I. — Quelques remarques générales. Arcs anal3rtiques

1. Nous avons déjà indiqué (t. [, p. 4^4) ^^s propriétés élémentaires de la représentation conforme; nous voulons maintenant nous occuper particulièrement de la représentation conforme d'une aire donnée sur une autre aire également donnée. Mais, avant d'aborder ce problème, faisons quelques remarques générales.

Soit

f{z) étant une fonction holomorphe dans le voisinage de z = a el f'{a) étant différent de zéro; en posant /(a) = 6, d'après le théorème démontré (Chap. IX, § 9), on peut, autour de a et 6 comme centres, décrire, dans les plans respectifs des variables z et Z, des cercles y et F tels que, pour une valeur de Z contenue dans F, l'équation (i) n'ait qu'une seule racine z contenue dans y; de plu?5, la fonction implicite z est une fonction holomorphe de Z dans F. Aux points 5 de Y pourront correspondre des points Z en dehors de F; réduisons alors la région dans le plan ^, en prenant un cercle yi concentrique à y, tel qu'à tout point de l'intérieur de yi corresponde un point Z situé dans F. Ceci posé, si à l'intérieur de yi on décrit une courbe fermée c, ne se coupant pas elle-même, il lui correspondra dans le plan F une courbe fermée C et l'on aura une représentation conforme Tune sur l'autre des deux aires limitées par c et C. Cette représentation sera telle qu'à chaque: point de l'une quelconque des deux aires correspondra un seul point de l'autre, La chose est évidente, puisque, d'après ce qui

a élé dit, à deux points différents z ne peut correspondre la même valeur de Z.

2. Il nous faut maintenant définir ce qu'on appelle un arc decourbe analytique. Supposons qu'une courbe soit telle que les coordonnées x ety d'un point arbitraire soient des fonctions analytiques d'un paramètre t

/(f) et çp(/) sont supposées des fondions holomorphes de t dans le voisinage de la valeur réelle t == t^^ les coefficients du développement en série suivant les puissances de t — /© étant, bien entendu, réels. Nous dirons que cet arc est analytique; de plus, cet arc analytique sera régulier au point correspondant à 0 = 1^^ si l'on a pu choisir le paramètre t, dont dépendent analytiquemeui jr eiy, de telle sorte que

'/'{to) et <p'(^o)

ne soient pas nuls à la fois. Un arc déterminé a^ sera dit régulier, s'il est régulier en tous ses points.

La notion d'arc régulier joue un rôle important dans les questions relatives à l'extension des fonctions harmoniques. Ainsi, soit un contour fermé C, et admettons qu'une portion a^ de ce contour forme un arc régulier de ligne analytique. On se donne sur le contour une succession de valeurs, et Ton suppose que l'ensemble des valeurs données le long de l'arc a^ forme une fonction analytique du paramètre t. Dans ces conditions, nous allons démontrer le théorème suivant dû à M. Schwarz :

La fonction harmonique prenant les valeurs données sur le contour peut se prolonger analytiquement au delà de l'arc ol^,

3. Nous établirons d'abord deux cas particuliers de ce théorème. Supposons que Tare a^ se réduise à un segment de l'axe des X, et que les valeurs données le long de ap se réduisent à -s^ro. D'un point Xq de a^ décrivons une demi-circonférence y contenue dans l'intérieur de l'aire {fig. 3o). La fonction harmonique n que nous étudions prend certaines valeurs le long de y. Or corn-

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piétons la demi-circonférence y par la demi-circonférence •/ s^mélrique par rapport à Ox. Formons maintenant la fonction har-

monique ç', continue à l'intérieur du cercle limité par y et y', prenant sur y les mêmes valeurs que u et prenant, en chaque point de y', une valeur égale et de signe contraire à la valeur de u au point symétrique par rapport à Or qui lui correspond sur y. Il est aisé de voir que la fonction {^ ainsi définie s^annule sur le diamètre O^; c'est ce que montre la formule de Poisson

puisque, diaprés nos hypothèses

La fonction {> et la fonction u prennent donc les mêmes valeurs sur la demi-circonférence y et sur son diamètre Ox. La fonction u coïncide donc avec v] v est une fonction harmonique définie dans tout le cercle limité par y et y'. Il en résulte que u peut se prolonger analytiquement au delà de Oo:, comme nous voulions l'établir.

Examinons maintenant le cas moins particulier où, Tare a|^ étant toujours un segment de Taxe de x^ les valeurs données le long de a^ forment une fonction analytique de x. Soit, dans le voisinage de Xq^

f{x) = ao-+- a, (37 — xo) -4- v-iix — a7o)'-H. . . la valeur de cette fonction. La fonction

/(-) = ao-f- a,(^ — Xo) -+• at(5 — a:o)*4-. . . sera une fonction holomorphe de z dans le voisinage de z=±Xq.

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3oO . CHAPITRE X.

Mettons-la sous la Torme

Soît, d^autre part, notre fonction harmonique u{x^y) satisfaisant au problème proposé. La différence

sera une fonction harmonique s^annulant sur l'axe des x dans le voisinage de Xq. On pourra donc, d'après ce qui vient d'êlre établi, la prolonger anaiytiquement au delà de l'axe des x. Or P(j:, y) est définie des deux côtés de cet axe ; il en est, par suite, de même de u{Xyy) dont le prolongement analytique devient dès lors évident.

