Si nous revenons maintenant à la formule
on aura un développement de la forme
F(ar) = ao-f-aiP|(x)-f-.. .-h a«Prt(a7)-t-. . .,
OÙ les a sont des constantes : c^est le développement cherché.
Les polynômes P(^) ne dépendent que du contour C; les coefficients a sont donnés par des intégrales définies. Ainsi, on a
La série précédente généralise manifestement la série de Taylor, avec laquelle elle se confond, si le contour G est une circonférence. On pourrait, à l'occasion des séries de la forme
ao-+-aiPi(a7)-i-...-f-a„Prt(ar)-i-...,
développer une théorie analogue à celle des séries entières; mais il nous suffira d'avoir indiqué un mode de développements en séries de polynômes, de nature différente de celui qui nous avait antérieurement occupé.
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I. — Méthode de Cauchy-Lipschitz relative à l'existence des intégrales.
1. Nous commencerons par donner la première démonstration de Cauchy relative à Texistence des intégrales d^uD système d^équations différentielles ordinaires du premier ordre
-;^=/m(ar,^„^,, ...,J^m).
Cette démonstration nous est seulement connue par les leçons du grand géomètre publiées en i844 par M. Moigno; elle concerne spécialement le cas où les fonctions / et les variables sont réelles. Son point de départ, aussi naturel que possible, consiste à regarder les équations différentielles comme limites d'une succession d'équations aux différences. Lipschitz (*) a simplifié notablement la démonstration de Cauchy et a bien mis en évidence les hypothèses fondamentales nécessaires pour la démonstration.
(') Lipschitz, Lehrbuch der Analysis, p. 5o4.
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Pour simplifier l'exposition et éviter des indices itiultiples, nous nous bornerons au cas d'une seule équation; la méthode s'étendra d'elle-même aux m équations écrites plus haut. Partons donc de V équation différentielle du premier ordre
Nous faisons sxxr f[x^y) les hypothèses suivantes. Dans le voisinage d'un certain système de valeurs {x^^y^)^ correspondant à
(i) \x — Xo\<a, 1^ — ^J<6,
la fonction réelle f{x^y) des deux variables réelles x et y est continue, c'est-à-dire que, étant donnée une quantité \ aussi petite qu'on voudra, on pourra déterminer 8 lel que pour
|Aar|<8, |A^|<5,
on ait
|/(a: -^ Aj:, 7 -h Aj) — /(ar, 7) 1< X,
les points (:r,/), {x -h \x^ y -H A^) étant dans la région définie par les inégalités (i).
De plus, et c'est l'hypothèse bien mise en évidence par Lipschitz, il sera nécessaire de supposer qu'il existe une quantité positive k telle que
|/(^,r«)-/(^»ri)l<^lrî~ril-
Cette hypothèse est manifestement d'un caractère très général ; elle est vérifiée, d'après le théorème des accroissements finis, si f a, par rapport à y^ une dérivée partielle qui reste finie.
Ceci posé, soit A une quantité positive satisfaisant aux inégalités
A la, AMS6,
en appelant M la valeur absolue maxima àe f{^x,y) pour les points du domaine (i).
Nous allons montrer qu'// existe une fonction continue y de x satisfaisant à Véquation différentielle
GoogI(
^24 CBAPITRE XI.
définie pour toute valeur de x telle que
|ar — iToK A.
et prenant pour x = Xo la valeur y©.
C'est le théorème fondamental de la théorie des équations différentielles ordinaires.
2. Notre point de départ sera le même que pour arriver à la notion de l'intégrale définie au début du Tome I de ce Traité. Considérons une valeur x pour laquelle
\x — Xq\ < a
(nous pouvons supposer x>Xo). On partage l'inlervalle x^x
en intervalles
a?oXi, a^ia^t, ..., x,i \T.
Formons alors les équations aux différences
qui détermineront successivement les quantités yi, y2i • • • -» J'/i-ii y- On dx)it remarquer que chacune des valeurs trouvées pour les y^ soit pour y/, est telle que
\yi—yo\<à.
On a, en effet, d'abord |)Our yi,
Iri — rol<M(a:i — :ro).<AM<6;
pour y 2 on aura
donc
I yi—yo I < ^{xt-xo) < MA < é>, et ainsi de suite.
La valeur finale y est donc une expression parfaitement déterminée dépendant de a: et des points de subdivision J7i, x^y ..., a?«|. Par analogie avec la question que nous avons traitée dans le cas
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THfiORËMBS GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIPFÉRKNTIELLES. SaS
de Téquation très simple (t. I, p. 2)
nous devons nous demander si cette expression y tend vers une limite déterminée, quand, x restant fixe, tous les inten^alles tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment.
Nous allons montrer qu'il y a bien une limite, et celle-ci est la fonction de x que nous cherchons.
3. Nous considérerons d'abord une première loi de subdivision telle que Ton passe d'un mode d'intervalles au suivant en fractionnant chacun des intervalles précédents. Nous allons établir que, pour une telle loi de subdivision, y tend vers une limite.
Soit
le premier mode de subdivision; nous marquerons par un accent le second mode de subdivision, et pareillement les valeurs de y auront des lettres accentuées. Soient l'intervalle XaiXa^% et
les valeurs intermédiaires des x\
On aura
iym-y/|<(^;«-^/)M<(a:a^.|-^a)M.
Nous supposons la première subdivision poussée assez loin pour que
j?a-.-i — ara<5 et (a7a+i — a:a)M < 8.
On aura par suite, S et A se correspondant d'après les notations du§i,
^E) |/(^m»y/«)-/(ar), IV)|<X.
Or on a
J^n yn- l — i^a — ^n-i)/(^'a-ij yn-i)'f
GoogI(
donc, en faisant la somme et se servant des inégalités (E),
y'n-yt = (a^a-Hi-a-a; [/{;r;, y,) ^- ex j | e |< i.
D'ailleurs on en conclut
/« — ra-f-i = r/ — Ja-+- (a-a-f-i — ^^a) [/(a:'/, y)) — /(^a, 7«) -H eX J ;
mais :r^= :ra; nous avons donc, en nous servant de la seconde hypothèse faite sur/,
inégalité fondame nia le dont nous allons tirer la démonstration de l'existence de la limite.
On voit que cette inégalité donne une limite de la différence des valeurs des lettres accentuées et non accentuées en x^^i en fonction de leur différence en ^a* ^ous sommes donc assuré, en allant de proche en proche, de trouver une limite supérieure de \y — y\ enx.
Désignons, pour abréger, par Vo^.i la difl<érence \yl^ — J^a+i |- L'inégalité précédente, à savoir
Va-f-i< Va-h(ira».t — Ta)[AV«-+-X],
pourra s'écrire
Va-hi < Va[i -h k(XoL^i — Xa)] ■+- X(xa^-i — r^h OU
par conséquent, puisque Vo = o, Va-hi "^ ^ < X: '' "^ A-(a?, — ary)] [i -4- A-(a-j— a?i )] . . . 1 1 -h kiXg^^t — otol)].
Or, pour X positif, on a
