Soit donc ^ la racine, contenue dans S, de l'équation
en posant F(-s) = 5 — a — «/(s).
GoogI(
En désignant par 11(2) une fonclion holomorphe quelconque de 2, on aura
ncç) I rn(z)dz
F(0 iTziJ^ F{z)
Or on peul développer ■=- — en série suivant les puissances de a
série qui converge d'après Tinégalité (8). Nous aurons donc le développement
pi|5=Jo4.aJ,4....+ a^J«-^..., ou J.= — J^(,;^...^^-
Pour être entièremenl rigoureux, il eût fallu considérer le reste dans le développement (9), et montrer que son intégrale tendait
vers zéro avec -; mais il est inutile de s'arrêter sur ce point qui
se traite de la même manière que dans la démonstration de la série de Taylor d'après Cauclij.
L'expression du coefficient J,| est facile à trouver. Nous avons vu, en effet, que l'on a d'une manière générale
Dg»(a) ^ 1 r 4>{z)dz 1.2.../1 "" 2iTi\/. {z — a)»^^'
ce qui donne
On a donc le développement
F(c)"~2- — r^rrn^i — ('* = o, 1,2, ...k
De ce développement, on peut en déduire un second, en posant
n(2) = *(3) r{z) = *(5)ti - 0Lf'{z)i
^{z) étant une fonction holomorphe arbitraire de ;;. Il vient
GoogI(
DBS FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES. 298
el, en groupant les termes qui correspondent à une même puissance de a, on a, après des réductions immédiates,
Pour les applications de cette formule, nous renverrons au Cours de M. Hermite, où Ton trouvera, en particulier, une étude approfondie de l'équation connue en Astronomie sous le nom adéquation de Kepler.
â7. Comme nous l'avons dit plus haut, Laplace a généralisé la formule de Lagrange en considérant deux équations
Nous supposons que f eX, o soient des fonctions holomorphes de X el y {^).
Il importe d'abord de bien préciser le système de racines que no us allons envisager. On suppose que x el y restent respectivement à l'intérieur de deux contours C et C; a est à l'intérieur du contour C et 6 à l'intérieur du contour C. Quand y a une valeur arbitraire à l'intérieur de C, si l'on choisit la constante x assez petite pour que
(lO)
X décrivant le contour C, on est assuré que l'équation en x
X— a — a/(Xyy) = o
a une racine et une seule à l'intérieur de C, et, d'après le théorème général sur les fonctions implicites, cette racine x sera fonction holomorphe de a ety.
Nous la substituons dans l'équation
y— b — ?©(ar, y) z=o\
(<) Comparer avec le § 5 du Mémoire de M. Puiacaré, intitulé : Méthode de M. StieUJes,
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si P est assez petit pour que
X étant quelconque à Fintérieur de C, ely décrivant le contour C, cette équation en y aura une seule racine contenue dans C Ainsi, moyennant les deux inégalités (lo) et (i i), on est assuré que les deux équations proposées ont un système de racines {Xy y) et un seul, pour lequel x el y sont respectivement à l'intérieur des courbes C et C. Nous désignerons par ($, •t\) ces racines.
