et dont les autres coefficients sont des fonctions holomorphes en ^ (*).

On voit que celte décomposition met^ en quelque sorte, en évidence la partie de la fonction V{x^y) qui s^ annule dans te voisinage de x^^r:: o, y = o.

9. Une conséquence très importante peut se déduire du théorème précédent, relativement à l'existence des fonctions implicites. Considérons l'équation

F( J7, y) étant holomorphe dans le voisinage de j: = o, j^ = o. Je

(/in* \ j-j ne soit pas nulle, c'est-à-dire que le nombre

n du paragraphe précédent soit égal à un.

On aura donc

^(^,y) = [y'^ci,(x)]K{x,y),

a, étant holomorphe en x et s'annuiant pour x = o. L'ensemble des valeurs de ;r et j^ voisines de zéro et satisfaisant à Téqualion

FU,y) = o doit nécessairement vérifier la relation

puisque K(x,y) ne s'annule pas dans le voisinage de x = o^ y = o.

L^ existence de la fonction implicite y de x est ainsi démontrée. Sous la condition indiquée, l'équation F=o définit une fonction holomorphe de x dans le voisinage de j? == o.

(•) Ce théorème a été, depuis i86o, enseigné par M. Weierstrass dans ses Leçons de rUniversité de Berlin. Voir Ab/iandlungen aus der Functionenlehre von K, Weierstrass (Berlin, i886). La démonstration qu'on vient de lire est due à M. Simart.

GoogI(

Soit, en parliciilier, Téquation

G(^) élanl holomorphe dans le voisinage de ^' = o et s^anniilant pour celte valeur. Si G'(o)7^o, Téquation précédente di^finJra une fonction j^ de x holomorphe dans le voisinage de Tori^cine. Il est facile d'étudier le cas où l'on aurait

G'(o) ^ G''(o^=...= G/'~«(o) = o, G''(o) n'élant pas nul. On a, en eflet,

r = j'/'( A -h B K -t-. . . ), A 7^ o, et, par suite, en posant ^'x'=^ x\

x' = jy'i^\~-^ H V -+-.,. .

Or, la fonction sous le radical ne s'annulant pas pour y = o, la détermination choisie pour le radical sera holomorphe dans le voisinage de l'origine et l'on se trouvera ramené au cas précédent ^ par suite, y se mettra sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances de x\ c'est-à-dire de [/x. La fonction y a donc p déterminations qui se permutent autour de l'origine.

10. L'analyse qui vient d'être développée s'étend d'elle-même à un nombre quelconque de variables indépendantes. Soit une fonction

des n -f- I variables indépendantes y^ Xt, Xj, . . ., x,,^ s'annulanl pour y = Xi=: , .. = x„ = o. Si, pour Xi = X2= -- - = x,t= o, le développement de

commence par un terme en^^, on pourra écrire

Fiy, xu JTi, ...,cr;.) = (j'f-^ ^i J''"* 4-. ..-^a,,) K(y, Xu ^i. . . ., a-„),

la fonction holomorphe K ne s'annulant pas dans le voisinage de y = Xi=r ,,. r^ x„^= o et les a étant des fondions holomorphes

QC X \ ^ X-2^ ••«7 Xfi ■

GoogI(

DBS FONCTIONS 1)B PLUSIEURS TARIABLES INDÉPENDANTES. !>.67

11. De ce résultat noii« pouvons conclure Texîstence et la nature des fonctions implicites définies par le système d'équations

Nous supposons que les fonctions F s'annulent pour

a-, ^ J-, = . . . -^ Trt = ^1 = . . . :=r ^,, = O

et que pour ces valeurs le déterminant fonctionnel

ne soit pas nul. Dans ces conditions, nous allons montrer que CCS équations définissent, pour j^<, y^j •••i J*^» d^** fonctions holomorphes dans le voisinage de o^i = ^^ = . . . = jj/i = o.

Pour l'établir, supposons la proposition démontrée, n étant quelconque, jusqu'à un nombre p — i d'équations. Nous allons montrer comment on peut passer de p — i à p. Remarquons d'abord que les dérivées partielles du premier ordre

OFi âFj àFj^

ôyi' àyt* ■*■' Oyp

ne s'annulent pas toutes quand les x et les y sont simultanément nuls. Soit, par exemple, la dernière de ces dérivées différentes de zéro : nous pourrons écrire

rti étant holomorphe en j?,, a;^, • . ., Xp, ^i, ^j, . . ., yp-i et K n'étant pas susceptible de s'annuler quand les x et les y sont suffisamment petits. Nous pouvons donc remplacer la première équation par

et, par suite, en remplaçante^ par — ai, dans les équations suivantes, nous sommes ramené au cas de p — i équations. Il est facile de voir que le déterminant, correspondant à ces p — i équa-

GoogI(

tion^, ne sera ]

as nul ; nous avons d'abord, en effel^ le déterminant

oFj uFf 'iy\ àyl

ô¥p oFf,

Octi

<iy,,-i

ov

àyp

diffërenl de zéro quand les x et les y sont nuls. D*autre part, le déterminant fonctionnel de

considérées comme fonctions de ^i, y^^ . . . , Vp i, quand on a remplacé ^^ par — a^ n'est autre chose que

oF, o¥t àax ayx OYp dyx

ÔF,

àyp-i

*^yp '^yp-y

iiF,, OFp ùax '{ri 'b'p ^yi

oF„ 'irp-t

oFp dax àyp àyp^i

et ce déterminant est au signe près identique au précédent, comme le montre l'application des ihrorèmes les plus élémentaires sur les déterminants.

