I -^ =A(ix:,yi,yt,,..,rmh
-^ =fm(a:,yuyt, ...,rm).
Oq suppose que les fonctions / soient continues pour les valeurs des :r et des^ satisfaisant aux inégalités
soit M la valeur absolue maxima des fonctions / dans ce domaine. De plus, on a, pour deux systèmes quelconques de points de ce domaine,
les k étant des constantes positives.
En remplaçant, comme plus haut, les équations différentielles par des équations aux différences, on établira, sans autre peine que quelques longueurs d'écriture, que, dans la région définie par
|ar — a?o I < A, OÙ
A < a, AM < 6,
il existe m fonctions continues y i, ys^ ..., ym de a: satisfaisant au système d'équations différentielles, et prenant respectivement pour
GoogI(
33o CHAPITRE XI.
X =zXq les valeurs ^J, ^J, . . ., y^. La région dans laquelle les intégrales sont définies correspond donc à un intervalle tracé de part et d'autre de x^, et dont la longueur est la plus petite des deux quantités
a el A.
6. Nous venons de trouver un système d'intégrales continues prenant des valeurs données pour x = Xo. Nous allons maintenant démontrer que ce système est unique.
Il suHira de prendre le cas d'une seule équation; le raisonnement est général (*). Soit donc l'équation
Nous avons trouvé une intégrale y, fonction continue de x et prenant pour x=^Xq la valeur ^„. Supposons qu'il existe une seconde intégrale Y jouissant des mêmes propriétés dans un certain intervalle à partir de Xo^ et soit
l'intervalle dans lequel ^ et Y sont toutes deux définies. Soit d'abord
Dans l'intervalle {x^^ ^©-f- B) la différence
a un maximum, qu'elle atteint effectivement, et que nous désignerons par e, si les deux fonctions j^ et Y ne sont pas identiques. Or on a
Or
et, par suite, dans l'intervalle considéré,
(») Nous emprunions cette démonstration au Traité d* Analyse de M. Jordan.
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Il y a donc conlradiction, puisque \y — Y| doit avoir e pour maximum.
Si B est supérieur à — r» on considère d*abord Tinlervalle
b<-Yl<X-e-L = i,
soit e le maximum de \y — Y | dans cet intervalle. On aura, dans celui-ci, d'après l'équation
- Y I ^ le
résultat qui nous conduit à la même contradiction. Il en résulte
que dans Tintervalle (•^o^o+rT:) ^^^ deux fonctions j' et Y
coïncident. On continuera ainsi de j^oH r à jroH- 2— r et ainsi de
suite jusqu'à ce qu'on ait tout l'intervalle de Xq à j?o-1-B- H est donc bien établi que les deux intégrales y et Y coïncident dans cet intervalle (*).
(*} Si dans réquution
on suppose seulement que f{x,y) est une fonction continue de x et y dans le voisinage de {x^^y^ ), sans faire aucune hypothèse relative à la condition de Lipschitz, il pourrait arriver qu'il y eût plusieurs solutions prenant pour x = x^ la valeur y,. Un exemple de ce cas a été donné par M. Peano {Math, Annalen, l. XXXVII); il est fourni par Téqualion
dy Ityx^ dx ^ y^-hx*'
Le second membre esL une fonction continue de x et y dans le voisinage de X = Oy y = 0j car on peut l'écrire
a ya:- 'ix -
et le second facteur a évidemment une valeur absolue inférieure à l'unité. D'autre part, l'équation rentre dans un type élémentaire classique, en regardante comme fonction de^, et Ton obtient facilement l'intégrale générale
y = C — V^G*-h X* (0 constante arbitraire). Donnons à C une valeur positive, el prenons la détermination positive du ra-
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II. — Sur une propriété importante de la méthode de Cauchy-Lipschitz.
7. Avant d'indiquer une propriété importante de la méthode de Cauchy, faisons une remarque préliminaire relative à la continuité de rintégrale. Nous avons considéré l'intégrale de Téquation
prenant pour x=Xo la valeur ^o- S» ''o" prend comme valeur initiale une valeur y,, très voisine dey©, on aura une intégrale très voisine de la précédente. La chose est presque évidente; pour le démontrer, cherchons d'abord la différence des valeurs obtenues, quand on a partagé, comme plus haut, l'intervalle x^x par les points de subdivision
Xot Xi, JTj. ..., Xfi-ly ^î
en prenant successivement pour valeurs initiales ^o^^ J^o* On a les deux systèmes successifs d'équations
avec
ri - /i = (a?« — ar, )/(a?,. y, ),
y — /i,-i = (^ — ^/.-l)/(a?«-i,r«-^)• On a donc
7 — y = yn-l — r«-i -r- (^ — ^n-l)[/{^n-U ^n-i ) — /(^«-l» y'n-l)
et, pnr suite,
\y — y\<\ yn-i - //,-! 1 [l -H Ar(a: — a?«-., )].
dical. Quelle que soit la quantité posiiive C, riniégrale y s*annule poura? = o. L'équation difîérentielle ci-dessus a donc une infinité d'intégrales s'annulant pour X = 0* La condition de Lipschitz n'est pas remplie ici dans un domaine (~a, -+-a), (—6, -h b) comprenant x — o, >' = o.
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THÉORÈnES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 333
On a de même
I Jn-I — y'n-x \ < I yn-t— fn-t I l' "+- k(Xn-i— Tn-l)]y
el ainsi de suile. En multipliant ces diverses inégalités membre à membre, on a
Soient, d*autre part, Y et Y' les deux intégrales de Féquation prenant respectivement pour a: = j:© '^s valeurs y^ ^^y'o' D'après ce qui a été vu au paragraphe 3, on a, A ayant la signification de ce paragraphe,
el
|Y'-yi<^[e*t^-'.^-i].
On a donc
I Y - Y' |< I ro - /o I <^^*^-'^ -^ X [ '''''"''' - * ] •
Or, A est aussi petit que l'on veut, si la subdivision a été poussée suffisamment loin. Donc, si |jKo — >^i | est pris suffisamment petit, on voit que | Y — Y' | sera aussi petit que Ton voudra, ce qui établit la continuité annoncée des deux intégrales Y et Y' correspondant aux valeurs initiales ^q et y^,
8. Nous sommes maintenant en mesure d'indiquer une propriété (*) de la méthode de Cauchy, presque évidente en ellemême, mais qui présente un certain intérêt, surtout quand on la rapproche de quelques travaux récents sur les développements en séries de diverses fonctions. Soit toujours l'équation
et considérons l'intégrale Y prenant pour x = Xq la valeur y^. Supposons que, x croissant à partir de .ro, Y soit continue tant
(>) J'ai indiqué cette propriété dans une Note Sur les développements en séries des intégrales des équations différentielles par la méthode de Cauchy {Comptes rendus, 5 juia 1899). M. Painlevé avait, de son côté, fait la même remarque, comme il Ta indiqué dans les Comptes rendus (19 juin 1899).
que X ne dépasse pas x^->r A, et que, de plus, pour ch<icune des valeurs (j?, Y) correspondant à notre intégrale, la fonction f ne cesse, pour un petit domaine autour de (jr, Y), de remplir les conditions de Lipschitz indiquées au paragraphe 1. Dans cette hypothèse, prenons un point x entre ^o et ^o-+- A et partageons rintervalle x^^x par les points x,, x^^ ..., ^«-i, de manière à avoir la suite
^0, a^i, ^t, ..., a?fl i, X,
Soit d'une manière générale Y^ la valeur de notre intégrale pour x-=^Xi\ on peut, d'après nos hypothèses, prendre les intervalles assez petits pour que dans chacun des intervalles
la méthode de Cauchy soit applicable et que Tintégrale de l'équation prenant la valeur Y, pour x = Xi puisse être donnée par cette méthode. Ces conditions remplies, les intervalles précédents vont rester fixes.
Imaginons alors que Ton fractionne chacun des intervalles précédents; rintervalle {^x^x) sera alors partagé par des subdivisions comprenant les Xi et d'autres points de subdivision, et soit désigné par x^ ce mode de subdivision. Pour cette subdivision, formons directement les équations aux différences, dont l'emploi caractérise la méthode de Cauchy, et cela depuis ^o jusqu'à x. On se rend compte aisément que les valeurs des^ auxquelles conduiront les différences successives resteront dans le champ où/(a7, y") est définie, si la subdivision x a tous ses inten^alles assez petits. En effet, tout d'abord en Xi, on trouve une valeur Y^ très peu différente de Y< ; ensuite, quand on arrive en X2, on trouve une valeur très peu difl'érente de l'intégrale de Téquation qui prend en Xi la valeur Y'^ et, par suite, très peu différente (d'après le paragraphe précédent) de l'intégrale qui prend en x^ la valeur Y|, c'est-à-dire de Y^. On peut aller ainsi de proche en proche (/i étant fini), et finalement, quand on arrive en x, la valeur donnée au moyen des équations successives aux différences, diffère très peu de la valeur Y de notre intégrale, cela, bien entendu, sous la condition que tous \eS intervalles correspondant aux x' soient suffi-
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samment petits. Écrivons la subdivision
il résulte de ce qui précède que les équations successives
y -yn'-x={^ — ^;.'-i)/(a?;'i,r«'-i)
donnent pourj^' une valeur très peu différente de Y. La méthode de Cauchy est donc valable dans tout V intervalle x^^x^ ou l'intégrale est continue, avec la condition imposée en plus ci-dessus àf{x^y). Elle donne dans cet intervalle une valeur approchée de l'intégrale, et il est clair que \y — Y| est inférieur à tel nombre que l'on voudra, si chacun des intervalles x' est assez petit, cela d'ailleurs quel que soit x dans l'intervalle (^o ^o+ A')? ^^ ^' ^^^ inférieur au nombre h dont il a été parlé plus haut.
