Terminons en indiquant un système remarquable de deux
équations différentielles auxquelles satisfont PlI{z) et Â/|(^).
Soit
u = sn z
et posons, pour abréger,
Nous allons former deux équations auxquelles satisfont ces fonctions. La fonction u satisfait aux deux équations
la seconde n'étant autre que la première équation dérivée. Dans
ces équations, substituons
on a ainsi
( * ; Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 465.
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SgO GHAPITRK XII.
De ces deux équations, on tire de suite, en remplaçant dans la seconde le produit -7- -7- tiré de la première,
Les fonctions U et V étant premières entre elles (c'est-à-dire n*ayant pas de racine commune), on déduit de là
P(^) étant une fonction entière.
Or, en désignant par eu et (o' les périodes de snz, nous savons que les fonctions U et V se reproduisent multipliées par des exponentielles de la forme eH^+^ et et*'*+^' quand on change z en -3 -h eu et >3 -t- eu'. Dans ces conditions le quotient
dz^ Kdzl d /V
u» "" dz
sera une fonction doublement périodique. On en conclut que la fonction P(z) est une fonction doublement périodique entière et y par suite, une constante,
La valeur de cette constante est facile à calculer; il suffit de faire >2 = o, dans la seconde équation. Or, puisque
-X» / dz I «n'z dz
V = e ^' ^° ■ , U=Vsn«,
on a, pour z = o,
par conséqueni P{z) = o. Les deux équations cherchées sont donc vg.*...-(^^)-.o.
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QUBLQUSS APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAiX. 891
Nous n'insisterons pas davantage sur les fonctions elliptiques. Nous n'avons pas voulu en ce moment faire leur étude, mais présenter simplement quelques applications des théorèmes généraux de la théorie des fonctions. Après avoir étudié les fonctions algébriques, nous reviendrons plus longuement sur les fonctions doublement périodiques.
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392 CHAPITRK XIII.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE. - THÉORÈME DE M. NŒTHER. - SURFACES DE RIEMANN.
I. — Définition des fonctions algébriques; développement dans le voisinage d'un point.
1. Nous avons déjà considéré, dans un cas très particulier, une fonction algébrique : c'est le cas (Chap. V) où la relation entre u et z est de la forme
R étant un pol^'nome en z. Il esl indispensable que nous approfondissions Tétude générale des fonctions algébriques. Partons donc de la relation ♦
y étant un polynôme en a et .3 irréductible, c'est-à-dire ne pouvant être décomposé en iin produit de polynômes de degré moindre. Le polynôme est supposé de degré m en u pour une valeur arbitraire de z. Pour une telle valeur de 5, nous avons donc m valeurs distinctes de u; d'après le théorème général sur la décomposition en facteurs des fonctions de plusieurs variables (Chap. IX, § 9), il existera m développements holomorphes dans le voisinage de Zq et se réduisant respectivement pour z = Zo aux m racines de l'équation /(w, Zo)^= o. Si donc on part en s© avec une des racines Uq de cette équation, on pourra suivre de proche en proche la racine choisie, pourvu que le chemin ne passe pas par
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'UNK VARIABLE. SgS
un point où plusieurs racines de (i) deviennent égales, c'est-à-dire par un point critique.
Le cas où une racine et une seule deviendrait infinie ne présente
aucune difficulté; on pose dans l'équation (i) w = 7 et Ton a
Téquation
cette équation a alors une racine nulle simple.
On peut remarquer que dans toute portion du plan ne contenant aucun de ces points critiques, le prolongement analytique de la fonction (ou de son inverse, si u devient infinie) se fait toujours à l'aide d'un cercle dont le rayon ne descend pas au-dessous d'un certain minimum, et nous concluons de là que, une fois choisie la racine en un point Zq de l'aire limitée par nn contour simple ne comprenant à son intérieur aucun point critique, l'équation (i) définit une fonction uniforme dans cette aire.