Le théorème relatif à l'existence et à la nature des Jonctions implicites est donc complètement établi. Sous la condition Indiquée relative au déterminant fonctionnel, les équations (4) définissent poury,, Va? - - '^Xp ^^^ fonctions liolomorphes dans le voisinage de J^|= j'a^ . . . = j?,i= o.

III. — Des intégrales multiples de fonctions de plusieurs variables complexes. Extension du théorème de Cauchy, d'après M. Poincaré.

12. Avant d'arriver au sujet qui fera le principal objet de cette Section, il est nécessaire que nous généralisions l'étude faite précédemment (t. I, p. iî3) des intégrales de surface.

Soient j-, , .r.j, . . ., Xm des variables en nombre m; nous consi-

GoogI(

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS YARIABLlS INDÉPENDANTES. 269

dérons Tintégrale double

expression purement symbolique, jusqu'à ce que nous lui ayons donné un sens, et dans laquelle, d'après les définitions qui vont suivre, Tordre des deux facteurs dxidxk n'est pas indifférent^ les A représentent des fonctions de X\^ x^^ ..., j?,«. Nous convenons

que

A/A = — Aai,

ce qui entraîne A/,=:o; les indices if et A: prennent toutes les valeurs de i à m. L'intégrale (I) n'aura de sens que quand nous aurons fixé dans Tcspace à m dimensions (j7|, ^7^, . . . , J7m) la surface d'intégration. Concevons, à cet effet, que Ton prenne pour Xj, X'x^ . . ., x„i des fonctions de deux variables // et v^ cl soit une certaine aire  dans le plan des deux variables u et r.  l'aîre A du plan (w, i^) correspond dans l'espace à m dimensions {xx^ X2j ..., X/n) «ne certaine portion de surface, et l'intégrale (1) étendue à cette portion de surface sevA^ par définit ion y l'intégrale double ordinaire

f.fi^"'-mi'-'"

étendue à l'aire A. Comme précédemment, nous posons

D(ir/, :r;t) dar,- dx^ ôxi âx/- D(«,<^) ~~ au Ov ôv Ou

On voit que, à cause de la relation A|*=: — A^/, les deux termes qui correspondent aux deux couples ik et A*/ s'ajoutent. Remarquons encore que, si l'on permute u et i^, l'intégrale précédente change de signe; nous pouvons dire alors, conformément à ce qui se passait dans l'espace à trois dimensions, que l'intégrale est prise sur l'autre côté dé la suface (voir loc. cit,, p. 126).

13. Nous devons nous poser pour l'intégrale (I) une question analogue à celle qui a été étudiée pour les intégrales de surface. A quelles conditions cette intégrale ne dépendra-t-elle que du contour de la surface d* intégration? Pour bien préciser la

GoogI(

question, nous pouvons supposer qu'on se donne arbilrairemenl une aire  dans le plan (u, v) et que les expressions de x^, X2, ••-^ Xmy 6n fonction de u et v^ dépendent en plus d'un paramètre arbitraire et cela de telle manière que Xty X2f • • •* x,n aient le long du contour de A des valeurs indépendantes de ce paramètre : dans ces conditions on veut que la valeur de (l) ne dépende pas de ce paramètre.

Avant d'aborder cette question, commençons par supposer que les X soient des fonctions d'ailleurs arbitraires de trois variables X,

Y, Z, soit

L'intégrale (1) va alors devenir une intégrale de surface dans l'espace ordinaire à trois dimensions, et, si l'on conçoit X, Y, Z exprimées en fonction de deux paramètres u et v, on aura, comme le montre un calcul immédiat,

L'intégrale pourra donc s'écrire

c'est sous cette forme que nous avons précédemment écrit les intégrales de surface.