Supposons, par exemple, que l'intervalle (^q, x) ait été partagé en n parties égales. Pour n assez grand, les équations aux différences conduisent à une expression
et l'on peut prendre [jl assez grand pour que dans tout l'intervalle (a:©, Xfi-^ h') on ait, pour /i ^ [x,
e étant une quantité donnée à l'avance, aussi petite que l'on voudra.
Arrivé à ce point, nous pouvons, si nous voulons, représenter notre intégrale Y par une série. Reprenons en effet l'expression P^(a?), et donnons à /i© une valeur fixe suffisamment grande.
Posons alors
La série
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est uniformément convergente dans V intervalle (xoj x^-^-h'). En efl'et, la somme de ses n — n© 4-i premiers termes est égale à V,t{x)j et, par suite, pour /i^|jl, cette somme différera de Y de moins de £, et cela dans l'intervalle considéré; ce qui établit la convergence uniforme.
9. Les résultats précédents s'appliquent manifestement au cas d'un système d'équations
la fonction F,- satisfaisant aux conditions de Lipschitz, comme il a été dit au paragraphe 5.
10. Arrêtons-nous un moment sur un cas particulier. Soient les p équations simultanées du premier ordre
(3) -^ —XiiXuTt, ...,0?,,) (* = 1,2, ...,/?),
où les X sont des polynômes en x, et considérons les intégrales prenant pour t = o les valeurs x% x®, . . ., x^.
Les conditions de Lipschitz sont évidemment vérifiées ici, tant que tes valeurs absolues des x restent moindres qu'un nombre fixe. D'ailleurs, les équations aux différences de la méthode de Cauchy donneront de proche en proche, si nous partageons l'intervalle
en n parties égales, des polynômes en t. Donc les x pourront être représentés par des séries dont les termes seront des polynômes en t. Ces développements seront convergents tant que les intégrales ar correspondant aux conditions initiales J7®, a:J, ..., x* (pour / = o) seront des fonctions continues de /. On peut ajouter que les termes de ces séries sont aussi des poljnomes en or^, a?2, . . ., Xp.
Le résultat précédent est intéressant, mais, malheureusement, il n'a, en général, qu'un intérêt théorique, car il semble bien
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THÉORfeMBS GÉNÉRAUX SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 887
difficile de déduire de ces développements quelques renseignements sur le champ de la variable t, où les intégrales restent continues. Dans certains cas particuliers cependant, on peut tirer parti très utilement des remarques précédentes; nous allons en donner quelques exemples simples.
11. Supposons que, pour les équations de la forme (3), quelque considération soit susceptible d'apprendre que les \x\ restent toujours inférieurs à un nombre fixe. Sous cette condition, les intégrales considérées se trouvent définies autour de toute valeur de t dans un champ Jixe, et Ton a alors des développements en séries de polynômes valables pour toute valeur de t.
Un exemple intéressant de la circonstance précédente sera fourni par les équations du mouvement d'un cor|)s solide pesant mobile autour de l'origine O. Les équations classiques de ce problème peuvent s'écrire
(4) { Bg=(C-A)r/>-+-MA'(^oY -arof), S-=^^~''V.
dr dy'
G^ =(A — B)/?^-*-M^(a-9T' — roT)» dt"^^^~f'^''
où p^ q^ r désignent les composantes de la rotation instantanée sur les axes d'inertie du point O, et y, y', y" les cosinus directeurs de ces axes avec la verticale; A, B, C sont les moments d^inertie, (•^oî^Oî ^o) représentent les coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes d'inertie et M^ est le poids du corps. Nous avons là six équations différentiel les du premier ordre en />, <jr, r, v, y', y. On a d'abord l'intégrale première
y' -h y'"*- y'* = const.
Dans le problème qui nous occupe, la constante doit être prise égale à un\ écrivons donc
Une seconde intégrale première est fournie par le théorème
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338 CBAPiTtB XI.
des forces vives et s'écrit
h étant une constante arbitraire. Des deux équations précédentes, il résulte de suite que, pour des conditions initiales données (évidemment réelles), les valeurs absolues
Ipl. I9l. l*-!. lïl. Iy'I. W\
restent moindres qu'un nombre fixe. Nous pouvons donc appliquer ce qui vient d'être dit, et nous arrivons à la conclusion que, pour le système (4), on peut développer /?, q^ r, y, "^ et*/ en séries de polynômes convergentes pour toute valeur du temps t.
12. Un exemple plus général sera fourni par un tjpe d'équations dont M. Volterra (*) a montré l'intérêt dans certains problèmes de Dynamique. Ce sont les équations
r— n kz=m
^'=2 ^<''^P'^P'^ (1 = 1,2, ...,n), OÙ les constantes a satisfont aux conditions
On a alors l'intégrale première
/?} -+-/>!-*-... -h />2 = const.
Il en résulte que les p restent moindres qu'un nombre fixe. Par suite, on aura encore des développements des intégrales en séries de polynômes, valables pour toute valeur du temps.
13. Dans les exemples des deux paragraphes précédents, les seconds membres étaient des polynômes. Notre remarque peut s'appliquer encore dans d'autres cas. Soient, plus générale*
( * ) VoLTXRRA, Sopra una cUuse di equalioni dinamiche ( AUi deUa R, Accademia di Torino, 1898).
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TBÉORÈIIES GfiNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 339
ment, les équations
les F étant des fonctions définies pour toutes valeurs des x. Supposons que Ton ait pu démontrer que, pour un système d'intégrales déterminé par certaines conditions initiales, les valeurs absolues des F restent toujours moindres qu'un nombre fixe, quand à la place des x on met les fonctions de t correspondant à ce système. Admettons de plus que,
çi) Si) •••> \p
désignant ce système d'intégrales, on puisse déterminer une quantité fixe (c'est-à-dire indépendante de t) 6, telle que les fonctions des x
P/(^i,a7i, ...,a?j,) (« = i,a, ...,/?) restent moindres qu'un nombre fixe M, quand
Ç/— 6 <xi<\i-^b (t = 1,2, ...,/?),
et satisfassent à la condition de Lipschitz*
On sera assuré, dans ces conditions, que le sj^stème d'intégrales envisagé est défini autour de toute valeur de t dans un champ fixe
de longueur -jrr' et par suite, en allant de proche en proche, le
système d'intégrales est défini pour toute valeur de t,
La remarque générale faite plus haut sur la méthode de Cauchy- Lipschitz, appliquée dans l'intervalle (o, ^) partagé en n parties égales, nous donne le sj^stème d'intégrales prenant, pour ^ = o, les valeurs j:®, xJ, .. ., a?®, sous la forme de séries convergentes pour toute valeur de t\ ces développements seront uniformément convergents dans tout champ fini de la variable t.
Comme application, considérons p points se repoussant deux à deux en raison inverse de la [x**™* puissance de la dislance ([J«.>' i); ce problème a été examiné, à un autre point de vue, par M. Vollerra . En désignant par mi la masse du point M^, nous avons les équations
"sr^"^'' -éû^-flà — -?^^ — (t = 1,2,. ..,/,),
en désignant par r/^A '& distance des points Mj et Ma, et /étant
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34o CHAPITRE XI.
un coefficient positif, avec des équations analogues pour les y et les z. Or le théorème des forces vives donne
- ^ rni{x'i^^Y'i'^->rz'i'^)-\ ^ — y y ^^mT." = C (G étant une constante).
Il résulte de là que, pour des conditions initiales données et, par suite, pour une valeur de la constante C, les \x'^ |, les | i*^- | et les I z'( I restent inférieurs à un nombre fixe, et les r^,* supérieurs à un nombre fixe. Toutes les conditions, postulées ci-dessus, sont vérifiées; car, les points M/etMyi restantàune distance supérieure à un nombre fixe, on peut trouver un nombre fixe b répondant à la seconde condition. Les seconds membres des équations resteront donc moindres qu'un nombre fixe M. Donc, les équations diffé^ rentielles du problème de p points se repoussant en raison inverse de la [x**"**' puissance de la distance (u > i) s'intègrent par des séries convergentes pour toute valeur de t.
III. - Démonstration de l'existence de l'intégrale par une méthode d'approximations successives.
14. Indiquons une autre méthode pour établir Pexislence des intégrales des équations dîfi'érentiellcs ordinaires (*). Nous envisageons, comme plus haut, en changeant seulement un peu les notations, le système des n équations du premier ordre
du
dw . . .
dx
Les fonctions / sont des fonctions continues réelles des quantités réelles ar, m, t», . . ., cv dans le voisinage de x^^ u^^ v^^ . . ., ppo-
(*) J'ai indiqué pour la première fois ces considérations dans mon Mémoire du Journal de Mathématiques (1890). — Voir aussi E. Lindklôff, Comptes rendus, 26 février 189^, et Bbndixon, Académie de Stockholm, novembre 1898.
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£lles sont définies quand x^ u^ c, . .., w restent respectivement compris dans les intervalles
a et 6 étant deux constantes positives.
De plus, on suppose que l'on puisse déterminer n quantités positives A, B, ..., L, telles que
< A I w'— M I -hB I v'— p I H-. . .4- L I iv'— w I,
X ainsi que les 2/, p, ..., (v restant dans les intervalles indiqués. On voit que ces hypothèses sont celles que nous avons faites en étudiant la démonstration de Cauchjr.
15. Ceci |)Osé, nous allons procéder par approximations successives.
Considérons d'abord le système
dui dwy ^ .
nous en tirons, par quadratures, les fonctions u^^ p^, ..., w^, en les déterminant de manière qu'elles prennent pour x^ les valeurs Wo, i'o? • • î «'o' On forme ensuite les équations
-^ = Ai^.fh.Vu .••,«'l), -..1 -^ =/n(^,Ui,Vi, ...^W^i),
et l'on détermine i/2> ^i^ •• •> <^2 parla condition qu'elles prennent i respectivement pour Xq les valeurs Mqj ^o? • • •? <^o- On continue
ainsi indéfiniment. Les fonctions Um^t, <^m-o •••} ^"^m^s seront liées aux suivantes Um, i^ni-, ..., Wm par les relations
dw
dx
= fn(j^i '*/«-! j t^ //»-!, . • . , «'„i t),
el, pour a: = Xo, on a
"/n=Wo, t'^„=(»Oï ...7 «',„=tVo.