2. Nous avons jusqu'ici laissé de côté les points critiques. D'après un théorème déjà établi (Chap. IX, § 7), nous savons que, si cette équation a, pour ^ = a, /i racines égales à ^, elle aura, pour z voisin de a, n racines et n seulement voisines de p. Soient, en Z{ voisin de a,
(2) Ml, l*î, ..,, Un
ces n valeurs. Si nous partons de z^ avec la détermination u^ et que z tournant autour de a revienne en ^4, ?/, qui n'a pu varier que très peu, sera resté voisin de p et se retrouvera alors en z^ avec une des déterminations (2). Si l'on retrouve «i, la racine considérée sera holomorphe dans le voisinage de a. Soit, dans l'hypothèse contraire, Wa la détermination trouvée; en tournant une nouvelle fois on obtiendra, soit u^, soit une des autres déterminations M3, . . . , Un- Dans le premier cas, on aura deux racines u^ et U2 se permutant autour de a; dans le second, on continuera de la même manière, et finalement on arrivera à n* racines
tt,, Mj, ..., Un' (n'in) se permutant circulairement autour de a. On dit que ces n' racines,
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qui pour5 = a prennent toutes la valeur 3, forment un système
circulaire. Si l'on pose
la foociion u considérée comme fonction de z' sera holomorphe dans le voisinage de «' = o, puisque z fait n! tours autour de a, quand z' fait un tour autour de Torigine. UéquatioD
aura donc une racine holomorphe autour de l'origine, et, prenant pour z'= o la valeur p, on peut la développer en une série entière
Si maintenant nous revenons à la variable z, nous aurons le développement
(3) i*= pH- A(2 — a)'*'^-B(^-aK-f.....
j Aux n' déterminations de (z — a)"' correspondent n' valeurs de u : ce sont les n! racines qui se permutent circulairement. Nous arrivons donc à cette conclusion :
Les racines qui pour z^= cl deviennent égales à p forment un ou plusieurs systèmes circulaires, et les racines d'un même système circulaire sont, dans le s^oisinage de a, représentées par un développement de la forme (3).
3. Le résultat précédent pourrait suffire pour la théorie générale des fonctions algébriques et de leurs intégrales, mais, au point de vue pratique, on doit se demander comment on pourra obtenir les divers systèmes circulaires et les nombres /i' correspondants. Cette étude a fait l'objet d'un Mémoire classique de Puiseux(*).
Nous pouvons supposer a = ^ = o, et nous partons donc de
(*) PuisEUx, Mémoire sur les fondions algébriques {Journal de Mathématiques t. XV; iS5o).
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PONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE YAEIABLE. SqS
réquation
en admettant que, pour z = o, l'équation ait n racines nulles.
Pour z très petit, Péquation aura n racines elles-mêmes très petites; ce sont ces racines que nous devons étudier.
Soit u une de ces racines : pour une valeur infiniment petite de z, tous les termes du premier membre de (Ë) sont infiniment petits. Nous allons nous laisser guider par cette idée que u doit être par rapport à z d^un ordre infinitésimal déterminé. On aura alors deux termes au moins du même ordre infinitésimal, soient
A<»«mP et A'-sa'aP'.
De ce que la limite de
est une quantité finie différente de zéro, on conclut que u est de Tordre de zH-, ^ étant un nombre commensurable, nécessairement d'ailleurs positif.
Si l'on connaissait la valeur de [x correspondant à une certaine racine, on ferait dans l'équation (E) la substitution
u = tzl»-,
et l'on aurait, pour >3 = o, une certaine équation en t. Les racines de cette équation en t^ finies et différentes de zéro, donneraient les racines de l'équation (E) d'ordre |jl : il faut donc trouver |jl. Soit
f(u,z)=^Aai,^z^U?.
Si u est de degré p. par rapport à z, le terme général sera d'ordre infinitésimal
On aura toutes les valeurs possibles de [x en égalant a 4- ^ix à une autre expression analogue a' + ^'[jl, mais toutes les combinaisons ne sont pas acceptables. La valeur de ^L donnée par l'égalité pré* cédente doit être telle que, après avoir remplacé u par tz\^ dans l'équation, les autres termes soient d'ordre au moins égal à a -|- pjx.
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SgÔ CHAPITRE XIII.