Nous arrivons enfin au cas général qui va se ramener au cas précédent. Nous avons, pour définir Tare a^ dans le voisinage d'un de ses points (^o? J^o),

X = Xo-ha(t — /o) H- «'(^— 'o )*-+-•• •»

y=yo-^à{t — to)-^b'{t -^o)*-*-....

les coefficients a et 6 n'étant pas nuls tous deux. On peut effectuer une transformation conforme qui transforme une petite aire, autour du point (^O)^o) dans la figure proposée, en une autre où la courbe correspondant à l'arc a^ sera un segment de l'axe des quantités réelles. Il suffit, en effet, de faire la transformation conforme entre z et T représentée par

z = X0-+- iyo-^ {a -h ià){T — Iq) -^ {a' -h ib'){T — t^)* -i-

Le coefficient a H- ib n'étant pas nul, nous sommes assuré qu'à une petite région du plan z = x -{- iy (autour du point s© = a;© + y'o)% traversée par Tare a^, correspondra, dans le plan de la variable complexe T, une région autour du point ^^ situé sur l'axe réel, et cet axe réel correspondra à l'arc a^. Nous sommes donc ramené au second cas particulier que nous avons examiné ci-dessus. La fonction harmonique de x ety que nous étudions se transforme en une fonction harmonique de / et /', en posant T = ^ H- «V^ les valeurs qu'elle prend sur le segment de l'axe des ^, où nous avons à la considérer, forment une fonction analytique de ^ : on peut donc étendre ana-

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SUR LA REPRÉSENTATION CONFORXK. 3oi

lylîquement la foncllon au delà de l'axe des ^, et, par suite, en revenant à la figure primitive, au delà de Tare a^.

4. Un cas particulièrement simple et intéressant est celui d'un contour fermé C qui, pris dans son ensemble, forme un seul arc régulier de ligne analytique : tel est le cas d'un cercle ou d'une ellipse. Si les valeurs données sur ce contour donnent, dans le voisinage de chaque point, une fonction analytique du paramètre, en fonction duquel on peut exprimer les coordonnées d'un point (le la courbe, la fonction harmonique prenant ces valeurs sur le contour pourra être étendue au delà de cet(e courbe et sera nécessairement déterminée dans un certain contour C comprenant à son intérieur le contour C et en étant suffisamment rapproché.

Un contour C peut être formé de plusieurs arcs réguliers de lignes analytiques, comme par exemple un contour polygonal. Les sommets, c'est -à-dire les points communs à deux de ces lignes analytiques, sont des points autour desquels on n'est pas assuré de pouvoir faire le prolongement analytique de la fonction; il arrivera même, en général, qne ce prolongement analytique sera impossible. Ainsi, dans le cas actuel, le prolongement analytique de la fonction harmonique est possible en tous les points du cont o u r , sauf aux sommets.

II. — Représentation conforme d'une aire simple sur un cercle.

5. Une des applications les plus intéressantes que Riemann ait faites du principe de Dirichlet est relative à la représentation conforme d'une aire limitée par un seul contour (ou simple) sur la surface d'un cercle ('). Ainsi, étant donnée une aire simple A limitée par un contour C, dans le plan de la variable z^ et un cercle dans le plan de la variable Z, nous allons montrer qu'on peut trouver une fonction analytique uniforme

telle qu'à chaque point de A corresponde un point du cercle et

(*) RiBHANN, Dissertation inaugurale {^Œuvres complètes, p. 4o)'

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qii'inversenienl à chaque point du cercle corresponde un point et UD seul de A.

Admettons Texislence de la fonction précédente : nous supposons que le cercle ait Forigine pour centre et l'unité pour rajon, et de plus que le centre du cercle corresponde au point Zo de

Taire A, c'est-à-dire que

Zo étant une racine simple de celte équation.

De la définition même de la représentation conforme résulte quey*(^) n'a pas d'autre racine à l'intérieur de l'aire A et sur son contour C ; par suite, cette fonction est nécessairement de la forme

H(z) étant une fonction holomorphe à l'intérieur de l'aire A, qu'il s'agit de déterminer. Posons

H(^)=P-4-tQ et z — Z9=rei9;

on peut alors écrire /(z) sous la forme

/(«)= cLof/M-P-H/(Q-+-9)^

où Logr désigne le logarithme arithmétique de r ou de | s — Zq\, Pour qu'à chaque point du contour C, dans le plan des z^ corresponde un point de la circonférence de rajon un dans le plan des Z, il faut que la fonction Logr -f- P s'annule sur le contour C. Donc P est une fonction harmonique uniforme et continue dans route l'aire A et prenant sur C la succession de valeurs indiquée par la fonction

— ï-og'-.

Nous pouvons, d'après le principe de Dirichlet, former une fonction harmonique ainsi définie, et la fonction Q, qui est la fonction associée de P, est alors déterminée par l'intégrale

où Y désigne une constante arbitraire.