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34a CHAPITRE XI.
Nous allons établir que, m augmentant indéfiniment, Um^ Vmt — 9 Wm tendent vers des limites qui représentent les intégrales cherchées, pourvu que x reste suffisamment voisin de x^.
Soit M la valeur absolue maxîma des fonctions /, quand les variables dont elles dépendent restent dans les limites indiquées. Désignons par p une quantité au plus égale ka : s\ x reste dans l'intervalle (iCo — p> ^0+ p)> ^^ ^^^^
|«i — i««|<Mp, ..., |iVi--tva|<Mp.
Par suite, si Mp<;6, les quantités e/|, i^i, ..., pP| resteront dans les limites voulues^ et il est évident qu'alors il en sera de même pour tous les autres systèmes de valeurs a, v^ ..., w. Désignant par S une quantité au plus égale à p, nous allons supposer que x reste dans l'intervalle {xq — 8, iCo-f- S).
En posant
on peut écrire (5) [ } (m = a, ...,«).
Or on a tout d'abord
|mi— Mo |<M| 37 — 370 I, ..., Kl— Wo|< M|ar — a7o|, comme le montrent les relations
rf(M, — Mo) ^, .
gj =A(^,Wo, ..mW^o),
5J = /»(^ï Mo, ... , Wo),
Il en résultera, d'après les équations (5), pour m = 2, |wt— WiK / 1^ — i^o|M(A^-B-^-...-^L)rfa^
et cette limite convient aussi pour \ç2 — ^i\j • • • j | ^^2 — Wi I .
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Les équations (5), pour m = 3, donnent alors £n continuant ainsi, on a d'une manière générale
) I Un-Un^i |< M(A H- B H-. . .-H L)»-' ' ^ "^ ^ J »
Or la série de terme général
est convergente. Par suile, la série
sera uniformément convergente dans l'intervalle
8 étant la plus petite des deux quantités
et l'on a des résultats analogues pour les lettres (^, . . ., (f^. On a d'ailleurs
el puisque les a^, Vn^ .., vvn convergent uniformément vers leurs limites
on peut passer à la limite, et l'on a
it= / /,(a:, w, P, ...,«')c£r-^
On arrive donc enfin à l'équation du
Uq.
dx
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et de même pour les autres équations. Les fonctions w, r, . . , sv sont donc les intégrales cherchées ; elles sont définies dans V intervalle (7).
16. En modifiant un peu les raisonnements précédents, M. E. Lindelr!ff(*) a montré qu'on pouvait avoir, dans certains cas, une [imite plus étendue comme domaine assuré pour IMntégrale.
En effet, l'intervalle convenable autour de Xo, dans lequel doit rester la variable x^ se trouve uniquement assujetti à la condition que les valeurs des u, i^, . . . , sv^ déduites des approximations successives, soient comprises respectivement dans les intervalles
Or, en reprenant les calculs qui nous ont conduit à l'intégrale (6) du paragraphe précédent, on voit immédiatement que, dans ces calculs, M peut être remplacé par M©, en désignant par Mo la plus grande valeur absolue des fonctions de x
quand x reste dans l'intervalle {x^ — a,jCo-+-a). Écrivons donc
I Un- Un-r I < IVlo( A ^. B -^. . . + L)«-i l^~^^°J"- On en déduit l'inégalité
en posant
I M/i — WO I < Mo ] 37 — OTo I -H Mo K
K^ A-4- B4-... +-L, ce que Ton peut encore écrire
Si donc
( • ) E. LiNDELciFP, Sur Inapplication des méthodes d'approximations successives à l'étude des intégrales réelles des équations différentielles ordinaires {Journal de Afal/iématiques, 1894).
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OU
6KN
l^-^o|<^log(l4-|^)
Un sera compris dans l'intervalle (mq — 6, Wo-+-è), et il en sera de même pour v„^ . .., w^. Par suite, le système des intégrales /^, r, . . -, w 5era certainement défini dans l'intervalle
e/i désignant par 8' la plus petite des deux quantités
Nous avons ici un intervalle distinct de celui de tout à Pheure, qui était
8 désignant la plus petite des deux quantités
b a et ^.
Il est clair que, dans certains cas, o' peut être supérieur à ô. Par suite, dans l'hypothèse, qui peut être réalisée, où l'on a
la limite 8' est intéressante, et Ton a avec elle un champ plus grand qu'avec la limite 8 trouvée plus haut.
17. Arrêtons-nous un moment sur un cas particulier, où la méthode d'approximations successives qui précède sera d'un emploi très simple. Admettons que les fonctions / soient finies et bien déterminées, quand x reste dans un certain intervalle I, et quand j^i, y^^ ...^ yn varient entre — oo et H-oo. De plus, les dépistées partielles du premier ordre, dont nous admettons maintenant Vexistence,
-J^ (i, A =1,2, ...,n), restent, je le suppose, toujours moindres en valeur absolue
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qu'un nombre fixe N, quand x reste dans I, et quand les y varient entre — c» c^ H- c».
Dans la détermination de Fintervalle dans lequel doit rester x^ nous n'avons pas ici à considérer la seconde expression (soit 8, soit 8'). En eflet, celle-ci s'est introduite dans la méthode des approximations successives, par la nécessité que les y ne sortent pas du champ dans lequel les fonctions /sont déHnies; or, ici ce champ est illimité. D'autre part, les nombres désignés plus haut par Â, ..., L sont actuellement tous moindres que N, quels que soient les^. Par suite, tout système d^intégrales^ prenant, pour la valeur Xq de V intervalle 1, des valeurs finies quelconques y^t yh • • -î y»» reste certainement fini et bien déterminé dans tout l'intervalle I.
Pour citer un exemple, prenons l'équation du second ordre
^ = V{x)y -f. Q(x) sinj. -f- K{x),
où P, Q, R sont des fonctions continues de J7 dans un intervalle I; on peut affirmer que toutes les intégrales de cette équation sont déterminées et restent finies dans I. L'équation précédente est en effet équivalente au système
^ = y, ^' = ^{x)y H- Q(ar) sin^ ^- R(a7), qui rentre évidemment dans les conditions ci-dessus.
IV. — Cas où les équations sont analytiques; sur le calcul des limites de Cauchy.
18. Les méthodes développées jusqu'ici ne font que des hypo-thèses très générales sur la nature des fonctions / supposées réelles. En supposant que ces fonctions sont des fonctions analytiques des lettres dont elles dépendent, Cauchy a indiqué un type de démonstration dont nous allons maintenant nous occuper. L'illustre géomètre a donné le nom de Calcul des limites au principe fondamental de comparaison qui joue le rôle essentiel dans cette méthode. Le nom n*est pas bien heureux, mais l'idée est réellement féconde : elle peut être appliquée, et de la manière
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THfiORÈH£S GÉNÉRAUX 6CR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 347
la pins variée, à d'autres questions qu'à celle qui nous occupe actuellement (*).
Brîot et Bouquet et M. Méray en France ont simplifié notablement les démonstrations de Cauchy fondées sur le Calcul des limites, et, en Allemagne, M. Weierstrass a fait usage aussi des mêmes principes d'une manière un peu différente.
19. Nous allons suivre Briot et Bouquet dans l'exposition de la démonstration (*). Prenons d'abord une seule équation
La fonction f{x^ y) est supposée holomorphe dans le voisinage de Xo et ^0. On peut supposer évidemment, en faisant un changement de variable, que Xo = yQ= o. La fonction /"(a?, y) sera donc holomorphe par rapport à x et à ^ quand xeiy seront respectivement à l'intérieur des cercles C et C décrits des points x = o et ^ = o comme centres avec les rayons a et 6, et on la suppose contioue sur les circonférences elles-mêmes. Nous appellerons M le module maximum de la fonction y dans ce domaine.
Si Péquation (5) admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de 2? = o et s'annulant pour cette valeur de la variable, elle sera unique et Ton pourra obtenir, au moyen de l'équation
différentielle elle-même, les valeurs des dérivées successives ^>
-j~> • • • pour a? == o. Il suffit de différentier l'équation (5), d'abord
une fois, pour avoir ^-!^« et de substituer dans le second membre
07 = 0, ^' = o; en différentiant une nouvelle fois, on aura^-^ et ainsi de suite. Nous pourrons donc former le développement
( * ) Dans les Œuvres complètes de Cauchy, i^ série, l. VII, on trouvera un grand nombre d'articles des Comptes rendus se rapportant au Calcul des limites.
(») Briot et Bouquet, Journal de V École Polytechnique, t. XXI et Traite des fonctions elliptiques, p. 325.
348 CHAPITKE 11.
Le poinl essentiel, dans la démonstration, consiste à faire voir que le développement ainsi obtenu converge si x a un module suffisamment petit. Ce point une fois établi, il est bien clair que la fonction^ ainsi définie satisfait à Péquation dilTérentielle, puisque les deux fonctions de x
-^ el fix.y)
ont, d'apr^*s la manière même dont y a été obtenu, la même valeur pour X = o ainsi que leurs dérivées de tout ordre; elles coïncident donc, c^est-à-dire que l'équation (8) est vérifiée.
C'est en comparant l'équation proposée à une autre que nous allons pouvoir établir la convergence de la série (9), et Tidéa d'une lelle comparaison forme ce qu'il y a de réellement intéressant et fécond dans ce que Caucliv appelait le Calcul des limites.
