Nous connaissons donc, une fois fîxé le point Zq de A qui

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SUR LÀ REPRÉSENTATION CONFORME. 3o3

doit correspondre au centre du cercle, la forme nécessaire de la fonclîon H(>3) el, par suite, de la Fonction de transformation.

Parlant maintenant a /;/*o/'i de l'expression précédente, monirons qu'elle donne bien la transformation cherchée. Soit

U =P-+-Logr,

on suppose qu'on donne une valeur déterminée à la constante arbitraire Y qui entre dans l'expression de Q.

La fonction harmonique U sera nulle sur C, égale à — oo au point Zo et continue en tout autre point de l'aire; elle sera donc négative pour tous les points de A. Les courbes

(i) V{x,jr) = a (a<o)

seront des courbes fermées ne se coupant pas elles-mêmes et séparant la région de l'aire A où U > a de celle où U < a; elles comprennent Zq à leur intérieur. Tout cela résulte des propriétés des fonctions harmoniques : la courbe (2) contient ^0 ^ son intérieur, sinon la fonction U, constante sur la courbe, serait constante à son intérieur et, par suite, dans toute l'aire; pour la même raison également la courbe ne se coupe pas elle-même. A la courbe (2) correspond, par la transformation

dans le plan Z, la circonférence du rayon e^ ayant l'origine pour centre. Nous allons voir qu'à un point de cette circonférence correspond un point et un seul de la courbe (2). Des deux relations

dx ~~ ôy " dy ^ dx^ on déduit, relativement à une courbe fermée quelconque,

dn ~~ ds ' la dérivée pétant prise dans le sens de la normale intérieure et

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3o4 CHAPITRE X.

-,— représentant la dérivée de V considéré comme fonction de as *^

l'arc s de la courbe, cet arc étant compté positivement dans le sens direct. Or, sur la courbe (2), ^— est constamment négatif, par suite

-T- est toujours positif. La fonction \{x^y) va donc constamment

en croissant quand le point {x^ y) marche sur la courbe (2) dans le sens positif, et puisque, dans l'expression

o a augmenté de iiz après le tour complet, il en est de même de V. Il en résulte que le point Z correspondant à z décrit d'une manière continue, toujours dans le même sens, le cercle de rajon e". A un point Z de cette circonférence correspond donc un point et un seul de la courbe (2). Nous voyons maintenant bien nettement qu'à un point Z du cercle de rajon ////, dans le plan de la variable Z, correspond un point z et un seul dans Taire A. A un point Z correspond, en effet, une valeur déterminée de a : c'est

celle pour laquelle *

On a alors dans le plan z une courbe (2) et sur celle-ci, comme nous venons de le dire, un point et un seul correspond à Z. On voit qu'il reste dans la fonction employée pour la transformation une indéterminée réelle, la constante y; elle sera déterminée si Ton se donne le. point du contour C qui duvra correspondre à un point de la circonférence.

7. Le problème de la représentation conforme de l'aire A sur un cercle est complètement résolu par la formule

c'est-à-dire qu'à chaque point de l'intérieur d'une quelconque de ces deux aires correspond un point et un seul de l'intérieur de l'autre. Relativement aux points du contour C et de la circonférence du cercle, une difficulté se présente dont Riemann ne paraît pas s'être préoccupé. Revenons, en effet, aux deux fonctions P et Q qui ont joué le rôle essentiel. La fonction P(x, y) est définie à l'intérieur de l'aire A et sur le contour C lui-même,

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SUR LÀ REPRÉSENTATION CONFORME. 3o5

mais il n'en est pas de même de la fonction associée Q. Celle-ci est, en effet, définie par l'intégrale

''^dP^ dP .

^ ^. dx -^ dy

et nous ne savons rien, du moins en général, sur les valeurs de

-T- et-T- sur le contour C. En s'en tenant aux raisonnements des àx dy

précédents paragraphes, on ne peut donc rien affirmer sur la correspondance des points des contours limitant les deux aires.