Cette intégrale ne dépendra que du contour de la surface d'intégration, si l'on a

oZlZ^'" D{X,\)\^0\[2é^'' D(Y,Z)J

Développons cette relation. Les termes en A,'jt disparaissent d'eux-mêmes, en vertu de l'identité facile à vérifier

àZ D(X,Y) '*'<;X D(Y, Z) "^ oY D{Z, X) ~

GoogI(

DES FO.NCTIOMS DK PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 27 1

Il resle alors

^ V ^(fi^f^"^ / V ^ ^\ -

^^ D(Z,X) \^dx„ d\)~''

OU, en réunissant tous les termes dans une sommation triple,

... X? {à^ik , àXun ■ àAni\ D(/i,/k,A) ^

■ ' ZrfV^a7A dxi dxk ) D(X,Y, Z) ~ "

Celte sommation est étendue à toutes les combinaisons trois à trois /, Âr, h des chiffres 1,2, . . ., m. On remarquera que le terme correspondant à la combinaison i^ A', h reste le même, quel que soit Tordre dans lequel on prenne ces trois lettres.

14. Revenons maintenante la question posée au début du paragraphe précédent : nous allons de suite trouver des conditions nécessaires. Considérons, en effet, seulement comme variables trois des lettres x, soient j?/, x^, Xh, les antres étant des constantes arbitraires. Dans l'espace à trois dimensions (^/, x*, Xh) la condition que nous venons de rappeler doit être remplie; on aura donc

dx/i dxi àxk

et cela quels que soient les valeurs des x. Nous obtenons ainsi autant d'identités nécessaires qu'il y a de combinaisons de m lettres trois à trois. U faut montrer maintenant que ces conditions sont :>ufii santés.

Nous devons concevoir que les x aient été exprimés en fonction de deux paramètres 2/ et (^ et d'une constante arbitraire e

jr/=^/(M, p, e) (t = 1, 2, ..., m),

e variant entre certaines limites, et l'on suppose que les valeurs des ^ ne dépendent pas de e quand le point (i/, r) est sur le contour  dont nous avons parlé plus haut. // faut montrer que V intégrale (I) ^^ dépend pas de s.

GoogI(

Posons

Noire intégrale va alors devenir une intégrale de surface dans l'espace à trois dimensions (X, Y, Z) et, les conditions (6) étant remplies, rintégrale le long de toute surface fermée de cet espace sera nulle.

Pour e = o, l'intégrale (l) sera étendue à l'aire A du plan des (X, Y); pour s arbitraire, elle sera étendue à l'aire B, section par le plan Z = s du cylindre dont A est la section droite (/ig'' 28).

Fig. a8.

Nous devons établir l'égalité de ces deux intégrales, en les supposant, bien entendu, prises dans le même sens, c'est-à-dire pour une même direction de normales, soit les z positifs.

Or le cylindre et les aires A et B limitent un volume L'intégrale prise le long de la surface totale de ce volume cylindrique esl nulle, puisque les relations (6) sont vérifiées; le résultat que nous avons en vue sera donc établi, si nous montrons que l'intégrale prise sur la surface latérale du cylindre est nulle. Or il en est bien ainsi; en effet, les x ne dépendant pas par hypothèse de e quand le point (u, r) esl sur le contour A, les déterminanls fonctionnels

seront nuls sur la surface latérale, et, par suite, l'intégrale relative à celle surface sera égale à zéro. Les conditions trouvées comme nécessaires sont donc suffisantes.

Nous avons, dans tout ce qui précède, supposé implicitement que les A étaient des fonctions bien déterminées et continues des or pour les systèmes de valeurs que nous avions à considérer. En

GoogI(

DBS FO.^GTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 278

parliculier, Tinlégrale étendue à une surface que l'on déforme, en laissant ses bords invariables, ne gardera la même valeur que si cette surface, en se déformant, ne rencontre pas des systèmes de valeurs des X pour lesquelles les A deviendraient infinies ou mal déterminées. Tout cela est entièrement analogue à ce que nous avons dit longuement au Tome I pour le cas de trois dimensions; il est inutile d'insister.

15. Nous pouvons maintenant nous occuper des intégrales multiples de plusieurs variables complexes.

Nous nous limiterons aux cas de deux variables complexes x et y, M. Poincaré a étendu aux intégrales doubles le théorème fondamental de Cauchj (*); c'est ce que nous allons montrer.

Q^ue doit-on entendre par V intégrale double

(J) j JY(x,y)dxdy}

Cette expression n'a en elle-même aucun sens, mais il n'y a aucune hésitation à avoir sur la définition à adopter. Posons

ar = Xi -h m:,, ^ = j-j -h «jr^,

et considérons, comme plus haut, X|, x^, X3, Xi^ comme fonctions Je deux paramètres u et r : soit A une certaine aire dans le plan (w, i'). L'intégrale

sera, par définition, la valeur de l'intégrale (J) étendue à la porlion de la surface de l'espace à quatre dimensions (^1,^2, a?s, ^4) qui correspond à Taire A du plan (e/, (?). On voit qu'on peut permuter X et ^; on aura une seconde intégrale égale et de signe contraire; on peut dire qu'elle est étendue à l'autre côté de la surface.

Mettons en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de

(^) PoiNGARB, Sur les résidus des intégrales doubles {Acta malhematica, 1. IX).