Rappelons que, élanl donnée la ronction/( x, j'), on peut trouver une fonction V(x^y) holomorphe dans les mêmes cercles C et F et dont les dérivées partielles, toutes positives pour j; = j^ = o, sont telles que
c'est ce que nous avons vu (Chap. IX, p. sSp); entre autres déterminations de F, nous avons indiqué
Ceci posé, considérons Téqnation difierentielle auxiliaire
admettons qu'il existe une intégrale Y de celte équation, holomorphe dans le voisinage de j; = o, et s'annulant pour a: = o. On aura, pour Y, le développement
(10) Y = ( -7- ) ^ H ( -r— ] a->-h...= A,rrH- AjT'-t-
Les coefiicieiils des puissances dex dans ce développement sont
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THÉOIIÈMES GÉNÉRAUX SUR LKS ÉQUATIONS D1FF^:R£NTIKI.LKS. 3^9
positifs, el, d'après les inégalités (a), on aura visiblement
Le développement (9) sera donc certainement convergent dans le champ où converge le développement (10). Or il est facile de démontrer directement l'existence de la fonction Y. Écrivons Féquation
(Pi M
sous la forme
\ b ) dx "" X
Si la fonction Y existe, les deux membres sont respectivement les dérivées de
V l- et -M«log(,-r).
Nous prendrons la détermination du logarithme s'annulant pour x= Oj détermination holomorphe dans le cercle de rayon a. Comme Y s'annule pour a; = o, on devra avoir
Y-L;^Malog(.-î)
et, par conséquent,
v-'-V-^'oH-î)'
en donnant au radical la détermination -f- i pour or = o.
La fonction Y, ainsi définie, satisfait à l'équation ^ = ¥{Xy Y);
elle s'annule pour j: = o, et elle est holomorphe à l'intérieur d'un cercle ayant l'origine pour centre, et un rayon p annulant la quantité placée sous le radical, c'est-à-dire donné par l'équation
2 Ma
ce qui donne
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35o CHAPITRE XI.
Nous sommes donc assuré que le développement (lo) converge à l'intérieur du cercle de rayon p ; il en est donc de même du développement (9), et, par suite, nous pouvons affirmer que V équation (8) admet une intégrale holomorphe dans le cercle de rayon p ayant V origine pour centre^ et s' annulant pour x = o. Cette intégrale holomorphe est unique.
On remarquera qu'à l'intérieur du cercle de. rayon p on a certainement
on a donc, par conséquent,
à l'intérieur du même cercle.
20. L'analyse précédente s'étend sans modification au cas de n équations
-^ =M^,yuXi, ...,r«)-
On suppose que les /sont holomorphes par rapporta x et auxj^ dans les cercles de rayon a et 6 décrits respectivement à l'origine comme centre dans le plan des x et des^. Si, de plus, M désigne encore le module maximum des fy on comparera ce système au suivant
■Sx =:rfF=-"=-^ = ^(^'^"^ •^'•^'
en posant
F(x,Yi,Y., ...,Y„;= ^
Les Y s'annulant tous pour x=^o sont identiques, et Ton n*a à considérer que l'unique équation
dx l x\( Y\«
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THfiORfcMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 35l
Le rayon p du cercle, dans lequel la convergence des développements est assurée, sera ici
On le voit en raisonnant comme plus haut.
V. — Extension de la méthode des approximations successiTOs et de la méthode de Cauchy-Lipschitz an cas des Tariables complexes. Sur l'étoile correspondant à certaines équations différentieUes (0-
21. La méthode des approximations successives est susceptible de s^étendre au cas des équations analytiques et elle va nous donner un champ assuré de convergence, plus grand que celui qui vient d'être fourni par le calcul des limites. Il n'y a presque rien en effet à changer à l'analyse du paragraphe 14. Bornons-nous, pour simplifier l'écriture, à une seule équation
lc{f(x,y) est holomorphe par rapport aux deux variables complexes X et y^ quand x reste dans son plan à l'intérieur d'une circonférence G ayant Xq pour centre et le rayon a (et sur cette circonférence même) et que ^ reste dans son plan à l'intérieur d'une circonférence G ayant^o pour centre et le rayon 6 (et aussi sur cette circonférence). Désignons par k le maximum du module de
dans les cercles G et G'. En désignant par y^ et y^ deux valeurs quelconques de y à l'intérieur de G', on a
en appliquant le théorème des accroissements finis, tel qu'il a été
(*) J'ai dé?eloppé les considérations qui suivent dans le Bulletin des Sciences mathématique», i888, et dans les Comptes rendus {26 février 1894). Voir aussi ma Note déjà citée {Comptes rendus^ 5 juin 1899).
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étendu par M. Darboux aux fonctions d'une variable complexe (t. 1, p. 48). De l'égalité précédente ou conclut
Désignons encore par M le module maximum à^ f{x^ y) dans et sur C et C.
Toutes les déductions du paragraphe 14 sont alors applicables au cas qui nous occupe. En considérant, comme précédemment, les équations successives
nous obtenons la série
Le lerme général de cette série est une fonction holomorphe dans le cercle F de rayon 8, en désignant par 8 la plus petite des
deux quantités
b ^ et x»>
et, en raisonnant comme plus haut, on a à l'intérieur de ce cercle
\yn-yn^,\< ^^ ^
Dans ces conditions, la série S, dont chaque lerme est holomorphe dans le cercle F, représentera une fonction holomorphe dans ce cercle, comme il résulte d'une remarque générale faite précédemment (p. i58).
L'équation proposée
admet donc une intégrale prenant pour x = Xq la valeur y^^ et holomorphe dans le cercle dont le rayon est la plus petite des deux quantités
et — • M
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THÉORÈMES GfiNÉRAUX SOR LES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 353
11 est bien aîsé de voir que ce nouveau rayon de convergence assurée, pour la série de Taylor représentant l'intégrale holomorphe, sera supérieur à l'expression
que nous a donnée le calcul des limites. La chose est évidente, si c'est a la plus petite des expressions a ei ■^' Dans le cas où ce serait rr» nous avons à vérifier l'inégalité
jvr
ce qui revient à voir que, pour a? positif, on a
inégalité manifestement vérifiée.
22. La méthode de Cauchy-Lipschitz est susceptible aussi de s'étendre aux équations analytiques et aux fonctions de variables complexes. L'analyse du paragraphe 3 s'étend, sans modifications sensibles, en substituant seulement aux valeurs absolues les modules. Il est inutile de reprendre les calculs. La conclusion est la suivante : Considérons, dans le plan de la variable x, le cercle F ayant pour centre x^ et un rayon égal à la plus petite
des deux quantités
h a et ^.
Soit un rayon parlant du point x^ ; on peut, en cheminant sur ce rayon, former les équations successives aux différences, et, sur ce rayon, on obtient une intégrale de l'équation
prenant pour a?o la valeur y^. Pour chaque point x à l'intérieur de r, nous déterminons ainsi une valeur pour y^ relative en quelque sorte au chemin rectiligne XqX, La succession des valeurs ainsi trouvées pour y coïncide- t-e lie avec la fonction holomorphe trouvée au paragraphe précédent? C'est ce que
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nous allons facilement établir. En effet, sur un rayon déterminé, l'analyse du n® 6 relative à Vunicité de la solution est encore applicable; l'équation différentielle
sur un rayon déterminé, a donc une seule intégrale prenant pour j: = ^0 la valeur jKo» H en résulte bien que la méthode de Cauchy- Lipschitz nous donne la même intégrale que la méthode des approximations successives.
23. La remarque fondamentale du paragraphe 8 est aussi applicable au cas actuel. Sur une droite déterminée partant d'un point Xq^ la méthode de C a uchy- Lipschitz est applicable à l'intégrale prenant en Xq la valeur yQ tant que cette intégrale ne cesse pas d'être holomorphe.
Prenons, en particulier, les équations considérées au paragraphe 10
dxi , \ / • \
-^ = X/(a:i,Xj, ...,a-,,) (e = i, «2, . . ., /?),
où les X sont des polynômes en x.
Envisageons le système d'intégrales prenant pour t = to les valeurs x^^J xl, . . . , Xp, En joignant le point to au point variable t, et partageant l'intervalle t^t en n parties égales, on arrivera, comme plus haut, à représenter les intégrales x par des séries dont les termes sont des polynômes en t (et aussi en icj, xj, . . . , Xp),
Quelle sera la région de convergence de ces séries? Elles convergeront, tant que les intégrales envisagées resteront holomorphes sur le rayon allant de to en /. Elles seront donc convergentes dans le domaine que M, Mittag-Lejfler appelle une étoile, et dont nous avons déjà parlé (p. i63). On voit que, dans le cas des équations différentielles de la forme précédente, les développements de M. Mittag-Leffler se déduisent tout naturellement du procédé élémentaire et classique de Gauchy pour démontrer Texistence des intégrales.
24. On pourra souvent obtenir de cette manière des développements de fonctions en séries de polynômes. Prenons comme
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exemple la fonction
Elle satisraitjà l'équalion diUerentielle
dx -^
Donc, d'après ce qui précède, la fonction précédente /?ea/ être développée en une série dis polynômes
Pi(^)-+-Pî(^)-H...H-P/.(ar)-h...,
uniformément convergente à Vintérieur de rétoile relative à cette fonction.
Or l'étoile relative à la fonction
est manifestement le plan tout entier à l'exception de la coupure (+1, -i-oo) sur l'axe des quantités réelles. Nous avon» donc un développement uniformément convergent dans toute aire finie, n'ayant aucun point commun avec la coupure précédente. Ainsi se trouve établi le résultat sur lequel nous nous sommes appuyé (p. i63) pour démontrer le théorème relatif à l'étoile de M. Mitlag-Leffler (').
VI. — Détermination unique d'un système d'intégrales par les valeurs initiales,
2o. Reprenons le système de n équations
■^ =fi{^^yuyt. "",yn),
-^ =Mx,yuyi, ''',yn).
( *) Beaucoup d'autres méthodes ont été proposées pour obtenir le développement de dans son étoile; une des plus élémentaires est celle de M. Goursal
{Bulletin des Sciences mathématiques, 1908).