Dans un cas particulier, d'ailleurs très étendu, la difficulté se lève immédiatement. Supposons d'abord que le contour C soit formé tout entier d'un seul arc régulier de ligne analytique (une ellipse, par exemple). Comme la succession des valeurs donnée par

— Log r,

que prend P(a?, y) sur C, est une fonction analytique de x et y, elle est aussi une fonction analytique du paramètre avec lequel on exprime analytiquement les coordonnées d'un point de C. Noua pouvons donc faire usage de la remarque du § 4; la fonction P(^,y) peut s'étendre un peu au delà de C : les dérivées

j- et -r- sont, par suite, déterminées pour tous les points de C, et

il en est alors de même de Q(j?,^). La difficulté est levée; nous sommes assuré de la correspondance unique entre les points du contour C et de la circonférence.

Si Ton a un contour formé de plusieurs arcs réguliers de ligne analytique, la question est un peu moins simple. La fonction V{x^y) pourra bien s'étendre au delà de tous les points du contour, mais à l'exclusion des sommets (*). Nous allons montrer encore que les différents points de C correspondent à des points différents de la circonférence. Il suffira de considérer un contour C présentant une pointe unique A. Envisageons les courbes

(M On ne doit pas oublier qu'un point du contour, où se rencontrent deux lignes analytiques diflférenies tangentes entre elles, est, dans nos raisonnements, 4 considérer comme un sommet.

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3o6 CHAPITRE X.

el leurs trajecloîres orthogonales partant de deux points a et ^ de C situés de part et d'autre de A. Pour une valeur de a négative et très petite, nous aurons une courbe voisine de A, qui rencontrera en a' et ^' les deux trajectoires orthogonales.

Considérons alors, au lieu du contour C {fig- 3i), celui qu'on

obtient en remplaçant Tare aA^ par les arcs aa', a'^', ^'^. Les fonctions P et Q et, par suite, U et V, sont parfaitement définies en tous les points de ce contour, ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Dans le plan Z va correspondre à ce contour une portion déterminée de la circonférence de rayon un et un arc intérieur. Or, en se servant toujours de la relation

dn ~~ ds

et en remarquant que, sur aCp,3'a'a, ^ est toujours négatif ou

nul (cette dérivée est nulle sur les portions aa', p^' des trajectoires orthogonales), on voit que les points Z de la circonférence de rayon un^ correspondant aux différents points de l'arc aC^ de C, sont eux-mêmes différents : ils forment un arc F. Faisons tendre maintenant a et ^ vers A; l'drc F ira toujours en grandissant à mesure que a et ^ se rapprocheront respectivement de A. Nous allons montrer que la limite de F formera la circonférence tout entière, c'est-à-dire qu'il ne peut pas arriver que la limite de F soit un arc dont les extrémités a el 6 ne coïncident pas. En effet, dans ce cas, un certain arc ab de la circonférence de rayon un correspondrait au point A : en d'autres termes, z considérée comme fonction de Z serait une fonction holomorphe à l'intérieur du cercle de rayon un et, quand Z tend vers un point quelconque

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SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 3o7

de Tare ab^ z tendrait toujours vers la même constante. Or ceci est impossible : nous le montrerons bien nettement en nous reportant aux théorèmes généraux établis au commencement de ce Chapitre. Si l'on pose, en effet,

les deux fonctions harmoniques cp et J/ prenant des valeurs constantes en tous les points de ab pourront se prolonger analytiquement au delà de ab (§ 3); la fonction ^ de Z pourra donc se prolonger analytiquement au delà de Tare ab, mais comme elle est, par hypothèse, constante en tous les points de a6, elle devra être constante dans toute la région où elle est définie, ce qui est absurde. On voit donc qu'au point A de C correspond un seul point de la circonférence de rayon un. Il y a donc bien correspondance unique entre les points des deux contours (*).