GoogI(

l'intégrale; en remplaçant x et y par leurs valeurs et posant F = P 4- /Q, on obtient

l D(ii,v) D(u,v) ]]

Nous avons donc respectivement comme parties réelle et imaginaire

r r\ry[^(f:u^) D(^»ar»)i ^[dcxj.x^) ix^i.^i^v ^.,.,

J J rLDe^.»') " D(«,P) J"^*^L D(«,.) -^ D(./,.)Jr^^^'

que Ton peut écrire, sous forme plus abrégée, en se reportant aux définitions,

/ / P{dxi dx^ — dxt dxi,) — Q(^î dx^ H- dxx dx^ ), / / Q ( dxi dxz — dxf dxi, ) -4- P {dx^ dx-i -^ dxi dx^ ),

intégrales de même forme que celles qui ont été étudiées au paragraphe précédent.

Tout ceci étant bien compris, il est facile de décider si Ton peut étendre à ces intégrales doubles le théorème fondamental de Cauchy. En d'autres termes, l'intégrale double ci-dessiis restet-elle invariable quand on dé/orme la sur/ace d'intégration en la faisant toujours passer par le même contour?

Nous allons voir que les conditions trouvées au paragraphe précédent sont vérifiées. Prenons la première de ces intégrales

/ / P{dxi dxi — dxf dxi, ) — Q{dxi dx^ -i- dxi dx^ ). Si nous l'écrivons comme plus haut sous la forme

GoogI(

on doit poser

A 13 = — Aji = -- »

Ai; = — A41 = - — ,

les autres  sont nuls.

Or nous avons l'cf à vérifier quatre conditions, puisque quatre est le nombre des combinaisons de 4 lettres trois à trois. Soit d^abord la condition

elle se réduit à Soit encore elle se réduit à

dXi dxx dxn

dxi dxt ~

ÙXxn <^A.i4 (^Al«

OX^ Ox* OXi

dx,^ dxn

Les deux relations entre P et Q que nous venons de trouver sont vérifiées; ce sont, en effet, deux des relations exprimant que P+iQ est une fonction analytique de x^ -H 1X2 et OTs-f- iXi, On s'assurera de la même manière que les deux conditions restantes, relatives à l'intégrale considérée, sont vérifiées pour la même raison. Il en est aussi de même des conditions relatives à la seconde intégrale : nous pouvons donc affirmer que le théorème de Cauchy s^ étend aiix intégrales doubles,

16. Le théorème qui vient d'être établi peut, comme dans le cas d'une seule variable, s'énoncer sous une autre forme. Considérons, dans l'espace à quatre dimensions (oti, x^^ x%^ ;r.|), une surface fermée; une telle surface, par exemple, pourra être obtenue en prenant

GoogI(

a^Ô CHAPITRE IX.

les <p étant des fonctions de u et p, périodiques par rapport à m et par rapport à v. Nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui n'est qu'une autre forme de la proposition du paragraphe précédent :

L'intégrale

F{x,y)dxdj,

Jp

prise le long dUine sur/ace fermée, sera nulle.

On sous-entend dans cet énoncé que la surface peut, par une déformation continue, se réduire à un point ou à une courbe, de telle manière que, pour l'ensemble des valeurs de :r et j^ rencontrées par la surface pendant cette déformation, la fonction F ne cesse d'être bien déterminée et continue. La démonstration est immédiate; en eifet, on pourra alors réduire la surface à un point ou à une courbe par une déformation continue et, pendant cette déformation, la valeur de l'intégrale ne changera pas :. or la valeur de rintégrale double ne peut être que zéro, puisque l'aire de la surface d'intégration tend vers zcro.

IV. — Des résidus des intégrales doubles de fonctions rationnelles (*).

17. Si une sur/ace fermée ne peut être réduite à un point ou à une courbe, par une déformation continue, sans rencontrer des systèmes de valeurs de j? et de ^, pour lesquelles F (a;, y) devienne infinie ou indéterminée, la valeur de l'intégrale pourra être différente de zéro : on appelle alors celle valeur un résidu de l'inlégrale double. Dans ce qui va suivre, nous nous bornerons au cas où le continnum d'intésrration reste tout entier à distance finie.

(^) La notion de résidu des intégrales doubles de fonctions rationnelles est duo à M. Poincaré [Sur les résidus des intégrales doubles { Acta Malhematica, t. I.X.)]. Le point de vue auquel nous nous plaçons ici est celui que j'ai adopté dans mon Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, 1889), et dans une Note du Tome CXXIV des Comptes rendus.

Nous supposons, dans celte section, que le lecteur connaît la théorie des inlégrales abéltennes; celte théorie sera développée dans un Chapitre suivant.