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Nous avons vu que, si les f étaient holoniorphes dans le voisinage de J7oî y\^ y\ ^rtj il y avait un système unique d'intégrales holomorphes dans le voisinage de a:© et prenant pour cette valeur les valeurs respectives y\^ y\^ . . . , jkS*
Existe-t'il un autre système d'intégrales non holomorphes prenant les mêmes valeurs pour x ^m x^f Par un tel système nous entendons un système d'inlégrales y^^y^y ,, .^ y„ jouissant de la propriété suivante :
On imagine qu'autour de a:©, J'J, . . ., j^J on décrive des cercles de rayons très petits, et Ton suppose que, x restant à l'intérieur du premier en suivant un arc de courbe C aboutissant au point x^^ les valeurs correspondantes des y restent respectivement à Tintérieur des autres cercles; de plus, quand x restant sur C tend vers 5?0î les y tendent respectivement vers les y^ . Ayant ainsi bien défini ce que nous entendons par intégrales prenant des valeurs données pour x = Xq» nous pouvons chercher à établir que le système d'intégrales holomorphes est le seul jouissant de la propriété précédente.
Dans le Mémoire que nous avons déjà cité, Briot et Bouquet établissent ce théorème en se bornant d'ailleurs au cas de n = i . De plus, et c'est le point sur lequel je veux insister, leur démonstration suppose implicitement que x tend vers Xq en suii^ant un arc de longueur finie. Si l'on admet cette restriction, la démonstration pour le cas de n quelconque peut se faire en suivant la marche indiquée dans le cas où x est réel (§ 6). En effet, toutes les considérations développées dans la première Section de ce Chapitre peuvent être étendues au cas où l'on admet que x reste sur un dite fini aboutissant en x^. Nous nous placerons maintenant à un point de vue différent sans faire aucune hypothèse restrictive dans la démonstration ; nous parviendrons au théorème cherché en nous appuyant sur le théorème fondamental relatif à l'existence des intégrales dans la théorie des équations aux dérivées partielles (*).
(*) J'ai donné plusieurs fois dans mon Cours la démonstration qui suit, et je Tai publiée pour la première fois dans la première édition de cet Oavrage, en i8g3.
26. Soit d'abord Téquation unique Nous considérons l'équation aux dérivées parlielles
Il j a uae infinité de fonctions F (j:,^) des deux variables indépendantes X et y, vérifiant cette équation. Si, comme nous le supposons, /{x, y) est holomorphe dans le voisinage de Xq^ jv'o) nous établirons dans un moment qu'on peut trouver une fonction F(ar,j/') holomorphe dans le voisinage de (xo^yo), satisfaisante cetle équation et se réduisant pour x = Xo k une fonction arbitraire, donnée à l'avance, <f{y), holomorphe autour de j^o» Nous admettons ce théorème fondamental qui sera démontré dans la Section suivante.
Ceci dit, soit F(x^y) une telle intégrale; nous supposerons
seulement, comme il est possible, que F s'annule, tandis que -r-
ne s'annule pas, pour x = Xq, y =yQ [il suffit de prendre 'f{y) telle que cp(^o) = o et f'{yo)^o]. Si l'on substitue dans F(x, y), a la place de y^ une intégrale quelconque de l'équation (E), on aura
C étant une constante indépendante de x; on a, eii effet,
àV dF dy dF dF ^,
dx dy dx ôx dy -^ ^ ^ -^ ^
Si maintenant nous revenons à une intégrale^, définie comme au paragraphe précédent, et prenant pour o^o la valeur ^oj on devra
nécessairement avoir
puisque F(:ro,^o) = o. Toute intégrale y satisfera donc à l'équation précédente. Or, si nous nous reportons au théorème de Weierstrass (Chap. IX, §8), nous savons que l'on peut écrire,
puisque (5^)„^o,
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'^{x,j')ne s'annulant pas dans le voisinage de (j^o? J'o) et P{x) étant holomorphe. L'intégrale j^^, que nous éludions, vérifie donc la relation
Elle coïncide açec F intégrale holomorphe (*).
27. La démonstration s'étend d'elle-même à un système d'équations différenti elles
on devra ici considérer l'équation aux dérivées partielles
dx -^'dy^ -^ àya
Nous admettons, comme nous l'avons fait plus haut, qu'il existe une fonction F des n 4- i variables ^, ^i , J'2) • • m J^/i satisfaisant à cette équation et se réduisant pour x = Xq à une fonction arbitraire donnée à l'avance f(^i,^2j •••7»X«) holomorphe dans le
voisinage de jrî,7Sj ---^ JkJ.
Si, dans une telle fonction F(a7, y^^ y^^ . . ., yn), on remplace ^i,^„ , .,^ yn par un système d'intégrales des équations proposées, on aura
G étant une constante indépendante dex.
Prenons alors n fonctions F, que nous désignerons par F|, F2, . . . , F„ ; elles seront déterminées par les fonctions cpi , cpj, . . . ,
(*) On voit qu'il est utile pour la théorie des équations différentielles de ne pas établir Texislence des fonctions implicites en s^appuyant sur les théorèmes relatifs à Fexistence des intégrales. Ajoutons que la théorie des fonctions implicites peut être présentée très simplement en se servant d'une méthode d'approximations successives, comme l'a fait M. Goursat (Bulletin de la Société mathématique, 1903 ).
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THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3oC)
^n qui sonl leurs valeurs pour x = Xo. Nous supposons que
TiC^î^rî» ..•,rS) = o (t' = i,2, ...,n), et que le déterminant fonctionnel
ne s'annule pas pour y®, y?^, ..., ^J.
Un système quelconque d'intégrales yt, y^, ..., yn, prenant pour Xo les valeurs respeclives y% yl^ .. ., y^, satisfera aux équations
^i{^,yi,yi, '••,yn) = o,
F/i(^iJ^i, J^t» ...,j^«) = o.
Or, d'après ce que nous avons vu (Chap. IX, § 11), les valeurs des y, satisfaisant à ces équations, restant dans le voisinage de J^i î yîj • • j yli T"3i"<l ^ resle lui-même dans le voisinage de Xo, et prenant pour x-=Xq les valeurs j^J, yl, . . ,, y®, sont des fonctions holomoiphes de x. Nous arrivons donc encore à la conclusion : il n'y a pas d'autre système d'intégrales satisfaisant aux conditions requises que le système holomorphe,
28. J'ai insisté sur l'existence unique du système d'intégrales dans le cas général où les équations ne présentent aucune circonstance singulière; c'est, en effet, une proposition tout à fait fondamentale et la base même de l'emploi des équations différentielles dans toutes les applications. Il semble de plus, à lire certaines phrases d'un Mémoire de M. Fuchs (*), que ce théorème puisse être mis en doute. Je ne puis partager le scepticisme de l'illustre géomètre. Sans doute, on peut faire une critique à la démonstration de Briot et Bouquet qui suppose fini le chemin considéré,
(*) FuGHS, Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 1886. On retrouve un écho de l'opinion de M. Fuchs dans un Traité récent. J'ai insisté à nouveau sur cette question importante {Proceedings of the London Mathematical Society , t. XXW). M. Painlevé a donné récemment une seconde démonstration {Bulietin de la Société mathématique, 1900).
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36o CHAPITRE XI.
mais la proposition elle-même n'en subsiste pas moins, comme je viens de le montrer, si Ton précise bien Ténoncé. Prenons, en le simplifiant, un exemple cité par M. Fuchs : soit l'équation
dy ^ y^ dx X
dont l'intégrale générale est visiblement
C étant une constante arbitraire. Soit x^^o'^ lorsque x part du voisinage de Xq et y revient après avoir tourné un très grand nombre de fois autour de l'origine, une intégrale quelconque y a une valeur de plus en plus petite, mais il est bien clair que l'on ne peut pas dire qu'on a là une intégrale s'annulant pour x = x©, au sens que nous avons spécifié au § 25.
VII. — Existence des intégrales des systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles.
29. Nous nous sommes appuyé, dans la Section précédente, sur un théorème relatif à l'existence des intégrales d'une équation linéaire aux dérivées partielles. Nous aurons plusieurs fois encore, dans la théorie des équations différentielles ordinaires, à l'employer; aussi allons-nous établir de suite ce théorème en le prenant sous sa forme la plus générale.
Les propositions relatives à l'existence des intégrales des équations aux dérivées partielles ont été démontrées, pour la première fois, par Cauchy, à l'aide du Calcul des limites (*). On a simplifié, de différentes manières, les démonstrations de Cauchy et nous devons citer, en particulier, M. Darboux, M. Méray el \(mc Kowaleski. Le Mémoire de Téminente analyste sur ce sujet est devenu classique (^); c'est ce travail que nous prendrons pour guide dans l'exposé de la démonstration. Démontrons d'abord un théorème préliminaire.
(*) Œuvres de Cauchy {loc, cit.),
( ' ) Sophie Kowaleski, Journal de C relie, t. 80.
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THÉORÈMES GÉNÉRAUX SLR I.KS ÉQUATIONS DIFFÉREiNTIKLLES. 36l
On considère le système d'équations aux dérivées partielles
dui __ ^ » àui
i,k àut ^ ôui
àx
OÙ les A, B, . .., L représentent des fonctions hoiomorphes des seules lettres «i, Wj? •••»«/» dans le voisinage de wj, mJ, . .., aj,. On se donne d'autre part m fonctions de Xt, X2, . . ., a:^
^iixi,Xij...,Xp), ©j(ari,a?j, .. .,3-;,), .... ?/m(^i,^2, • • .7 ^/>)i
hoiomorphes dans le voisinage de a^J, j^J, . .., a:^ et se réduisant respectivement à m®, mJ, ..., wj,, pour ces valeurs des variables
Ceci posé, nous allons établir qu'o/î yoew/ trouver m fonctions Uij U2, ' ..^ Um des p -4- I variables indépendantes x, x^ , x^y . . . , :rj, satisfaisant au système (E) e^ se réduisant respectivement pour x = x^ k Ç)|,<p2, ..., ?/«.