M. Painlevé (2) s'est occupé, dans l'étude de la représentation conforme pour les points du contour, du cas où celui-ci n'est pas formé de lignes analytiques. Nous renverrons à l'intéressant article du savant géomètre; les considérations délicates dont il fait usage nous entraîneraient trop loin.

m. — Quelques exemples de représentation conforme. Méthode de M. Schwarz pour le principe de Dirichlet.

8. Indiquons quelques exemples de représentation conforme, où nous pourrons effectuer la transformation à l'aide de fonctions déjà étudiées.

Il sera généralement plus simple de considérer, au lieu d'un cercle, un demi-plan, c'est-à-dire la portion d'un plan située du même côté d'une droite indéfinie. Ces deux aires se ramènent immédiatement l'une à l'autre; nous avons vu, en effet (t. I, p. 462), qu'une transformation

{}) J'ai donné pour la première fois la démonstration précédente dans mon Cours en 1888.

(') Paul Painlevé, Comptes rendus^ t. GXK, 1891.

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3o8 CHAPITRE X.

transforme une circonférence en une circonférence, et, par conséquent, une ligne droite en une circonférence. Les points d'un demi-plan, dans le plan des 2, correspondront donc aux points d*im cercle dans le |)lan des Z.

Cherchons à eflecluer sur un demi-plan la représentation conforme d'une aire A limitée par deux arcs de cercle. Soient Zq et 5^ les deux sommets de cette aire, et air Tangle des deux tangentes

en ^0 ^^ ^i '

La transformation

va nous permettre de faire la représentation conforme de Faire A sur un demi-plan. Nous supposerons, pour simplifîer, que Zq et z^ soient réelles; z étant à Tinlérieur de l'aire, nous pouvons prendre pour argument de ♦

Tangle ZqZZ^ com))té de Zq en Zx (cet angle sera compris entre o et TC quand z sera au-dessus de Oxj et il sera compris entre it et 21:, si z est au-dessous de celte même ligne). On voit de suite qu'à chacun des deux arcs de cercle limitant A correspond dans le plan Z une demi-droile issue de l'origine, puisque l'angle Z^ZZ\ est constant sur chacune de ces deux lignes. De plus, la différence des arguments de (4) sur chacune de ces deux lignes sera égale à l'angle des deux circonférences, c'esl-à-dire à ait. Les deux demidroites feront donc entre elles un angle égal à ir, c'est-à-dire qu'elles seront sur le prolongement l'une de Tautre. Il est alors évident que l'aire A correspond à Tun des deux demi-plans déterminés par cette. droite indéfinie.

En particulier, considérons un demi-cercle; on aura a = - et la transformation cherchée sera réalisée p^r la formule

Considérons encore l'aire d'un secteur et cherchons à en faire la représentation conforme sur un demi-plan. Il suffira de transformer d'abord le secteur en un demi-cercle, ce qui se réalisera par

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SUR LA REPRÉSENTATION COISFORXE. SOQ

la formule

si OLTZ désigne Touverlure d'angle du secteur.

9. Faisons mainlenanl une remarque générale avant d'aborder des cas un peu moins simples. Soit Z = f(^z) une fonclion holomorphe à Tinlérieur de l'aire limitée par un contour simple (c) sur le plan des ^, et supposons que, sur ce contour, la fonction prenne une série de valeurs toutes différentes et formant une suite continue. Au contour (c) correspond alors, dans le plan des Z, un contour simple (C) ne se coupant pas, et tel, par conséquent, que la variation de l'argument de Z — U soit nulle ou égale à 217, suivant que le point TJ est extérieur ou intérieur à ce contour, lorsque le point Z décrit le contour (C).

Cela posé, soit 3' un point de Taire limitée par le contour (c) et Z' = /(5') le point correspondant dans le plan des Z : lorsque le point z décrit le contour (c), le point Z décrit le contour (C), et l'argument de la fonction /(s) — /(^') est, à chaque instant, identique à l'argument de Z — Z'. Par suite, la variation de l'argument de /(s) — /(5') ne peut être égale qu'à zéro ou à an. Or elle est différente de zéro puisque le point z = z' est une racine de la fonclion y*( 5) — /{^') • donc elle est rigoureusement égale à 27t. On en conclut immédiatement qu'à tout point z' pris à l'intérieur de (c) correspond un point Z' intérieur au contour (C) et un seul, ci que, réciproquement, à tout point Z' intérieur au contour (C ) rorrespond un point 3' intérieur au contour (c) et un seul.

