Nous avons calculé (§ 18) la valeur de l'intégrale
¥(x^ y) dxdy
P(^,^)Q(^.jr)'
en prenant une certaine surface d'intégration. Posons ici
Q.(Xyy) —y — b — p<p(a:, y).
Considérant toujours les deux contours C et C du paragraphe précédent, voyons si les conditions du § 19, sous lesquelles nous avons fait le calcul de l'intégrale, sont vérifiées.
Tout d'abord nous avons à vérifier que ni l'une ni l'autre des fonctions P et Q ne s'annule (|uand x ei y sont respectivement sur G et CI, Or il en est bien ainsi, puisque
quand x et y sont respectivement sur C et C. En second lieu, et pour la même raison, Téquation en x
x — a — 'xfi^x, y) = o
aura une racine à l'intérieur de C, j^ étant sur C. Enfin l'équation en X
n'aura pas de racine à l'intérieur de C, y étant toujours sur C\ puisque, d'après nos hypothèses, x étant quelconque à l'intérieur
GoogI(
DBS FONCTIONS DE PLUSIRt'RS VARIABLES INDÉPENDANTES.
de C et y sur C, on a
Ainsi, en prenant comme sur/ace d'intégration les courbes C et G parcourues positivement, nous avons
7 7 (^-a-«/)(7-*-p<p)'^''-^- fDfP,
rD(p.Q)] '
(Ç, 7)) désignant, comme il a élé dit, la racine commune à P =: o, Q = o.
Nous allons maintenant suivre absolument la même inarche que dans le cas d'une seule variable. Nous pouvons développer en série les deux fonctions
puisque
on a ainsi
et
<i et
{x — a — 'xf){y — b — p«p) ^ (x — «)'«-»"»(>' — b)»-*-^ ' Nous avons donc la formule
rD(p,Q)i — =2''""'* P'
ou
celte intégrale double étant prise dans les mêmes conditions que rintégrale dont nous sommes parti. Or nous avons déjà calculé la valeur de cette intégrale; on a
da»^ db"
GoogI(
agô CHAP. IX. — DES FONCTIONS l)K PI.LSIELRS VARIABLES.
et i*on a enfin )a formule
[D(P, Q)1 ~'^i.à...m.i.jL.,.n fia»* db'^
qui rappelle complètement la première forme de la formule de Lagrange pour une variable.
D\ine manière toute semblable, on obtiendrait une seconde formule, donnant le développement de la fonction 4>($, 7\), en posant
Nous n'écrirons pas ce développement dont les coefficients sont moins simples que dans le cas d'une variable.