Nous faisons d'abord la remarque évidente qu'on peut supposer nulles les constantes initiales u^x^^x^. Si les fonctions satisfaisant aux conditions de l'énoncé existent, on pourra, à l'aide des équations (E), effectuer leurs développements suivant les puissances de x. On aura, en eflFet, les valeurs de toutes les dérivées partielles des u pour j:- = j:, =. . .= :f^= o. Cela est évident pour les dérivées où x nr figure pas, puisque les valeurs des u sont données pour x = o. Quant aux autres dérivées partielles, on les aura de proche en proche; ainsi les dérivées, où la dérivation est faite une fois seulement par rapport à a?, seront données par les équations (E) différentiées un nombre quelconque de fois par rapport à ^1, ^2? • • '^* Xp. On dérivera ensuite les équations (E) par rapport à x^ et, en s'appuyant sur le calcul des dérivées précédentes, on aura les dérivées partielles où la dérivation est faite deux fois par rapport à x^ et ainsi de suite.
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On aura donc les dëveloppemenls
M,= Pj-^P';a:-f-...-+-P;,jr/«4-...,
où les P sonl des fonctions connues hoiomorphes de oti, X2, • •-? a:p. Si CCS développements sont convergents, ils satisferont au système (E); cela résulte de la manière même dont ils ont été obtenus.
Le point capital de la démonstration est la convergence des séries, précédentes dans un certain domaine autour des valeurs initiales. On reconnaît, dans tout ce que nous venons de faire, l'analogie la plus complète avec ce que nous avons fait dans le cas d'une équation différentielle ordinaire. La démonstration de la convergence va encore résulter d'une comparaison avec un système convenable; c'est toujours l'idée fondamentale du Calcul des limites de Gauchy.
Soit M le module maximum des A, B, ..., L, quand les u restent dans leurs plans respectifs, à l'intérieur d'un cercle de rayon r.
D'après ce que nous avons vu (Chap. IX, p. 260), la fonction
Ml -4- Mj -4- .
peut être prise pour fonction de comparaison, c'est-à-dire qu'une dérivée partielle quelconque de F pour «,= ^2 = - • •== Wot= o est positive et supérieure au module de la dérivée correspondante des fonctions A, B, ... L.
Nous allons comparer le système (E) au système
^ ^ âx dx dx \}x-\-\}t-\-..,-^\}„,2ddXk'
Soit, d'autre part, N le module maximum des fonctions cp(:ri, .^2, . ,., a:^) (qui s'annulent pour ^1 = ^:2=. . .= ar^= o) quand 1^ x restent respeclivement à l'inténnir d'un cercle de rayon p. Aux fonctions ^ nous allons substituer, comme valeurs initiales des U dans (E'), la fonction de comparaison
arj -t- arj -+-... -h Xp
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D'aprèà les propriétés des dérivées des fonctions de comparaison, il est bien clair qu'en développant les U en séries à l'aide du système (E'), comme on a développé les u à l'aide du syslème (E), on trouve des coefficienls positifs et supérieurs au module du coefficient correspondant dans U. Il suffit donc de démontrer la convergence des séries tirées du système (E'). Or les U, ayant même valeur ^ pour j? = o, seront identiques, et le système ('E') se réduit à l'unique équation
d\} Um /dU d\}
dx m
u \ dxi dXi ' ' ' dXp )
Puisque ^ ne dépend que de jti -|-a:2-f-. . .4-^/?, nous pouvons présumer que U ne dépendra que de cette somme. Regardons donc U comme fonction de x et de
Z ^= Xx-r- Xi-\- , . ,-V- Xp\
l'équation précédente devient alors
d\} __ Mmp d\]
(lO)
àx mil dz
et nous avons à considérer l'intégrale U de celte équation qui, pour a: = o, se réduit à
P Or Téquation (lo) exprime que les deux expressions
U et fi jz-^Mmpx
sont fonctions l'une de l'autre. On doit donc avoir
( I— ^^ )s -h Mmpx = ^{{]).
Comment doit-on déterminer la fonction arbitraire J/? Nous
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364 cuàpitrr XI.
voulons que, pour x = o,
on aura donc
H^.) = (-Tf^)
ou
si Ton pose
La fonction ij{t) est donc complètement déterminée, et la relation donnant U sera nécessairement de la forme
C'est une équation du second degré en U : pour j: = ^ = o, elle a une racine nulle et une autre égale à — • La seule qui nous intéresse est la racine nulle : elle est holomorphe dans le voisinage dea: = s=o; c^est donc aussi une fonction holomorphe de x, jjj, a?2, ,.., Xp dans le voisinage de
j* = 371 = . . . = Xp = O.
Le système (E') ajant une intégrale holomorphe, il en sera de même, d'après ce qui a été expliqué, pour le système (E) qui admet dès lors un système d'intégrales satisfaisant aux conditions requises.
30. Du théorème précédent, nous pouvons conclure un théorème plus général, en supposant dans le système (E) que les A, B, ..., L ne dépendent pas seulement des u, mais aussi de :r, X|, X2j . .., Xp. Le théorème qui vient d'être établi subsiste dans ces nouvelles conditions.
Pour l'établir, nous considérerons le système des m+p-\- i
THfiOltM£S GÉNÉRAUX SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 365
é'qtialions
àUm V^ I / , / , ^àUi
dxr- ''
dXp dx
Ce système est de la forme de celui qui a été étudié au paragraphe précédent. On peut se donner pour ;r = o les valeurs initiales de f£|, 1/27 • ' "I Um qui seront les fonctions ^, et aussi les valeurs de jc'j x\^ ..., x'p pour a: = o; pour ces dernières valeurs, nous prendrons
x'=o, t\ = Xx, ..., jr^p=iXp.
Les p + I dernières équations montrent que Ton doit avoir alors a? = ar, x^ = a?!, • • • 7 ^p = 3?^,
et, par suite, nous avons démontré r existence des intégrales du système
— =^A/,A(a,, .,,,Um,X,Xx, •••î^/^)^^»
prenant pour x = o les valeurs <pi, ©a? • • -, ?/«•
31. Ainsi, en particulier, et c'est le théorème sur lequel nous nous sommes appujé (§ 15), l'équation
du ., , du
[où l*on suppose /(a:, y) hoIomorpUe dans le voisinage de ^o»^o] admettra une inlégraie u holomorphe dans le voisinage de x =ûCoj y=yQ se réduisant, pour x = Xq^ à une fonction donnée <p(j') holomorphe dans le voisinage de y = Vo- Pareillement, Téqualion
au j. , .du ^ , .du
admettra une intégrale u se réduisant, pour x = Xq^ à une fonction holomorphe donnée de y^y y^^ ym-
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QURLQUES APPLICATIONS DES TUÉORÈMKS GÉNÉRAUX. 867
I. — Cas où le coefficient différentiel devient infini. Théorème de M. Painlevé sur les fonctions définies par une équation du premier ordre.
i. Nous avons vu, dans le Chapitre précédenl, quelle était la nature de l'intégrale de l'équation
devenant égale à yo pour x = x^, quand /{x^ y) est holomorphe dans le voisinage de (^O)^o)- D'autres circonstances pourront se présenter, et nous aurons à les étudier en détail. Considérons seulement en ce moment le cas très simple où /* deviendrait infini pour ^ = ^07 ^=^0) mais de telle manière que son inverse, s'annulant en (^o? J'o)j
fi^.y)
fût holomorphe dans le voisinage de ce système de valeurs de x et y. Que pouvons-nous dire des intégrales de Téquation (i) prenant pour Xq la valeur y^ ?
On ramènera facilement ce cas à celui précédemment étudié, en considérant x comme fonction de y^ Écrivons alors Téquation sous la forme
Le second membre est holomorphe dans le voisinage de (xo, J^©)»
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368 CUAPITHE XII.
il s*annule pour x = jjq, y =k y^ ; supposoas d'une manière générale que toutes ses dérivées partielles, jusqu'au rang m exclusivement, s'annulent pour ces valeurs (m est au moins égale à i). D'après le théorème fondamental, il y aura une intégrale de l'équation-(2) prenant pour y=yQ la valeur de Xq'j on aura
(3) 37 — j7o=A,(^-^o)'"-^>-f-A,(7-^o)'»-*-«-+-... (Ai^o).
Il en résulte que y peut se mettre sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances croissantes de
le premier terme du développement contenant l'expression précédente à la première puissance. L*intégrale de l'équation (i), prenant pour Xq la valeur de y©? a donc au point Xq un point critique algébrique, c'est-à-dire un point autour duquel se permutent diverses valeurs de la fonction. Ces valeurs sont ici en nombre m -h 1 .
Dans la suite, nous dirons toujours qu'une fonction y de x n en Xq un point critique algébrique, quand elle prend une valeur déterminée (finie ou infinie), en Xq, et qu'elle a autour de ce point un nombre fini de valeurs distinctes se permutant les unes dans les autres quand x tourne autour de Xq,
Il est évident que l'on obtient ainsi toutes les intégrales de l'équation (i) prenant pour x = Xq la valeur ^0, puisque nous avons démontré précédemment que la seule intégrale de (2) prenant la valeur de Xq^ quand ^ tend d'une, manière quelconque vers yoj est précisément fournie par le développement liolomorplie (3).
2. L'équation difTérentielle (1) définit une fonction analytique, quand on s'est donné les valeurs initiales (xo^yo). En supposant / holoniorphe dans le voisinage de (^0^0)? on aura un premier développement en série qui définira y dans le voisinage de x^. L'extension de la fonction en dehors de cetle première région de convergence se fera en se plaçant au même point de vue que dans la théorie des séries entières (Chap. II, p. 68). Si l'on a tracé un arc déterminé allant de Xq en X, on eflectuera, s'il est possible,
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une succession de développements de proche en proche pour atteindre le point X, mais il est clair que Ton pourra être arrêté si l'on rencontre des systèmes de valeurs de (a?, y) qui soient des systèmes de valeurs singulières pour la fonction f{x^ y).