10. Un exemple intéressant sera fourni par la considération de rinlégrale elliptique

^0 /(i- 5ÎM1— A-»;;*)'

/« étant réel et compris entre o et i, et la détermination initiale du radical étant +i* Envisageons, dans le plan de la variable z, le demi-plan situé au-dessus de O^, et évitons les points critiques

±: I, db T au moyen de demi-circonférences infiniment petites dé-

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3lO CIIAPITRK X.

crites au-dessus de Ox. Cherchons, dans ces conditions, quelle va être Taire du plan Z correspondant à ce demi-plan : z allant de o à I , en étant réel, Z décrira la droite allant de Torigine au point K;

ensuite, quand ^ va de i à -r > en ayant évité le point i par une demicirconférence située au-dessus de Ox^ le point Z décrit la droite allant de K à /K'-f- K; enfin, z allant de t à +00, Z suit la droite

allant de £K'+ Kà iKJ. En faisant allers de o à — oo, on voit de la même manière que Z décrit un contour symétrique du premier par rapport à OY(Z = X -f- lY). Il en résulte qu'à Taxe des x dans le plan des z correspond dans le plan Z le périmètre d'un rectangle R de côté 2K et de hauteur K!.

Il nous suffît maintenant de remarquer qu'aux différents points de Taxe réel et au point à Tinfini du demi-plan correspondent des valeurs de Z toutes différentes. On peut alors appliquer au problème actuel la remarque du paragraphe précédent, puisque la fonction Z est holomorphe à l'intérieur du contour simple formé par Taxe réel, par les demi-circonférences infîniment petites décrites au-dessus de Ox pour éviter les points critiques, et par une circonférence de rayon infiniment grand. Nous pouvons donc conclure que la formule (5) permet de faire la représentation conforme du demi-plan sur le rectangle B.

H. Cherchons encore à représenter d'une manière conforme un triangle sur un demi-plan. Nous partons à cet effet de l'intégrale

Z= r (^ — a)a-»(z — 6)P-«(« — c)Y-«rf« (a<b<:c);

a, 6, c désignent trois constantes réelles, les quantités a, p, y sont des quantités positives telles que

a-i-P-hY = i;

enfin Zq est une constante dans laquelle le coefficient de i esl^ positif. On considère, dans le plan de la variable z, le demi-plan situé au-dessus de l'axe des ^. L'intégration est faite dans ce demi-plan, et, quand on intègre le long de l'axe réel, on évite les points cri-

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SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 3l 1

tiques a, 6, c par des demî-circonférences infiniment petites situées au-dessus de Ox.

Dans ces conditions, cherchons quelle est la portion du plan Z correspondant au demi-plan. Quand z varie entre deux des points critiques, soit, par exemple, a et 6, en suivant l'axe des j?, l'intégrale

(5 — a)«-K'5 — 6)P-» (;; — c)y-« dz

aura visiblement un argument invariable, c'est-à-dire que le point Z décrira un segment de droite AB, et, z marchant dans le même sens de a à fr, le point Z marchera aussi dans le même sens de A en B, puisque la dérivée de Z ne peut s'annuler quand z est compris entre a et 6. Ce que nous venons de dire de a à 6 s'applique à l'intervalle de 6 à c, auquel correspond BC; mais, quand z décrit un demi-cercle infiniment petit autour de 6, l'argument de (« — 6)P~* a diminué de

