IV. ~ Formule de Lagrange pour une et deux équations

25. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant une formule célèbre due à Lagrange. Cette formule établie par le grand géomètre pour le cas d'une seule équation a été étendue par Laplace à deux ou plusieurs équations. On peut traiter les deux cas par une méthode analogue; aussi, pour ne pas les séparer, avonsnous placé ici l'étude de cette importante série.

La série de Lagrange a pour objet d'obtenir l'une des racines

de l'équation

5 ^a — af(z) = o,

développée suivant les puissances de a, ou, plus généralement, le développement d'une fonction holomorphe quelconque de celle racine. Nous allons suivre la même marche que M. Hermite dans son Cours lithographie de la Faculté des Sciences (4* édition, p. 182); nous renverrons aussi à cet Ouvrage pour la bibliographie de la question.

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DBS FONCTIONS DB PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES

Nous démontrerons d'abord un lemme préliminaire. Soient F et ^ deux fonctions holomorphes; les équations

ont le même nombre de racines comprises dans un contour fermé S, sous la condition que, tout le long de ce contour, on ait constamment

La diflTérence entre le nombre des racines de ces deux équations comprises à l'intérieur de S est, en effet,

-1-. fd\og{F-^^)-^ fdio^F,

qui peut s'écrire

et, puisque

^.yrfiog(.+|),

pr <; I tout le long de S, il en résulte que cette intégrale est nulle.

Appliquons ce résultat à l'équation

z — a — 0Lf(z)'z= o.

On suppose que a représente un point situé à l'intérieur d'un contour S, et que la constante a soit assez petite pour que l'on ait sur ce contour

ce qui peut évidemment être réalisé. Alors l'équation proposée aura, à l'intérieur du contour, le même nombre de racines que Téquation 2 = a, c'est-à-dire une seule : c'est cette racine que nous allons envisager dans la suite.