La fonction inverse w de 5 définie par
du
OÙ R (m) est un polynôme du quatrième degré dont les racines sont distinctes, est donc une fonction uniforme de z dans tout le plan. Remarquons de suite qu'il en est de même quand R (u) est un polynôme du troisième degré à racines distinctes : nous avons vu, en effet, qu'on passe d'une intégrale à l'autre au moyen d'une substitution linéaire. On peut l'établir aussi directement par les
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raisonnements du paragraphe précédent, auxquels il faut cependant apporter une petite modification. Dans le cas oi!i u devient infinie,
il faut poser
et l'on peut appliquer le théorème fondamental à Téquation en v. Une remarque importante découle de là; les pôles de u sont, dans le cas où R (a) est du troisième degré, des pôles doubles.
La propriété capitale de la fonction inverse est la double périodicité. Nous avons rappelé que l'intégrale avait deux périodes distinctes o) et co' ; ceci veut dire qu'à une même valeur de u correspondent, en choisissant convenablement le chemin d'intégration, une infinité de déterminations de l'intégrale rentrant dans la formule
z -f- mu) -H /n'a)',
z désignant l'une de ces déterminations, m et m' représentant deux entiers quelconques. Si donc nous posons
on aura, quels que soient les entiers m et m' positifs ou négatifs,
X (-S -h moi H- m'a)') = X (z).
La /onction X(3) est donc doublement périodique. Rappelons encore que le rapport -7 est nécessairement imaginaire.
9. On peut représenter géométriquement sur le plan de la variable z la double périodicité de la fonction X (2). Marquons d'une part les points co, 2(o, 3(o, . . . et d'autre part les points o)', 2 a>', 3co', .... Les premiers sont situés sur une droite Oa (O étant l\irigine) et à égale distance les uns des autres, et de même les seconds sur une droite 06; par les premiers points menons des parallèles à Ob et par les seconds des parallèles à Oa. Ces deux séries de parallèles divisent le plan en parallélogrammes égaux, et leurs points d'intersection sont les points m a> -1- m' a>' homologues
38a CHAPITRK XII.
de Torigine. La double périodicité consiste en ce que la fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Il est clair que ce réseau de parallélogrammes n'est pas entièrement déterminé; Torigine O est un point arbitraire du plan et Ton peut, par conséquent, déplacer le réseau parallèlement à lui même.
En se reportant à la forme précédemment donnée (Chap. VIII, p. 223) des déterminations multiples de l'intégrale (i o), nous voyons qu'à une valeur arbitraire de u correspondent deux valeurs distinctes de z. c'est-à-dire deux valeurs qui ne diffèrent pas d'une somme de multiples des périodes. On peut encore énoncer ce résultat en disant queTéquation
a étant une constante quelconque (finie ou infinie), admet deux racines dans un parallélogramme de périodes.
£n particulier, la fonction A (z) a deux pôles dans chaque parallélogramme de périodes; dans le cas où le polvnome R {u) est du troisième degré, ces deux pôles coïncident et l'on a dans chaque parallélogramme des périodes un seul pôle, mais il est double.
10. Une remarque sur les pôles de X [z) va nous être utile dans un moment, écrivons explicitement l'équation différentielle
(t)' = Au*H-BM3H-Ga»-4-Da-hE.
Soit a un pôle dans un parallélogramme de périodes. Dans le voisinage de a, la fonction u peut se mettre sous la forme
u = hB-}-Y(^ — a)-h
Calculons les deux premiers coefficients a et ^. En substituant le développement dans l'équation différentielle, on aura
Nous devons égaler les coefficients des diverses puissances de
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>s — a. On a ainsi, en prenant les coefficients de (z — a)^* et de
Ainsi, nous trouvons pour a deux valeurs égales et de signe contraire; elles correspondent aux deux pôles distincts de la fonction dont les résidus sont, par conséquent, égaux et de signe contraire. Au contraire, le second coefficient ^ n'a qu'une valeur.
H. La fonction X (-s) peut bien facilement être représentée par un développement en série, et, quoique ce résultat ne soit pas d'un grand intérêt pour le développement de la théorie des fonctions elliptiques, nous y reviendrons un moment, puisque nous avons déjà eu l'occasion d'étudier au Tome I (p. 296) des expressions analogues.