les deux directions BA et BC font donc un angle égal à ^ic; avec plus de précision, une rotation de ^tï dans le sens négatif amène la direction BA sur la direction BC. Si maintenant :; va de c à -hoo, Z décrira un segment de droite CC, partant de C et faisant avec lui un angle -pr et CC est tellement placé que la direction CB coïncide avec CC par une rotation de yTt dans le sens négatif. Remarquons maintenant que, de quelque manière que z aille à l'infini dans le demi-plan, Z tend toujours vers C; de plus, en appelant [x' l'affixe de C, on a pour z très grand le développement

conséquence immédiate de la relation a -|- ^ -|- y = i . L'argument de Z — [x' augmente donc de — ir quand z passe de -H oo à — oo, et il en résulte que, z variant de — oo à a, le point Z décrit le segment rectiligne CA qui est le prolongement de CC. Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante : Le périmètre du triangle ABC correspond à l'axe réel du plan z.

Nous n'avons plus maintenant qu'à appliquer la remarque du § 9 pour en conclure que le demi-plan correspond uniformément

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à Taire du irîangle ABC au moyen de la transformation

Nous savons donc faire la représentation conforme sur un demiplan d'un certain triangle dont les angles sont égaux à ûltz, ^tc et y-n. Tout triangle étant semblable à un tel triangle pour des valeurs convenables de a, p, y, il en résulte que le problème de la représentation conforme d^in triangle sur un demi-plan est complètement résolu.

12. On peut d'une manière plus générale considérer la transformation

Z= r (z — a)<^-Hz — b)i^-K . .{z -- l)>>-^ ds,

OÙ a, 6, . . . , / sont m constantes réelles; a, p, . . . , X sont des quantités positives telles que

et Zq est encore une constante dans laquelle le coefficient de i est positif. Quelle sera la portion du plan Z correspondant au demiplan supérieur du plan des z? On verra, comme dans le cas du triangle, qu'à l'axe Ox correspond une ligne polygonale fermée, et les angles, comptés comme précédemment, que font entre eux les divers côtés de cette ligne sont respectivement air, p-ïT, . . . , Xir.

La ligne polygonale fermée limitera une certaine aire. Celle-ci

sera nécessairement connexe comme celle du demi-plan. C'està-dire qu'on pourra passer d'un point à un autre de l'aire en res-

SIR LA REPRÉSKNTATION CONFORME. 3l3

lant à son intérieur; en d'autres termes encore, Taire limitée par la ligne brisée ne pourra se fractionner en plusieurs autres aires polygonales n'ayant que des sommets communs. Ainsi, pour le cas de m = 4, on ne pourra avoir, la configuration ci-contre représentée par ABCDA {fig. Sa).

Il est important de remarquer, et c'est ici une différence avec le cas du triangle, qu'à une valeur de Z ne correspond pas d*une manière nécessaire une seule valeur de z ou, en d'autres termes, que la série des valeurs que prend la fonction Z sur l'axe réel et à l'infini ne forme pas nécessairement une suite de valeurs toutes différentes. L'aire polygonale peut, en effet, se recouvrir partiellement elle-même ; c'est ce qu'indique la fig. 33. L'aire limitée

Fig. 33.

par la ligne polygonale ABCDEFGH se recouvre partiellement elle-ra^me; on voit bien en effet que la partie ombrée appartient deux fois à l'aire polygonale. A une valeur de Z répondant à un point de cette partie ombrée correspondront deux valeurs de z. Nous n'insisterons pas davantage sur cette question de la repré- •sentation conforme d'un polygone rectiligne sur un demi-plan. La forme de la fonction à employer pour cette représentation conforme et dont nous venons de faire usage a été obtenue par M. Schwarz et par M. Christoffel. Quant à la détermination effective des constantes a, 6, . . . , / pour un polygone donné, elle n'est pas sans présenter quelques difficultés; nous y reviendrons dans la théorie des équations aux dérivées partielles (*). Nous

(') On consultera, sur ce sujet, un Mémoire de M. Schlaffli : Zur Théorie der conformen Abbildung {Journal de C relie, t. 78).