DRS FONCTIONS DE PLUSIEURS YARIABLES INDÉPENDANTES. 277

PrenoQS d'abord un exemple très simple; soit (^intégrale

P{x, y) étant une fonction holomorphe de x et y dans le voisinage de x = o, y = o. 5e considère la surface définie par les deux équations

les paramètres réels u et i^ variant de o à S'n : c'est une surface fermée. La valeur de l'intégrale sur cette surface est

-/ / P(Re«sRVO^ttrfi',

dont la valeur est manifestement

— î:tîP(o,o).

On aurait pu prendre, comme surface d'intégration, l'ensemble de deux courbes fermées C et C entourant une fois l'origine dans les plans respectifs des variables x e\. y. Le résultat aurait été le même. Suivant le sens d'intégration sur les deux courbes C et C, on peut obtenir des résultats de signes diflTorents.

L'intégrale double

J J j""y' -^ nous donne, dans les mêmes conditions,

el, en développant ^{x^y) suivant les puissances de x et y, restera simplement, comme valeur de l'intégrale,

4 7:^ / a^-»-n-îp \

18. Présentons immédiatement quelques considérations générales. Soit l'intégrale

GoogI(

27S CHAPITKfi IX.

P et A étanl deux, polynômes en x et y y réductibles ou irréductibles. Pour une valeur donnée à y^ Téquation en x

a un certain nombre de racines. Traçons dans le plan de la variable X un contour fermé C contenant. à son intérieur un certain nombre de racines

de Téquation précédente. Quand j' varie d'une manière continue, les X varient d'une manière continue; déformons en même temps d'une manière continue le contour C de façon que les racines X\^ x-i-, . . ., J7a restent toujours à son intérieur et que les racines deTéquation A, primitivement extérieures à C, lui restent toujours extérieures. Supposons que la variable y décrive alors dans son plan un contour fermé F lel que, quand elle revient au point de départ, les racines j:,, ar-j, .. ., x^l reprennent la même valeur ou soient seulement permutées entre elles, et que le contour C puisse à l'arrivée reprendre la même position qu'au départ. Dans ces conditions, l'ensemble des courbes C, correspondant aux divers points de F, peut être regardé comme formant un continuum fermé à deux dimensions dans l'espace à quatre dimensions. La fonction rationnelle

reste finie pour tous les points de cette surface, et la valeur correspondante de Fintégrale double est en général différente de zéro.

19. Faisons une première application de ces généralités. Nous envisageons l'intégrale

Q et K étant deux polynômes, et nous supposons que le point d? = o, j' = o soit un point simple de rencontre des deux courbes Q = o et R = o. Pour une valeur de^ voisine de zéro, Féquation Q = o a une racine Xx voisine de zéro, et l'équation R = o une

GoogI(

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 279

racine x^ voisine de zéro, de lelle sorte que

Q(^i,r) = o> ^{xt,y) = 0.

Prenons comme courbe C une courbe dans le plan des J7 enlou-

Fig. 29.

ranl^Tf et laissant ^^2 à son extérieur. Quand la variable j^ décrit autour de l'origine une courbe fermée F suffisamment petite, les points Xi et x^ reviennent à la fin à leur position initiale, et si C, en se déformant, reste suffisamment rapproché de J7|, il laissera toujours x^ à son extérieur. On peut par exemple supposer, si Ton veut, que C est un cercle de rayon assez petit, ayant x^ pour centre.

Cherchons la valeur de l'intégrale prise le long de la surface fermée correspondant à F et à l'ensemble des courbes C. Laissant d'abord y constant, nous avons à prendre, dans le plan des j?, Fintégrale

Il faut donc calculer le résidu par rapport à x^ de la fonction rationnelle

Nous avons, pour valeur de cette première intégrale,

«t il faut prendre maintenant dans le plan des jk

VpQx(^i,r)R(^i,r)^

Au dénominateur, B,{Xi^y) est une fonction de ^' s*annulant pour y = o. Or, le résidu pour j' = o de la fonction sous le signe

GoogI(

28o CHAPITRE IX.

d'inlégralion est

Or

dxi

On trouve donc, pour la valeur de Tinlégrale,

/dh. àQ dH. àQ\ \0y dr àx ày ) x=

Il esl aisé de vérifier que, sî Ton avait pris un contour C enveloppant les deux racines Xx et^^^ 'a valeur de Tintégrale aurait été nulle.

20. Un cas présentant une grande analogie avec celui qui vient de nous occuper est celui où Ton aurait l'intégrale

Lr-m^'^-

la courbe A(j?, j') = o ajanl un point double à l'origine. Nous avons pour y voisin de zéro deux racines x^ et x^\ nous considérons les mêmes courbes que plus haut. On a alors à calculer

iy \A^uy) Le résidu de la fonction sous le signe d'intégration esl

Or, pour J)' = <), —A satisfait à l'équation du second degré

GoogI(

DES FONCTIONS DE PLLSIEL'KS VARIABLES INDÉPENDANTES. 28 1

el l'on trouve alors de suite pour valeur de l'intégrale :

[v/^\xv)'-A>A;Or:=o

Ceci suppose que l'on n'a pas un point derebroussement. Dans ce cas, les deux racines x^ et X2 se permutent quand y tourne autour de l'origine, et pour que la sur/ace considérée soit fermée, il faut que y tourne deux fois autour de l'origine. On a alors à prendre l'intégrale

-nxuy)

"fi

le long d'une courbe entourant deux fois l'origine, et l'intégrale est nécessairement nulle.