Nous pouvons supposer que l'une des deux périodes est Atzi; il suffit pour cela de remplacer z par Ara, k étant une constante convenable. Appelons donc lo ei 2Tti les deux périodes ; la partie réelle de eu n'est pas nulle, et pour fixer les idées nous la supposerons positive.
Soient a et a' les pôles de la fonction dans un parallélogramme de périodes. Je forme la série
Celte série est convergente pour toute valeur de z comme nous allons le montrer; on doit seulement emarquer que, si z est de l'une ou l'autre forme
(11) an- piM) -4- 'ÀÇTii, a! -+- />w -h iq-Ki^
p el q étant entiers, il y aura dans la série un terme devenant infini, et il faut entendre alors que la série est convergente quand on a laissé ce terme de côté.
La démonstration s'appuie seulement sur les règles élémentaires relatives aux séries. Prenons d'abord la partie de la série où m est positif. Pour m suffisamment grand, chaque terme est comparable
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384 CHAPITRE xn.
à e~'"^^ et, puisque la partie réelle de w est positive, cette partie de la série est convergente. Pour la seconde moitié de la série (m < o), le terme de rang m pour m très grand est comparable à e"'***, et la convergence est encore évidente.
Ainsi, sans qu'il soit besoin d'insister davantage, la série représente une fonction y*(z) uniforme dans tout le plan et admettant comme pôles les points des suites (i i)- Elle admet d'ailleurs évidemment les deux périodes 211;/ et w. La chose est évidente pour la première période, puisque chaque terme admet cette période ; quant à la seconde, elle résulte de ce que la série ne change évidemment pas quand on remplace m par m -|- i.
On voit de suite que les résidus dey(z) relatifs aux pôles a et a' et leurs homologues sont égaux et de signe contraire ; ils sont respectivement
et
ga — g«' ga' — ga
En multipliant / (z) par une constante convenable H, nous pouvons faire que les deux fonctions X (z) et H/ (z) aient les mêmes résidus; la différence
Xiz)-Hf(z)
est donc une fonction doublement périodique, qui n'a pas de pôle dans un parallélogramme de périodes. Son module reste donc, dans un parallélogramme et par conséquent dans tout le plan, inférieur à un nombre fixe : elle se réduit donc à une constante d'après le théorème de Liouville. On peut donc exprimer la fonction \{z) à Vaide de notre série f{z),
12. D'après le théorème de Weierstrass (Ghap. V, p. 149)1 la fonction \{z) doit pouvoir se mettre sous la forme d'un quotient
les deux fonctions G ( z) et G| {z) étant des fonctions entières de z, n'ayant pas de racines communes. On peut évidemment mettre d'une infinité de manières une fonction, telle que X(z), sous cette forme, puisque l'on peut multiplier les deux termes de la fraction
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par^*'*', R étant une fonction entière. Parmi les fondions entières, dont le quotient donne \ (5), il en est d'extrêmement intéressantes qui jouent un rôle fondamental dans la théorie des fonctions elliptiques. Les considérations suivantes vont nous y conduire très simplement.
Considérons l'expression
/ dz I [mu*-^-pii)dz
m et p désignant deu\ constantes, et u étant toujours la fonction doublement périodique de z définie par Téquation
/^y = AM*-hBa3-hGa»-hDM-hE.
Nous voulons montrer qu'on peut choisir les deux constantes m et p de telle sorte que Vexpression (12) soit une fonction entière de z.
Les pôles de u sont les points singuliers de la fonction ( 12). La première intégration
/ ( ma* -h pu ) dz
donnera en général un logarithme. Voyons si nous pouvons choisir m et /? de manière que l'intégration ne donne pas de terme logarithmique. En reprenant les notations du § 10, nous avons
el l'on voit que, si
nous n'aurons pas de terme en -— — ; il n'y aura donc pas de logarithme après la première intégration, et cela pour l'un et l'autre pôle, puisque ^ a la même valeur — -r-r pour les deux pôles. Nous avons donc la première relation
— /nB -h 'z/jA = o.