3l4 CHAPITRE X.

aurons à étudier aussi plus tard la représentation des aires limitées par des arcs de cercle, qui se rattache à la théorie des équations linéaires du second ordre (*).

13. Je terminerai ce qui a trait à la représentation conforme en considérant un cas très simple relatif à deux aires limitées par plusieurs contours. Deux aires A et A' limitées chacune par un seul contour peuvent être représentées d'une manière conforme Fune sur l'autre : on peut, en ellet, faire la représentation conforme de chacune d'elles sur une circonférence et cet intermédiaire permet de réaliser la transformation cherchée. Des circonstances toutes différentes se présentent pour les aires limitées par plusieurs contours; deux aires A et A', Umilées chacune par un même nombre de contours, ne peuvent pas, en général, être représentées d^une manière conforme l'une sur l'autre. L'étude approfondie de ce nouveau problème a été faite par M. Schottky dans un beau et important Mémoire (•*); celte intéressante question se rattache étroitement à l'étude de la correspondance entre les points de deux courbes algébriques, et nous nous en occuperons à la fin de ce Volume quand nous aurons tous les éléments nécessaires pour la résoudre.

En ce moment, je ne prends qu'un cas extrêmement particulier, sur lequel nous nous sommes appuyé au Chapitre IV.

Établissons entre le plan des z et le plan des Z la correspondance

c désignant une constante positive. A une valeur de z correspond une seule valeur de Z; mais à une valeur de Z correspondent les deux valeurs

(M Voir, sur ces questions, le Tome II des Mémoires de M. Schwarz, où Ton trouvera encore beaucoup d'aulrcs exemples de représenlatton conforme. On lira aussi dans le Tome I des Leçons de M. Darboux le Chapitre qu'il consacre à celte théorie.

(') Schottky, Conforme Abbildung mehrfach zusammenhangender ebener Flàchen (.Journal de Crelle, t. 83).

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SLR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 3l5

entre lesquelles existe la relation z^ z^=- c*. Considérons le cercle (C) {fig- 33) décrit de l'origine comme centre avec c pour rayon;

Fig. 34.

on peut, en choisissant pour le radical y/Z^ — c^ une détermination convenable, supposer que le point z' est extérieur à la circonférence (C); le point z" est alors intérieur à cette circonférence, et on l'obtient en prenant l'inverse du symétrique du point z' par rapport à l'axe des x relativement à la circonférence (C).

Supposons que le point z décrive dans le plan des z une circonférence de rayon /• et de centre O, et cherchons la ligne que le

point Z va décrire dans son plan ijig» 34). On aura, en posant

r = e'>, •2(X-f- i\) = lr-\ — '\ coso -h ilr — j sinîp,

et, par suite, la courbe décrite par le point Z sera l'ellipse

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3l6 CIIAPITRK X.

dont les foyers F et F' sont les points -h cet — c dans le plan des Z. Donc à la série des cercles ayant l'origine pour centre dans le plan (les z correspond une série d'ellipses homofocales dans le plan des Z et inversement. Mais, tandis qu'à un cercle dans le plan des z correspond une seule ellipse dans le plan des Z, à une ellipse £ dans le plan des Z correspondent deux cercles (C) et (C) dans le plan des 2, dont les rayons sont liés par la relation r'r*:= c^ : l'un est par conséquent extérieur au cercle (C) et Taulre intérieur. Lorsque le point Z décrit Tellipse E, les points s' et z'^ décrivent simullanément ces deux cercles en sens inverse, avec des arguments à chaque instant égaux et de signe contraire.

Lorsque r partant de zéro augmente jusqu'à c, l'ellipse E parlant de l'infini balaye tout le plan des Z en s'aplatissant et se réduisant pour /• = c à la droite double FF'. Si l'on continue ensuite à faire varier r de c à l'infîni, on balaye de nouveau tout le plan des Zen repassant par la même série d'ellipses dont les dimensions vont sans cesse en augmentant. Donc au plan Z tout entier correspond, d'une part la portion du plan des ^ extérieure à la circonférence Cet d'autre part la portion du plan des z intérieure à cette circonférence.