Pour trouver les valeurs de [jl, on procède de la manière suivanle. Soit [jl une valeur convenable donnée par
[JL représente l'inverse du coefficient angulaire changé de signe de la droite joignant les deux points A et A' de coordonnées (a, P) et («', P') rapportés à des axes rectangulaires Oa et Op. De plus a -h P|JL représente l'abscisse à l'origine de cette droite; pour tout autre ternie correspondant à
on doit avoir
d'où l'on conclut que le point (a'', ^'^) doit être sur la droite AA' ou au-dessus (dans le sens des ^ positifs).
On est ainsi conduit à la règle suivante : figurons tous les sj^stèmes d'exposants (a, p) par des points rapportés à deux axes O a et Op. Il y aura un point au moins sur Oa : soit P le point le plus rapproché de l'origine {^g- 36). Autour du point P, on fait tourner OP de gauche à droite, jusqu'à ce qu'on rencontre un ou
Fig. 36.
plusieurs sommets; soit A le dernier de ces sommets. Faisons tourner ensuite la droite PA, toujours dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs autres .points; soît A' le dernier de ceux-ci. On fait tourner ensuite la droite AA' autour de A', et Ton continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à l'axe O^; sur cet axe, le point ^ = n est le plus voisin de l'origine.
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PONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNB VARIABLE. 897
Soit donc un côté quelconque AA' dont le coefficient angulaire est > et désignons par
les termes correspondant à ce côté. On remplace u par tz^ et l'on a, après suppression du facteur 2<*+Pt*,
(4> A«?-i-...-f.A'rP'-f.^A(...^=:o (/i>o).
Pour s = o, nous avons Téquation en ^, qui a p' — ^ racines différentes de zéro,
Au côté AA' correspondent donc ^' — ^ racines de degré infinitésimal jjL. En faisant la somme
on retrouve manifestement n; donc toutes les racines sont ainsi trouvées.
4. Avant d'aller plus loin, faisons d'abord une remarque importante sur Téquation (4)*
Soit |Ji. = - (la fraction - étant irréductible), on a
11 résulte de là que p' — ^ est un multiple de q] d'une manière plus générale, et pour la même raison, si nous avons dans Téqua-
lion le terme
A'rf'-?,
Texposant ^" — ^ sera un multiple de q. Donc réq nation (5) est une équation en t^.
Revenons maintenant à Téquation (4); en ^ posant
elle devient
(6) fP[A -+-. . .-+- A'/fJ -P] -+- z^G{t, z') = o,
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398 CHAPITRE XIU.
X étant entier et positif et z^ ne figurant qu'à des puissances entières et positives.
Si ^1 est une racine simple de Téqualion (5), la racine t de l'équation (6), devenant égale à ^i pourj5'=o, sera une fonction holomorphe de z^ dans le voisinage de z'= o. Soit
/ = f, -f. az' -h 6 «'* H- . . . , et Ton aura pour u le développement
(7) w = V, -4- az^-f- 6 «s*/ •+-.../-«'/.
Or ce développement a q déterminations. On voit de suite qu'il donne à la fois les valeurs de u qui correspondent aux racines
<i, <j, . . ., tq
de l'équation (5) dont la puissance qr**"* est la même. En effet, les q déterminations du développement (7), quand z tourne autour de l'origine, ne cessent d'être racines de l'équation initiale, et elles ont précisément pour parties principales
Ainsi les q valeurs de u^ correspondant à q racines simples de l'équation (5) ayant même puissance ^**"»«, forment un système circulaire représenté par le développement (7), et la séparation de ces racines est effectuée.
5. Nous devons maintenant examiner le cas des racines multiples de l'équation (5).
Si ^1 est une racine multiple d'ordre r de cette équation, on aura évidemment
qr^ n.
Posons dans l'équation (E)
U = ti Z'P -(- t'.