21. Après ces exemples, revenons aux considérations générales du § 18. Le cas le plus simple serait celui où le contour C ne contiendrait qu'une seule racine x^ à son intérieur; il faudrait alors que le contour F du plan des y fût un cycle pour la racine X\ de l'équation

de telle sorte que X\ revienne à sa valeur initiale quand y décrit F. En intégrant d'abord, en laissant jk constant, nous avons

e't rintégrale cherchée est égale à

Jyk'^iXuy) ^

Elle est donc égale à une période d^une intégrale /ibélien ne relative à la courbe A.(x, y) = o ou à une de ses courbes composantes, dans le cas où A serait réductible.

Soit maintenant d'une manière générale

Xi, Xf, ..., Xx

un ehsemble de racines situées dans C et se permutant les unes dans les autres quand j^ décrit F. Nous pouvons substituer à C un

certain nombre de courbes fermées de telle sorte que chacune d'elles ne contienne que des racines se permutant circulairement les unes dans les autres, et notre surface primitive sera ainsi remplacée par un certain nombre de surfaces plus simples. Il suffira de considérer l'une d'elles, et de supposer par conséquent que C ne renferme que a?i, x^j . . • , ^ji, en admettant que celles-ci se permutent circulairement. Nous aurons comme valeur de l'intégrale

Or, d'autre part, la courbe F parcourue |ji fois formera évidemment un cycle pour la racine Xx\ formons alors l'intégrale

le long du cycle ainsi défini. La valeur de cette intégrale sera égale à l'expression (2), les différents termes de cette expression correspondant aux différents tours faits sur la courbe F. Nous retrouvons donc encore y comme plus haut y une période d* intégrale abélienne.

Prenons, comme application, l'intégrale double

On formera l'intégrale simple

dy

xjd r dy 3 J x^

X étant lié à y par la relation

Les deux périodes de cette intégrale elliptique de première espèce seront les résidus de l'intégrale double (3).

22. Nous venons d'indiquer une classe très étendue de surfaces fermées pour lesquelles la valeur correspondante de l'intégrale double se ramène à une période, polaire ou cyclique, d'une intégrale abélienne. On peut se demander si la valeur de V intégrale

GoogI(

DBS FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 2^3

double d^ une fraction rationnelle

dxdy.

prise suis;>ant une surface fermée arbitraire, tout entière à distance finie, assujettie seulement à ne pas rencontrer le continuum défini par l'équation

se ramènera à une somme de multiples des valeurs que nous venons de trouver, La réponse est affirmative, et c'est ce théorème que nous allons établir.

Si l'on pose x = iTi -h ix^t y ^yt-h iy-i^ toute surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre

•2™i7 ^j, y\y yt-

Nous supposons que le champ d'intégration ne corresponde pas à X arbitraire, y restant constant, auquel cas l'intégrale serait nulle. Nous admettons aussi que le polj'nome A(Xjy) et ses divers facteurs irréductibles (s'il est réductible) contiennent simu lia Dément X et^, comme on peut toujours le supposer, en avant fait préalablement une substitution linéaire.

Pour une valeur donnée à j^j? l'équation

ou, ce qui revient au même, les deux équations

définissent un ensemble de valeurs de Xi, x^^ ^l'que l'on peut regarder comme représentant un certain nombre de courbes gauches a dans l'espace à trois dimensions (â?i, x^^ y\). Chaque plan

y^ = coiisl.

rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir le nombre des racines de Téquation A(j:, J') = o pour une valeur arbitraire donnée à y. Sauf pour certaines valeurs de^'^ en nombre fini, l'ensemble des courbes a

GoogI(

ne présenle pas de points multiples; les valeurs de j^^ pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de î dans les valeurs de y pour lesquelles Téquation A(Xy y)= o a une racine multiple.

Ceci posé, revenons à notre surface fermée S d'intégration conçue tout à fait d-une manière générale. La suriace étant tout entière à distance finie, il n'y aura de points de la surface que pour des valeurs de y2 comprises entre deux certaines limites at et a^ (a^ <C ft'j)- Quand y2 en croissant devient égale à a^^ une courbe corres|)ondante commence h paraître sur S. Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont venues se confondre; dans tonte autre hypothèse la surface ne serait pas fermée. La courbe ne peut d'ailleurs, pour j^2=ai, se réduire à un point si l'on veut que rintégrale soit différente de zéro, car pour j'j arbitraire la courbe correspondante, extension de ce point, ne tournerait pas autour des courbes a, et l'on pourrait, par une déformation continue, réduire à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface. Nous avons donc pour j^2= ai une certaine courbe, enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y^ croît, cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi pour y^ arbitraire des couples de courbes qui, pendant la variation continué de r^, ne peuvent disparaître que deux par deux en venant à coïncider. Nous désignerons par C une de ces courbes correspondant à une valeur d'ailleurs quelconque de ^'j.