Bornons-nous, pour fixer les idées, à la partie du plan z extérieure à G; nous partirons de la correspondance

On suppose tracée dans le plan Z la coupure ( — c, -h c) que Z ne devra pas franchir; la fonction y/Z^ — c- est alors uniforme et on la suppose positive quand Z est réel et supérieur à c. La formule précédente fait correspondre le plan Z, où est tracée la coupure ( — c, +c), à la partie du plan 5 extérieure à C. En particulier, l'aire comprise entre deux ellipses homofocales de foyer ( — c, -f- c) se trouve transformée en une aire limitée par deux circonférences. 11 en résulte que le problème de Dirichlet peut être facilement résolu pour deux ellipses homofocales, puisqu'il se résout très simplement pour deux circonférences concentriques. L'une des ellipses homofocales peut se réduire à la droite joignant les deux foyers; c'est de ce cas particulier que nous avons fait usage en exposant la méthode de M. Poincaré (p. 99).

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It. On peut, du mode de correspondance précédent, déduire, à l'aide du théorème de Laurent, une forme de développement en série pour une fonction de f{z) holomorphe dans Taire comprise entre deux ellipses homofocaies. Il suffira d'énoncer les résultats que le lecteur démontrera sans peine. On aura d'abord de suite le

développement

les a étant des constantes. Un cas particulier intéressant est celui où la fonction f{z) est holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers ( — c, -h c); on peut facilement montrer que Ton a dans ce cas

et Ton trouvera alors le développement

Pm(5) désignant le polvnome d'ordre m

Pm (^) = ( ^ -^ y/^^^^^)"" + ( 5 - v/^nr7i)'«.

Une fonction holomorphe, à l'intérieur d'aune ellipse, se trouve ainsi développée en une série de polynômes. Pour c== o, on retombe sur le développement de Taylor.

15. Nous reviendrons une dernière fois, en terminant ce Chapitre, sur le problème de Dirichlel, qui nous a déjà occupé dans cet Ouvrage, pour indiquer la méthode de M. Schwarz ( ' ). En fait, une partie de cette méthode a été exposée quand nous avons parlé du procédé alterné (p. 8i); nous allons avoir à en faire usage. M. Schwarz ramène la solution au problème de la représentation conforme; on sait, en effet, résoudre le problème de Dirichlet pour toute aire dont on a fait la représentation conforme sur un cercle.

Nous nous bornerons au cas où le contour serait formé d'arcs

(*) Tome 11 des Œuvres complètes de M. Schwarz (p. ih4).

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3l8 CHAPITRE X.

réguliers de lignes analeptiques faisant entre eux des angles diflTérents de zéro (*). 11 suffit évidemment de montrer que nous pouvons décomposer Taire S limitée par ces arcs en un nombre limité d'aires partielles représentables sur le cercle et empiétant les unes sur les autres, car alors le procédé alterné donnera la solution.

Sur un arc régulier de ligne analytique nous pouvons prendre un arc assez petit a^ pour qu'une représentation conforme (§ 3) transforme a|3 en segment de droite a'^' dans le plan de la variable z\ En joignant t! et P' par un arc de cercle, on aura dans le plan z une aire limitée par la courbe a^ et par un certain arc ne la coupant pas sous un angle nul, et l'on pourra manifestement en faire la représentation conforme sur un cercle. Ceci posé, on pourra fractionner l'arc analytique AMB en un certain nombre d'arcs suffisamment petits et tels que deux arcs conséculifs empiètent l'un sur l'autre. On joindra deux à deux les extrémités de ces arcs par des lignes situées dans S et telles qu'elles limitent, avec l'arc correspondant, des aires dont on puisse faire, comme il vient d'être dit, la représentation conforme sur un cercle. L'ensemble de ces aires formera une nouvelle aire limitée par l'arc AB et un arc APB situé dans S, et, pour cette aire, on saura résoudre le principe de Dirichlet par l'emploi du procédé alterné. On peut supposer que l'arc APB coupe Tare AB sous des angles différents de zéro. Nous répéterons la même construction pour tous les côtés du contour.