Au lieu de l'équation entre u et 5, on aura une équation entre /' et z\ Cette équation aura, pour s'= o, r racines nulles pour les-
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PONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. Sqq
quelles Texposant correspondant est supérieur à /?, puisque, pour r racines w, la partie principale est t^ z^p. Soit donc
PL
la fraction ^ jouant le même rôle que la fraction - dans le paragraphe précédent. Si l'équation en 6, analogue à Téquation (5) en t^ n'a que des racines simples, la séparation sera terminée. Supposons qu'elle ait une racine multiple d'ordre /•', on aura
r'g'ir et, par snile,
q et q^ sont au moins égaux à un. On continuera ainsi tant que les équations analogues à l'équation (5) auront des racines multiples. Je dis qu'il finira par arriver un moment où cette équation n'aura que des racines simples. Plaçons-nous en effet dans l'hypothèse contraire. On aurait toujours alors, à partir d'un certain moment, des racines d'un même degré de multiplicité, et les nombres q seraient tous égaux à l'unité, condition indispensable pour que l'inégalité ci-dessus écrite soit vérifiée. Désignons par
la première équation à partir de laquelle cette circonstance se présenterait. Il y aurait des racines /' de cette équation que la méthode ne permettrait pas de séparer ; en etfet, une même suite de polynômes en z\ de degrés indéfiniment croissants, représenterait la partie principale de ces racines. Mais ceci est impossible, car l'ordre infinitésimal de la différence de deux racines infiniment petites est nécessairement un nombre fini, comme le montre immédiatement la considération du dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines; ce dernier terme est d'un ordre infinitésimal déterminé et la différence de deux racines est au plus d'un ordre moitié moindre que' celui-là. Nous sommes donc assuré que les racines se trouveront à la fin séparées, et elles se trouveront divisées en svstèmes circulaires, comme nous l'avions prévu a priori au § 2.
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4oO CHAPITRE XIII.
6. Donnons quelques exemples de la théorie précédente. Supposons quMl }' ait dans Téquation un terme en 2; soit
Le polygone se composera dans ce cas d'une seule droite joignant le point a=i, p = o au point 3t = o, ^ = n. On aura, pour déterminer [jl,
I = /IfX.
L'équation en / sera donc
il y aura un seul système circulaire de racines.
Sans nous arrêter au cas du point double à tangentes distinctes, prenons de suite le cas d'un point double à tangentes confondues, et soit ^ = o celte tangente. L'équation sera de la forme
en écrivant le terme qui renferme z seul et celui qui conlient u à la première puissance.
Si 2/? < q, la ligne polygonale aura deux côtés. Pour le premier,
q=p -¥■[>. ou ii = g—p.
Pour le second,
/>-4-|i=:2fjL ou H^=/>.
Les deux développements sont distincts et procèdent suivant les puissances entières de x. En langage géométrique, on a là un contact de deux branches.
Si 2/? > q^ il n'y aura qu'un côté, et alors
q=2[>. ou l^=f-
On pose u = /-*, et l'équation en t est
Suivant la parité de q^ les deux racines formeront nn système circulaire ou auront deux développements distincts.
Prenons enfin le cas où 2p = q. Il n'y a alors qu'un seul côté
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES D*L'NE VARIABLE. 4oi
dans la ligne polygonale, et Ton a L^ équation en t devient
Si les racines sont distinctes, nous avons un contact de deux branches. Si les deux racines sont égales, nous nous trouvons dans le cas pu l'équation (E) a une racine multiple : soit donc
b = -j-' Nous devons poser, d'après la théorie générale,
u = ZP-\' t ,
et il vient
en supposant qu'il y ait dans Téqualion un terme en 5^/'+*. Les termes qui renfermeront l^ au premier degré contiendront au moins zP'^*, Nous effectuerons donc certainement la séparation cherchée (dans l'hypothèse cjéo) en posant
Le cas p = 2 correspond au cas classique du rèbroussement de seconde espèce.