Considérons alors une courbe C et les lignes a qui correspondent à la même valeur de y. 2- Par cette courbe C faisons passer une surface S ayant C pour contour. Celte surface renconlrera une ou plusieurs lignes a; soient M ces points de rencontre. Une ({(''formation continue de C permettra, en supprimant des lignes parcourues deux fois en sens inverse, de la réduire à de petites courbes entourant les points M. On pourra ensuite déplacer ces dernières courbes de manière qu'elles soient chacune dans un plan

yi = consi.,

toutes ces réductions et tous ces déplacements s'effectuant d'ailleurs sans traverser les lignes a. , De cette façon nous avons remplacé la surface initiale S par

GoogI(

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉl'ENDANTES. 28.*)

un certain nombre de surfaces engendrées par une petile courhr située dans un plan

Kétant une constante, qui varie avec ^2 suivant une loi en grande partie arbitraire. Chacune de nos nouvelles surfaces rentre dans le type des surfaces étudiées au paragraphe précédent; rensemble des valeurs de y^ et de y\ donne sur le plan de la vaiiable y une courbe fermée, et à chaque point de cette courbe fermée correspond une petite courbe dans le plan de la variable x. Le théorème est donc établi.

Il est donc démon Iré que tout résidu de l'intégrale double

ff

\(jr.y)

peut être regardé comme une période logarithmique ou cyclique d^une intégrale abélienne,

23. Considérons, comme application, une intégrale double étudiée il j a longtemps déjà par Didon [Sur une formule de Calcul intégral (Annales de l'École Normale, iSjS)]. Ce géomètre, guidé sans doute par la pensée de trouver le nombre des racines communes à deux équations simultanées

racines pour lesquelles Vx fût compris dans un certain contour il du plan des x, tandis que Vy devait être à l'intérieur d*un contour C du plan des y^ considéra Tintégrale double

A dx dy

oùA=3^:r»- — -7- -r-i la variable x décrivant C el la variable y

dx oy dy ox -^

décrivante. On suppose, bien entendu, qu'il n'y a pas de système (x^y) annulant soit/, soit <p pour lequel x soit sur C et / sur C. Celte intégrale offre évidemment une certaine analogie avec l'intéi(rale de Cauchy

dx ,

a86 CHAPITRE IX.

qui est égale au produit par 27:1 du nombre des racines contenues dans C.

Didon démontre que Tintégrale (4) est égale au produit de (^Tziy par un nombre entier, mais ici ce nombre entier n'a, en général, aucune relation avec le nombre des racines communes aux deux équations. Au point de vue où nous sommes placé, le résultat de Didon devient évident, et Ton peut même lui donner une forme plus générale en considérant l'intégrale double

tidx dy

étendue à une surface fermée quelconque à deux dimensions S de l'espace à quatre dimensions, pourvu que sur cette surface fo^ soit toujours différent de zéro. Posons

à la surface S de Pespace à quatre dimensions {x^ y) correspond une surface fermée 2 de l'espace (X, Y); on a donc à considérer l'intégrale double

Or tous les résidus de cette intégrale double sont égaux à un multiple de (aui)*; on a donc pour valeur de l'intégrale (4) une expression nécessairement de la forme

p étant un entier positif ou négatif.

11 serait facile de démontrer directement ce résultat sans recourir à aucune théorie sur les intégrales de fonctions de deux variables complexes; c'est ce que fait Didon. Considérons d*abord

l'intégrale

df d^ dx dy

If-

Désignons par Xq etj^o ^^s valeurs initiales d'intégration sur C et C; prenons une détermination initiale de

\og/{xo,yo),

GoogI(

DKS FONCTIONS OB PLUSIEURS VARIABLES INUÉPE.NDAKTKS. 287

el, dans la suite, log/(x,y) désignera la délerminalion obtenue du logarithme, quand x el^onl marché respectivement sur C et C depuis Xq et^o dans le sens positif. En intégrant par parties, ou a

Iog/(j?^,^') indique la valeur de iog/(x,y) quand x revieni en Xo; la diflerence des logarithmes qui figurent dans l'intégrale double du second membre est donc égale à 27ri/n, m étant un entier. On a de la même manière

et la valeur de log/( j?, j^'^) — logf{x,jo) est égale à 2um, n étant un entier. La valeur de l'intégrale (4) se met alors sous la forme

L J^.o{x^,y) " Je ?i^*yo) J

or on a évidemment

f ^ IjLJ. dy = 7,T. i . n\ I ^ — dx ^-xT.i.m ,

m' et n' étant des entiers; nous arrivons donc à — 4'ï^*( mn - m' n)y

qui est bien de la forme voulue. La signification des entiers ni et /i est d'ailleurs immédiate, mais le coefficient de — 4^^^ peut avoir une valeur absolue différente du nombre des racines des équations /= o, » = o, pour lesquelles Vx est compris dans G el Vjr dans C.