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La seconde intégration se réduit alors à
et, par suile, elle introduit le terme logarithmique
— ma* log(-5 — a) -h
Or, pour l'un et l'autre pôle, a*^ a la même valeur -j-; si donc
/na* = — I ou m = — A,
l'expression (12) sera holomorphe dans le voisinage de s = a, et admettra a comme racine simple.
Il résulte du calcul précédent que l'on doit prendre
La fonction
est une fonction entière; elle a pour racines simples tous les pôles de u et n'en a pas d'autres.
Si, maintenant, nous considérons le produit
nous voyons que ce sera une fonction entière G|(^), puisque les pôles de X(z) sont racines de G(z). De plus, G(5) et G, {z) n'ont pas de racines communes, (j{z) n'ayant d'autres racines que les pôles de \{z).
Nous avons donc
Gx{z)
13. Les fonctions entières G et G| jouissent de propriétés remarquables. D'après la définition même de G(z), on a
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QUELQUES APPLICATIONS DES THCORÈMBS GfiNtRAUX. 387
Nous avons donc
Or le second membre ne dépend pas de z, puisque mu^-\-pu admet eu comme période, et que d'ailleurs les résidus relatifs aux pôles de cette dernière fonction sont nuls. En désignant par [jl la valeur constante du second membre, nous aurons donc en intégrant
<i3 ) G(« -4- w) = eV'^^'^Giz),
V étant, comme [x, une constante.
On aura de la même manière Tid entité
(i4) G(z-h (o') = el^'x-»-v G(^),
{jl' et v' étant encore des constantes.
Les identités (i3) et (i4) expriment une propriété fondamentale de la fonction G{z). Nous sommes donc ainsi conduits à ces fonctions entières que Briot et Bouquet (*) appellent /o/ic^/o/i5 intermédiaires, et dont Tétude a été faite par M. Hermite dans ses lettres à Jacobi en i844- La fonction Gi (z) satisfait évidemment aux mêmes relations.
14. Arrêtons-nous sur la forme canonique, qu'ont rendue célèbre les travaux d'Abel et de Jacobi; l'équation différentielle se réduit dans ce cas à
La fonction u est complètement définie par la condition que, pour
du
Nous désignerons, suivant l'usage, par
(*) Briot et Bouquet, Théorie des fondions elliptiques, p. 236.
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cette fonction elliptique, sn-s étant l'abréviation de sinanus. Cette fonction est impaire, c'est-à-dire que sn( — z) = — sns, puisque rintégrale elliptique donnant z en fonction de u change de signe quand on change u en — u.
Si Ton se rappelle les résultats obtenus (Chap. VIII, p. 233), on vbit de suite que les périodes sont ici
en adoptant les notations précédemment employées. Les pôles de
sn^ sont {loc. cit.)
iK' et îK-t-iK',
et toutes les valeurs qui s'en déduisent par addition de multiples de périodes. De plus, du changement de variable efTectué (Chap. VIII, p. 233), on conclut
sn(z-hiK')= '
A-sn^
Cherchons, à l'aide de cette formule, la valeur du résidu de snz correspondant au pôle /K'. Nous devons obtenir la limite du
produit
{Z'-iK')snz,
pour z = iK', ou, en posante = iK'-h e, la valeur du produit
esn(tK'-+- 6), pour e = o. Or ce produit peut s'écrire
Arsne' dont la limite est manifestement t> puisque (— V-^) =i. Le résidu correspondant au pôle 2K -h iK' est — -r*
15. Que devient, dans le cas particulier que nous examiDOns, la fonction G{z) du § 13? On a alors, en prenant Zq= g,
-*» I dz I «n's Hz
Celte fonction entière a été d*abord considérée par M. Weierslrass {Journal de Crelle, i856) qui la désigne par PlI{z) (*). Celte fonction, étant une fonction entière, peut être développée en une série toujours convergente ordonnée suivant les puissances de z. Les coefficients de ce développement peuvent se calculer facilement de proche en proche, en se servant de l'équation différentielle qui définit sn^. On reconnaît ainsi immédiatement que les coefficients des diverses puissances de z sont des polynômes en k. Ce développement est convergent pour toute valeur de z et pour toute valeur de A*. Si l'on pose G| (5) = A/| (2), le développement de Kl{{z) jouira de la même propriété que le développement de PlI{z).