7. Arrêtons-nous un moment sur les systèmes circulaires en lesquels se trouvent partagées les différentes racines dont nous venons de faire l'étude. Le développement peut s'écrire
u = Xz"-hBz " -h... (A^o);
a est ici un entier au moins égal à l'unité, et si, comme nous le supposons, ce développement correspond à /t racines, il ne pourra y avoir réduction avec un dénominateur commun moindre que n dans tous les exposants des diverses puissances de z. Au lieu du développement précédent, nous pouvons écrire
z = t\ P. — II. a6
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4oa CHAPITRE XIII.
le premier coefficient A; il est essentiel de le rappeler, n'étant pas nul. Si a est supérieur à n, nous dirons que le cycle est d*ordre /i; au conlraire, si a est inférieur à n, nous dirons qu'il est d^ ordre a. On voit que, si l'on fait sur </ et ^ un changement de variables linéaire, homogène et d'ailleurs arbitraire, les développements des nouvelles variables (que nous continuerons à appeler u et z) auront leur développement suivant les puissances de t commençant par un terme en ^^, N étant l'ordre du cycle. Ce nombre N est donc le véritable élément à considérer au point de vue du cycle en lui-même, indépendant du choix des vaViables ou du système de coordonnées. Les cycles d'ordre un sont particulièrement simples : dans ce cas, en prenant convenablement Tune des variables, on est assuré que la seconde variable s'exprime par une fonction holomorphe de la première dans le voisinage de l'origine; pour un point simple d'une courbe, le cycle correspondant à la branche qui y passe est manifestement d'ordre un. Faisons seulement encore la remarque évidente, d'après ce qui précède, que si, pour un cycle, on a les deux développements
A et A' n'étant pas nuls tous deux, le cycle sera au plus d'ordre /i ( * ).
8. Nous venons d'étudier la fonction algébrique u à^ z dans le voisinage d'une valeur particulière de z. Il nous faut maintenant considérer la fonction algébrique dans tout le plan. Nous allons faire voir que si l'équation
de degré m en w, est irréductible, on peut, en partant toujours du point 5o avec une certaine détermination Wo et en suivant un chemin convenable, obtenir en un point arbitraire z une quel-conque des racines de Inéquation précédente. En d'autres termes,
(*) Pour une étude approfondie des cycles, très intéressante au point de vue géométrique, mais dont nous n'aurons point à faire usage, voir V Étude sur tes points singuliers des courbes planes, par Halphen, insérée à la suite de la Géo^ métrie plane de M. Salmon.
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'uNB YABUBLE. 4o3
la fonction définie par Téquation précédente admet m valeurs en chaque point et, par suite, l'équation définit une seule fonction dont les m déterminations peuvent s'échanger en variant le chemin suivi.
La démonstration de ce théorème important va résulter de suite des propositions générales établies précédemment sur les fonctions uniformes. Si la fonction avait seulement un nombre p(p < m) de déterminations, toute fonction entière et symétrique de ces p déterminations serait une fonction de z uniforme dans tout le plan et n'ayant d'autres points singuliers que des pôles (l'infini compris); elle serait donc une fonction rationnelle de z (p. 1 28). Les p déterminations satisferaient donc à une équation
où ^ est un polynôme en u et ^, de degré p en a, et, par suite, le polynôme /ne serait pas irréductible.
9. Faisons une dernière remarque sur les points à l'infini. On peut toujours, en faisant une transformation homographique convenable, supposer que, dans la courbe algébrique
les m directions asymptotiques sont distinctes et qu'aucune d'elles n'est parallèle à l'axe des u. Ceci revient à dire que l'équation
OÙ (pm est Tensemble des termes homogènes de degré m, représente m droites distinctes, aucune d'elles ne coïncidant avec l'axe des u. Si alors ^1, ^2, . . •, tm désignent les ni racines de
on aura pour les m valeurs de u les développements suivants
Pi
m = tiz H- ai -h -^ -h...,
m = t^Z -h OLi -^ i- -h...,
valables pour | z | suffisamment grand.
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4o4 CHAPITRE XIII.
J'ajoute encore que, dans la suite, il nous arrivera constamment d'employer tantôt un langage géométrique et de parler de courbe algébrique, tantôt, au contraire, de parler de la fonction u de la variable complexe z. II iCy a aucun inconvénient à le faire : les expressions géométriques de courbe, de points, d'axes O^ elOu pourraient toujours être remplacées par un langage analytique, mais qui serait quelquefois plus long et rendrait moins intuitifs les énoncés.