En chaque sommet S nous placerons le centre d'un secteur circulaire intérieur à S et empiétant sur les deux aires limitrophes que nous venons de construire. Ceci sera toujours possible, puisque ces aires ont, aux sommets, des angles différents de zéro et que l'angle du contour en chaque sommet est différent de zéro.

Enfin nous tracerons une série de cercles tout entiers intérieurs à S et qui ne soient jamais tangents entre eux ni aux contours des aires auxiliaires, et en assez grand nombre pour que tout point en S soit intérieur à un de ces cercles ou à l'une des aires auxiliaires. Il suffira évidemment pour cela d'un nombre limité de cercles. La décomposition de l'aire S en aires partielles empiétant les unes

( ' ) On trouvera dans le Mémoire de M. Schwarz l'exameQ du cas où Tangle est nul; certaines hypothèses sont alors à faire relativement à l'ordre de contact des deux arcs.

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SUR Là représentation CONFORME. SlQ

sur les autres, pour lesquelles on sail résoudre le problème de Dirichlet, est donc effectuée, et la question est dès lors résolue.

16. Il ne sera pas inutile de rappeler que nous avons en défînilive fait connaître dans ce Livre trois méthodes essentiellement distinctes pour la solution du problème de Dirichlet. Ce sont la méthode de M. Neumann (p. 44) s'appliquant aux contours convexes, celle de M. Poincaré (p. 89) qui est absolument générale, et enfin celle de M. Schwarz qui s'est trouvée présentée en deux fois, d^abord (p. 81) et ensuite au paragraphe précédent. On trouvera une quatrième méthode dans le Livre déjà cité de M. Harnack sur le potentiel logarithmique, mais nous nous contenterons d'y renvoyer le lecteur.

IV. — Sur un déTeloppement en séries de polynômes déduit de la représentation conforme.

17. Nous avons déduit (§ 14) de la représentation conforme d'une aire elliptique un développement d'une fonction en série de polynômes. D'une manière générale, pour un contour régulièrement analytique, on peut avoir des développements analogues avec des polynômes qui dépendent uniquement du contour; c'est ce que nous allons établir avec M. G. Faber (*).

Soit donc S une aire, située tout entière à distance finie dans le plan de la variable 2, limitée par le contour C régulièrement analytique; désignons par A l'aire extérieure à C. D'après ce que nous avons vu dans ce Chapitre, on peut faire une représentation conforme de l'aire A sur l'intérieur du cercle F de rayon w/i, dans le plan d'une variable complexe /, et cela de telle manière que le point 2 = 00 corresponde au point ^=0. On aura, pour cette représentation conforme,

et la fonction /('f) sera holomorphe dans le cercle de rayon un^

( » ) G. Faber, Ueber polynomische Entwickelungen {Math, Annalen, t. LVII^ igoS).

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320 GHAPITRK X.

sauf au point ^ = o, qui sera pour elle un pôle simple. La fonction précédente sera aussi holomorphe sur la circonférence et un peu au delà, puisque C est régulièrement analytique. Soit maintenant une circonférence Fi extérieure et concentrique à F, et de rajon très peu différent, de manière que /(^) soit encore holomorphe sur F<. La transformation (2) fera correspondre à F< une courbe C< intérieure à C, et qui sera 1res voisine de cette dernière.

Ceci posé, le point x étant à l'intérieur de C|, nous avons, d'après la formule de Cauchy,

F(x)= , Ç -A^L dz

l'KlJçZ—X

si I' (^) est une fonction holomorphe dans C. En faisant le changement de variable

nous aurons

Cette formule va nous donner très aisément un développement de ¥{x) en série de polynômes, ceux-ci dépendant uniquement du contour C et nullement de la fonction F(:r) que l'on développe.