Sans insister sur ces généralités peu instructives, arrétons-nous sur un cas particulier qui nous conduira à un théorème fort important. Prenons Téquation
y est une fonction rationnelle par rapport à y^ et elle est uniforme par rapport à x quand cette variable reste dans une certaine région R. Ou suppose de plus que pour une valeur fixe, d^ailleurs arbitraire, donnée à y y la fonction / de x puisse avoir dans R soit des pôles, soit des points singuliers essentiels isolés; il est évident que ces derniers ne pourront pas ici varier avec y, puisqu'ils doivent être nécessairement des points singuliers essentiels pour un au moins des coefficients des diverses puissances de y au numérateur et au dénominateur de /. 11 n'en sera pas de même des pôles qui, en général, dépendront de la valeur de y. Désignons par (a) l'ensemble des points singuliers essentiels et des pôles qui ne dépendraient pas de y.
Il arrivera, en général, que la fonction /{x,y) deviendra indéterminée pour un certain nombre de systèmes de valeurs de (a?, y) ; ces systèmes seront les racines communes aux deux équations qu*on obtient en égalant à zéro le numérateur et le dénominateur dey. Soit (^) Tensemble correspondant des valeurs de x dans R.
Enfin, si, dans l'équalion (E), on pose j^ = — » on aura une équation de même forme
où/i est rationnelle en j^^, et il pourra arriver que pour certains systèmes de valeurs (y, o) de (:r,jKi)la fonction^ devienne indéterminée; nous appellerons (y) l'ensemble des valeurs correspondantes de X. Ceci posé, nous allons démontrer qu'^Ai dehors des points (a), (P), (y) l'équation (E) n'a d'autres points singuliers que des pôles ou des points critiques algébriques, P. — II. a4
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SjO CHAPITRE XII.
Nous supposons que l'on parte d'un point Xo avec la valeur initiale yo, la fonction / étant holomorphe dans le voisinage de (xof yn)> On mène parj^o un arc de courbe C ne passant pas par les points (a), (P), (y). Cherchons à nous rendre compte des valeurs de l'intégrale le long de cet arc. On avancera de proche en proche sur C en employant successivement les développements en série fournis par le ihéorème fondamental, mais il pourra arriver que les rayons de convergence de ces développements tendent vers zéro et qu'on ne puisse dépasser un certain point X de Tare C. Nous devons nous demander quelle sera la nature du point X pour l'intégrale que nous étudions.
Il est, a priori, évident que trois circonstances peuvent seulement se présenter. En premier lii^u, quand x tend vers X en suivant l'arc G, y peut tendre vers une valeur Y telle que
la fonction -^ r sera alors holomorphe dans le voisinage de
(X,Y), puisque X est distinct par hypothèse des points (a), O); le point X est alors un point critique algébrique.
En second lieu, y peut augmenter indéfiniment, la fonction
ayant une valeur (finie ou infinie) parfaitement déterminée pour :r=X, yi=zOy puisque X n'appartient pas aux points (y), il en résulte encore que X sera ou un pôle ou un point critique algébrique.
En troisième lieu, on pourrait faire l'hypothèse que y n'a pas de limite quand x tend vers X; mais nous allons voir que cela est impossible. Marquons, en effet, dans le plan y les différentes racines Y de l'équation (4), Y <, Ya, ..., Ypt, et considérons de plus dans ce plan le point oo. Si ar reste à Tintérieur d'un cercle de rayon très petit p décrit autour de X, les racines jk de l'équation
resteront dans le voisinage de Y|, ..., Y^, Nous pouvons donc
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décrire autour de ces derniers points des courbes très petiles (si p est lui-même très petit) v,, yj, . . ., y^, à rînlérieur desquelles resteront les racines de Téquation précédente. Décrivons ensuite, toujours dans le plan des y^ un cercle F de rayon très grand.
Ceci posé, revenons à inéquation (E); si l'on prend comme valeur initiale de x un point à l'intérieur du cercle de rayon p tracé plus haut, et pour valeur initiale de y un point extérieur aux courbes y el intérieur à F, on aura une intégrale holomorphe dans un certain champ autour de la valeur choisie de x. Quand on fera varier d'une manière continue les valeurs initiales de x et j^, le rayon de ce champ variera d'une manière conlinur, et il aura inaDifeslement un minimum \ différent de zéro quand x ^X. y décriront Tensemble des domaines où ils doivent rester.
Ces préliminaires bien compris, supposons maintenant que notre intégrale y ne tende vers aucune limite quand x se rapproche indéfiniment de X. Il est impossible que y reste constammeii l à l'intérieur d'une courbe y ou à l'exlérieur de F, car, dans ce cas, y aurait pour limite un des Y/ ou l'infini. Il arrivera donc que j', pour certaines valeurs de ^ aussi rapprochées qu'on voudra de X, sera à l'extérieur des courbes y et à l'intérieur de F. Or nous avons dit que, pour des valeurs initiales de J? et jk satisfaisant à ces conditions, le rayon de convergence autour du points; est au moins égal à un nombre fixe X; il y aura donc un moment où le cercle de convergence du développement enveloppera le point X, et celui-ci ne pourra pas être alors un point d'indétermination. La contradiction à laquelle nous arriverons démontre donc bien qu'en dehors des points (a), (^), (y), Véquation n^a d* autres points singuliers que des pôles ou des points critiques dlgébriques,
3. Ce théorème a été démontré par M. Painlevé, et même dans le cas plus général où f serait une fonction uniforme quelconque de y dans le plan de la variable ^ ( ' ).
li s'étend aux équations qui ne seraient pas du premier degré
( • ) p. Painlevk, Sur les lignes singulières des fonctions analytiques {Annales de ta Faculté des Sciences de Toulouse, 1888).
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en -^* Ainsi Téqualion
algébrique en ^ et -j-» n*a, en dehors d'un certain nombre de
points fixes, que l'on peut marquer à l'avance dans le plan, que des pôles et des points critiques algébriques; c'est un point sur lequel nous reviendrons après l'étude des fonctions algébriques.
On peut énoncer le môme résultat sous une forme un peu différente. Si nous appelons singularité supérieure d'une intégrale toute singularité autre que les pôles et les points critiques algébriques, nous pouvons dire que les singularités supérieures des intégrales de l'équation (5) sont fixes, c'est-à-dire ne varient pas a{fec la constante arbitraire figurant dans l'intégrale générale. On le voit bien pour notre équation (4) où les singularités supérieures ne peuvent être autres que les points (a), O), (y)-
Ce théorème a été souvent implicitement admis, mais on se rendra compte qu'une démonstration rigoureuse était d'autant plus nécessaire que des circonstances toutes différentes peuvent se présenter pour les équations d'ordre supérieur au premier. Là les singularités supérieures peuvent dépendre des constantes d'intégration (*). Ainsi, soit
en éliminant Ci et G2 entre y^ -^ et -j^y on aura une équation algébrique
et les singularités essentielles x^^O^ des intégrales dépendent de la constante Cj.
(*) J'ai appelé Tattcntioa sur cette circonstance dans les Comptes rendus (1886-1887) et avec plus de développements dans mon Mémoire Sur la théorie des /onctions algébriques de deux variables (Journal de Mathématiques, 1889).
QUELQUES APPLICATIONS DES THfiORÈMES GÉNÉRAUX. 878
II. — Équation de Riccati et équation linéaire du premier ordre* 4. Revenons à notre équation (Ë)
y étant rationnelle en y. Les singularités supérieures, comme nous venons de le voir, sont fixes, mais, en général, les pôles et les points critiques algébriques sont variables d'une intégrale à Fautre. Laissons de côté les pôles, et demandons-nous quelle forme doit avoir Féq nation pour que les points critiques algébriques soient indépendants de la constante d'intégration.
Tout d'abord y devra être un polynôme entier en y; car, si l'on avait
P et Q étant deux polynômes en y, (ju'on peut supposer n'avoir pas de facteur commun quand x est quelconque, il suffirait pour :r = ar«, Xo étant quelconque, de prendre comme valeur initiale de y une racine yQ de l'équation
Q(^o,ro) = o-
L'intégrale de l'équation (E), devenant égale à y^ pour x = Xo^
, dy
aurait en ce point un point critique algébrique, puisque ^ est
infinie pour (:ro,^o)- ^" voit donc que Xq serait un point critique algébrique pour une certaine intégrale, et nous avons pris ^o arbitrairement.
Ainsi / est un polynôme en y. Nous allons voir qu'il ne peut être de degré supérieur à deux. C'est ce que montre de suite
l'équation transformée obtenue en changeant y en «Si le
degré m de / est supérieur à deux, cette équation transformée sera de la forme
dx yT"^ y, étant lin polynôme en yt ne s'annulant pas, (juel que soit jr,
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374 CHAPITRE Xli.
pour y^ = o. L'intégrale de celle équalion, qui s'annule pour une valeur arbitraire x^ de a?, aura en Xq un point critique algébrique, car nous sommes encore dans le cas du coefficient différentiel devenant infbii.
En définitive, notre équation (E) doit être de la forme
P, Q, R ne dépendant que de x. D'ailhnirs, dans toute région du plan où P, Q, R sont uniformes, les points critiques des intégrales ne peuvent être que les points singuliers (a) (pôles ou points singuliers essentiels) de ces coefficients : ceci résulte du théorème drmontré au paragraphe précédent. L'intégrale j^ a une valeur déterminée (finie ou infinie) en tout point distinct des points (a); tant qu'elle reste finie, elle ne cessera pas d'être holomorphe, et, si elle devient infinie, son inverse restera holomorphe, puisque
l'équation (6) garde la même forme quand on change y en —-
S. Nous avions déjà rencontré l'équation (6), qui est connue sous le nom adéquation de Biccati (i. 1, p. 436). On peut, comme conséquence du fait capital que les points critiques de l'intégrale générale sont fixes, trouver a priori de quelle manière la constante figure dans l'intégrale générale.
Soient deux points Xq et x distincts des points critiques ; joignons-les par un arc de courbe déterminé ne passant pas par les points critiques. Désignons par^o 'a valeur initiale d'nne intégrale en Xq^ et soitj^ la valeur de cett^^ intégrale quand la variable va de Xq à X par le chemin tracé. Quand y^ est donné, la valeur de y s'ensuit; y est donc fonction de^o et c'est la nature de celte fonction que nous cherchons (•).
