kx < e

on en conclut

Va-f-i< vf«^^'*+' '••- l],

GoogI(

I y'n - ra^i I < ]. [e^^^-^^-'o) - i].

Prenant le point extrême x, nous aurons, d'après ce qui précède, en désignant par^ la valeur à laquelle conduit le premier mode de subdivisions, et par y celle à laquelle conduit le second mode.

Cette inégalité obtenue, la démonstration s^ achève d^ ellemême. A partir du mode de subdivision x^ tous les autres modes de subdivisions suivants x' donnent pour y' des valeurs comprises entre

^-»- j-[g*U-jro)— ij et >'— t[c*^ 'o^— i].

Prenant alors une suite de quantités \ décroissantes et tendant vers zéro, on formera, d'après un mode de raisonnement bien connu, une suite d^ntervalles décroissants, tons compris les uns dans les autres et tendant vers zéro; la limite commune des deux extrémités de ces intervalles est la limite cherchée.

Ainsi, nous avons une limite pour y quand on adopte une loi de subdivisions de la nature indiquée. Je dis que toute autre loi conduira à la même limite. Soient deux modes quelconques de subdivisions de l'intervalle x^x^ marqués respectivement par les

lettres

X et x' \

nous désignerons par x^' la subdivision formée avec l'ensemble des deux premières. Si les intervalles x ei x' sont moindres que 8 (S correspondant, comme plus haut, à une valeur donnée de X), on aura

donc

Il en résulte bien évidemment, puisque), est pris aussi petit que

GoogI(

3a8 CHÀPITRK XI.

l'on veut, que y' aura une limite si y en a une, et ces deux limites seront les mêmes.

En résumé, nous avons établi que, quel que soit le mode de subdivision^ y a une limite parfaitement déterminée. Cette limite est une fonction de x^ qui pour j? = ^o se réduit k y^,

4. 11 reste à montrer que la fonction y de x^ qui vient d'être obtenue, satisfait à l'équation différentielle

Soient, dans l'intervalle A, les trois points j^oj^i^'i et supposons, pour fixer les idées,

Soient y la valeur de la fonction précédemment trouvée en x^ el y sa valeur en x'. Pour trouver y', on peut concevoir qu'on parte de X avec la valeur y et qu'on fractionne l'intervalle xx^ en un nombre de parties grandissant indéfiniment. D'autre part, si Toii ne prend qu'un seul intervalle, on obtiendra la quantité Y' définie par

r^y^{x'-x)f{x,yy,

mais, s\\x' — jr | <C S (S correspondant toujours à une quantité X), on a, d'après le paragraphe précédent,

iV-yK^Le*»-'-'-!].

Nous pouvons écrire cette inégalité sous la forme

On aura donc

y— ^ = (a7'-.:r)/(x,j^)— -^^ [ e*U-x) „ , ] et enfin

d'où résulte (en faisant tendre x' vers x et remarquant qu^alors on

GoogI(

THfiORÈMBS GÉNfiRAUX SUR LUS fiQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 829

peut prendre). de plus en plus petit)quey a une dérivée ^> et Ton a bien

ce qui achève la démonstration.

o. LiC théorème fondamental que nous venons crélablir s'étend sans modifications essentielles au cas de m équations du premier ordre