C'est par une tout autre voie qu'on pourrait obtenir le nombre

GoogI(

des racines des deux équations

pour lesquelles Vx est contenu dans le contour C, et 1^ conleim dans le contour C. On sait, en effet, qu'on peut représenter (*) par une intégrale triple le nombre des racines des deux équations précédentes contenu à Tintérieur d'un continuum fermé Sa trois dimensions situé dans Tespace à quatre dimensions {x,y)] cette intégrale triple est étendue à ce continuum S. Il suffira ici de prendre pour continuum S la somme du continuum obtenu en donnant à x une position quelconque à Fintérieur de C tandis que y reste sur C, et du continuum analogue qui correspond à x restant sur C tandis que y occupe une position quelconque à Tiatérieur de C. La solution du problème proposé est donc fournie par une intégration triple, et non par une intégrale double,

24. Faisons, en terminant, une remarque importante (*), qui accuse une différence profonde entre la théorie des intégrales doubles de deux variables complexes et celle des intégrales simples d'une variable complexe. Dans cette dernière théorie on ne peut faire passer le chemin d'intégration par un point où la fonction devient infinie : bornons-nous aux intégrales de fractions rationnelles; l'intégrale

n*a aucun sens, si le chemin d'intégration passe par une racine du poljnome Q(5). Il peut en être autrement dans le cas des intégrales doubles; soit l'intégrale

dx et y.

Elle pourra avoir un sens bien déterminé si la surface d'intégration S rencontre le continuum défini par l'équation

(») On peut coQsulter le Chapitre VU de ce Volume, où sont exposés les travaux de Kronecker et de M. Picard sur ces questions.

(') Cette remarque a été faite par M. Poincaré dans le Mémoire déjà cité {Acta maikematica, t. I\, p. 368).

GoogI(

DK5 PONCTIO.NS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 289

Il en sera ainsi si les points de rencontre des continuum S et Q ne forment pas une ligne, c'est-à-dire sont des points isolés, et si

en ces points le quotient ^ devient infini seulement du premier

ordre. On sait, en effet, qu^une intégrale double ordinaire a un sens, quand l'élément devient infini en un point A, pourvu que la

fonction sous le signe d'intégration soit de l'ordre -> en désignant

par p la distance du point variable au point Â. Prenons, comme exemple, l'intégrale

%x->rby -^

le rapport -r n'étant pas réel. Supposons que la surface S d'inté-

^'ration corresponde à un ensemble de valeurs réelles de x et r, parmi lesquelles se trouvent x=^y=o. L'intégrale aura un sens, quoique la fonction sous le si<;ne d'intégration devienne infinie pour j? = o, jK = o [nous supposons P(o, o) ^ o]. Nous pouvons, en effet, sur S, poser

a7=pcos6, ^ = psin6, p ta 9 étant réels : nous avons alors l'intégrale

r rP(pcos9,psine)^^^^

J J acosO-h o sin8 '

Avec l'hjpolhèse faite sur le quotient -ry le dénominateur ne

peut s'annuler pour une valeur réelle de Q, et l'intégrale a, par suite, une valeur parfaitement déterminée. Le conlingum d'intégration et le continuum

ax -{- by =. o

ont ici, comme seul point de rencontre, Torigine. Les circonstances seraient autres si -r était réel ; il y aurait alors une courbe

de rencontre entre les deux continuum et l'intégrale n'aurait aucun sens.

Revenons au cas général de l'intégrale

r,, : dx dy,

p. - II. 19

GoogI(

290 GHAPITRR IX.

et supposons que la surface d^'ntégralion S rencontre en un point le continuuni Q. On déforme la surface S en lui laissant le même contour. Le point de rencontre (^, j) avec Q va se déplacer; il va passer de la position A| de coordonnées (^o^O ^ '^ position A2 de coordonnées (^r^, y^)- La valeur de l'intégrale ne restera pas constante, comme dans le cas où S ne rencontrait pas Q; il est facile de trouver la diflférence des valeurs finale et initiale de rintégrale. Cette différence sera égale à la valeur de Tintégrale prise le long de la surface engendrée par une courbe infiniment petite entourant le point J7, racine de Téquation

quand {x^y) se déplace de (j7| , y^) à {x^t y^)\ elle sera donc égale à l'intégrale simple

<'"''«> V{Tj y)^^^

Qx(^,r)

comme on le voit de suite, en faisant des calculs analogues à ceux du §21.