On voit d'abord que y est une fonction analytique uniforme ^^ yoj car, pour étendre de proche en proche l'intégrale à partir de Xof en suivant l'arc tracé, on partage celui-ci en un nombre
(*) Nous généraliserons plus tard le raisonnement qui va être fait, quand nous étudierons avec M. Fuchs et M. Poincaré les équations algébriques du premier ordre à points critiques fixes.
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suffisamment grand de parties, et l'on a alors une succession de cercles dans lesquels j^ ou — est holomorphe. Les valeurs successives de rintégrale sont donc des fonctions analytiques dej^o ^^ î' en est, par suite, de même pour la valeur finale^. Quelle que soit la valeur finie ou infinie donnée à j^qj y ^"*'* toujours une valeur parfaitement déterminée qui sera également finie ou infinie; ceci suffit pour que nous puissions affirmer que y est une fonction rationnelle de y^. En effet, la fonction uniforme y ne pourra alors ^oir de singularités essentielles; ayant seulement des pôles à distance finie et à l'infini, elle se réduit donc à une fraction rationnelle (Ghap. V, p. 129).
Mais nous pouvons aller plus loin : j^o sera de la même manière une fonction rationnelle de y^ car on peut aller de x en Xq en suivant en sens inverse le chemin tracé, et le même raisonnement s'applique. Il en résulte que ^ sera nécessairement une fonction linéaire de^©» soit
les A, B, C, D sont, bien entendu, à considérer comme des fonctions de j?, fonctions indépendantes de la valeur initiale j^q ^^ ^ î"~ tégrale. Nous pouvons donc dire que la constante arbitraire y^ entre linéairement dans l* intégrale générale.
Il n'est peut-être pas inutile de souligner le point de cette démonstration où nous avons besoin de nous appuyer suree fait que les points critiques de l'intégrale sont fixes, car on pourrait être tenté d'appliquer le même raisonnement à toute équation de la forme (E). Nous ne pourrions pas regarder y comme fonction de j^07 si les points critiques des intégrales étaient mobiles; eu effet, en faisant varier j^o» il arriverait un moment où ces points critiques, variables avec y^^ rencontreraient l'arc tracé de x^ en x^ et, à ce moment alors, y cesserait d'avoir un sens bien défini.
Nous venons de dire que la constante arbitraire, si elle est convenablement choisie, entre linéairement dans l'intégrale générale de l'équation de Riccati. En fait, nous avions déjà obtenu ce résultat par une voie élémentaire, quand nous avons démontré
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(loc. cit.) que le rapport anharmonique de quatre solutions de l'équation précédente est une constante. En désignant par y la solution générale et par ^i, JKaj^s trois fonctions déterminées satisfaisant à Féquation, nous avons
a étant une constante. En résolvant par rapport à y, on a bien pour celle-ci une expression de la forme (7), où, à la place de^©? se trouve la constante arbitraire a.
6. Un cas particulier très simple de Téquation de Riccali est celui de Féquation linéaire du premier ordre
qui correspond à P = o.
On peut remarquer que les intégrales de cette équation ont non seulement leurs points critiques fixes, mais aussi leurs pôles fixes. En effet, un point j^q du plan, qui n'est pas un point singulier de Q ou de R, ne peut être un pôle d'une intégrale; car, si
l'on change ^ en — > l'équation devient
et une intégrale de celte équation s'annulant en j^q <^st identiquement nulle, puisque y^ = o est une solution et que la solution est unique d'après le théorème fondamental.
On peut intégrer par des quadratures l'équation (8). Posons
u étant là nouvelle fonction et {> représentant pour le moment une fonction quelconque de ;r: on aura
dv du ^ ^
UiMf t/LJu
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QUELQUES APPUCATIONS DBS THfiORblIBS GfiNfiRAUX. 377
Or choisissons v de manière que
ce qui donne
en prenant arbitrairement la constante d'intégration. L'équation se réduit alors à
dx ~~
On a donc
etTéqualion linéaire du premier ordre est intégrée.
A Féquation (8) se rattache une classe un peu plus générale qui s'y ramène immédiatement; c'est Téquation
il suffit de poser
l'équation à laquelle satisfait Vi est une équation linéaire du premier ordre.
III. — Inversion de l'intégrale elliptique. Fonctions entières associées aux fonctions elliptiques.
7. Le problème célèbre de l'inversion de l'intégrale elliptique va nous fournir l'occasion d'appliquer encore les théorèmes généraux du Chapitre précédent. Partons de l'intégrale elliptique
du
ou a, b, Cj d sont quatre constantes distinctes. Nous avons étudié en détail les propriétés de cette intégrale, nous avons défini ses deux périodes et montré que leur rapport est nécessairement imaginaire (p. 233).
Cette fonction de u est complètement définie quand on a choisi
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la valeur ÎDitiale, pour u = Ug, du radical qui figure au dénominateur (tto étant distinct de a, 6, c, rf), et qu'on s'est donné le chemin dMntégration. C'est la /onction inverse qui va maintenant nous occuper, c*est-à-dire la fonction u de z obtenue en posant
du
Cette fonction u de z satisfait manifestement à l'équation difierentielle
(9) ^^y=A(a-a)(a-.6)(a — c)(u-rf);
pour zz=Oj on a u = u^ et -r- a pour valeur la détermination
choisie du radical pour i/=i/o- D'après le théorème fondamental, u sera une fonction holomorphe de z dans le voisinage de 2 = 0 ; nous voulons montrer que u est une fonction, uni/orme dans tout le plan, n'ayant d'autres points singuliers que despotes.
En étendant de proche en proche la fonction, le théorème fondamental cessera d'être applicable quand la variable z arrivera en un point où u prendra une des valeurs a, 6, c, d et o). Supposons d'abord que, pour 5 = a, « prenne la valeur a; nous allons voir que u ne cessera pas d'être holomorphe dans le voisinage de z = x. Il suffît, en effet, de poser
u = a -^ m'*, et l'équation
devient
az
Le second membre est holomorphe dans le voisinage de u' = o, et, par suite, les intégrales de cette équation (suivant qu'on prendra l'une ou l'autre détermination du radical pour u' = o), s'annulant pour z = 0Lj seront holomorphes dans le voisinage de ce point. Le même raisonnement s'applique à b, c, d.
Supposons maintenant que, pour ^ = a, a devienne infini, on
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posera alors
et Féqiiation deviendra dv
-j- = v/A(i— av){\ — bv){\ — cv){\ — dv). dz
Le second membre élanl holomorphe pour p = o, on en conclut que V est holomorphe dans le voisioage de a. La fonction u est donc uniforme autour de a, admettant simplement ce point comme pôle.
De ce que, quelque valeur (finie ou infinie) que l'on donne à m en un point a, Tinlégrale correspondante de (9) est uniforme dans le voisinage de ce point, on conclut souvent, sans plus d'explications, que toute intégrale de cetle équation est une fonction uniforme dans tout le plan de la variable complexe ^ (* )• Une telle manière de raisonner pourrait conduire, pour des équations d'ordre supérieur au premier, à des résultats inexacts. Nous avons supposé implicitement plus haut que l'intégrale, étendue de proche en proche, prenait en chaque point du plan une valeur déterminée. Or il pourrait en être autrement, s'il était possible, par exemple, que cette intégrale eût des points singuliers essentiels.
Quelques mots d'explication seront ici suffisants pour rendre la démonstration rigoureuse, mais il est indispensable de les dire.
Nous allons montrer que, d*un point arbitraire 5© comme centre, on peut toujours décrire un cercle d'«/i rayon fixe p, tel qu'à l'intérieur de ce cercle l'intégrale u soit uniforme. Ceci étant prouvé, il est manifeste que l'extension analytique de la fonction pourra se faire de proche en proche à l'aid»* d'un cercle de rayon invariable; la fonction pourra donc s'étendre dans tout le plan, et ne cessera pas d'être uniforme.
Pour démontrer l'existence de ce nombre p, considérons le plan de la quantité complexe u. Traçons autour des points a, 6, c, d des cercles C de rayons suffisamment petits, qui vont rester fixes,
(') Il eo est ainsi, par exemple, dans le Traité classique de Briot et Bouquet. J'ai insisté {Bulletin des Sciences mathématiques, 1890) sur l'insuffisance de ce raisonnement et montré comment on peut rendre la démonstration complètement rigoureuse.
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38o CHAPITRE XII.
et de l'origine comme cenlre décrivons un cercle T d'un rayon assez grand, qui, lui aussi, restera invariable. Tant que u est intérieur à r et extérieur aux cercles C, on a un rayon de convergence déterminé par le développement de l'intégrale de l'équation (9). Ce rayon de convergence a, quand u varie dans la région indiquée, un certain minimum différent de zéro. Supposons maintenant que u soit dans un cercle C, on posera u = a -^ a'*^, et l'on a, comme nous l'avons vu, une équation en u\ à laquelle on peut appliquer le théorème fondamental. Tant que 1/' restera dans un certain cercle C\ transformé de C, le rayon de convergence de la série donnant u' restera encore supérieur à une certaine limite. Nous avons donc notre minimum p, tant que 1/ reste dans le cercle F.
Si u est extérieur à ce cercle, on pose u = -* et nous avons l'équation
-j^j =^(i-'au)(i-bi>)(\—cv){i—dv);
V restera compris à l'intérieur d'un cercle F', transformé de F. Quand r reste dans le cercle F', on a un certain rayon de convergence pour l'intégrale v^ et ce rayon a un minimum différent de zéro. Nous avons donc, en résumé, en prenant le plus petit des différents mini ma trouvés, un rayon p tel que l'intégrale a, qui prend en un point arbitraire Zq une valeur arbitraire, finie ou infinie, est certainement définie et uniforme à Tintérieur du cercle ayant z© pour centre et un rayon égal à p. La démonstration est donc com/flétée.
