II. — Théorème de M. Nôther
10. On vient de voir que les singularités d'une fonction ou d'une courbe algébrique peuvent être très compliquées. M. Nôther a démontré une proposition extrêmement importante sur la réduction des singularités. L'objet de ce théorème est de faire voir qu'on ne diminue pas la généralité de la théorie des fonctions algébriques en se bornant aux courbes n'ayant d'autres points singuliers que des points multiples à tangentes distinctes (*).
Soit /(a:, j/-) = o une courbe algébrique de degré m, dont l'origine sera supposée un point multiple d'ordre /i, c'est-à-dire à n tangentes. On peut mettre cette équation sous la forme
et admettre que les axes des x et des y ne rencontrent la courbe qu'en des points simples en dehors de l'origine, que les tangentes à l'origine ne coïncident pas avec les axes, et enfin que les directions asjmptotiques sont distinctes et difTérenles des axes.
Cela posé, effectuons la transformation^ = y. A la courbe (E)
va correspondre point par point la courbe (E'), de degré 2 m — /i,
F(Y,ar) = Y'«-«o„(Y, I)
(' ) Le Mémoire de M. Nôther se trouve dans le Tome IX des Malhemaiische Annalen, M. Halphen est revenu à plusieurs reprises sur le théorème de M. Nôther ; on pourra consulter à ce sujet son Étude déjà citée sur les points singuliers des courbes algébriques planes, qui forme un Appendice au Traité des courtes planes de G. Salmon, et où l'on trouvera toute une bibliographie de cette théorie. La démonstration que je donne ici m'a été communiquée par M. Simart.
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNB VARIABLE. 4o5
A un point multiple d'ordre n! de la courbe (E), en dehors de l'axe des x et de l'axe des y^ va correspondre évidemment un point multiple d'ordre n! de la courbe (E').
A la valeur x = osur la première courbe correspondent n valeurs dey nulles et m — n autres distinctes. A ces points correspondent, sur la seconde courbe, d'abord un point multiple d'ordre m — n {x^o, Y = o), à m — n tangentes distinctes, puisque, pourx = o, les m — n valeurs correspondantes dey sont différentes entre elles et différentes de zéro; et ensuite n points singles ou multiples de l'axe des x^ déterminés par ©«(Y, i) = o.
A la valeur x=.co correspondent m valeurs de Y distinctes; d'ailleurs, pour Y = oo, les m — n valeurs de x sont distinctes.
Nous avons donc substitué à la courbe (E) une courbe (E') qui, en dehors de l'axe des x^ a les points multiples de la première; mais qui a, au point a? = o, Y = o, un point multiple d'ordre m — /i, à tangentes distinctes, et, sur l'axe des Y(^ = o), n points déterminés par <p/i(Y, i) = o qui pourront être distincts ou confondus.
Supposons que l'équation <p/i(Y, i) = o ait une racine multiple Y = Y| à laquelle corresponde un point multiple d'ordre /l'^/i.
Par une transformation homographique arbitraire
^ ax'-^ by Y — Y = 0''^'-^^'y
on substituera à la courbe (E^) la courbe de degré (2 /n — n)
(Eo cpi^rp', y) + cp;.^x'(^'» y) +•.•-+- ?im-«(^', y) = o.
Cette courbe satisfait aux mêmes conditions que la courbe (E), et ses directions asymptotiques sont distinctes et différentes de zéro. Elle a, en dehors des points déterminés par 0/i(Y, i) = o, j; = o, des points multiples correspondant aux points multiples de (E), plus un point multiple d'ordre m — n à tangentes distinctes provenant du point j7 = o, Y = o, un autre point multiple d'ordre m — n k tangentes distinctes provenant du point Y = 00, et enfin un point multiple d'ordre /n à tangentes distinctes provenant du point :f = 00.
On fera sur la courbe (E|)les mêmes transformations que sur la courbe (E), jusqu'à ce qu'on ait obtenu finalement une équation,
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4o6 CHAPITBB XIII.
telle que Ç/i(Y, i) = o, dont toutes les racines soient distinctes. V opération prendra fin certainement; car supposons qu'on ait constamment /i'= n, La courbe (Ei), de degré mi = 2/n — n, a des points multiples correspondant à ceux de la courbe (E), plus deux points multiples d'ordre (m — n) à tangentes distinctes équivalant à (m — /i) (m — n — i) points doubles, et un point
multiple d'ordre m à tangentes distinctes équivalant à —
points doubles.
La courbe (E2), de degré m2= a/Wf — n, présente, par rapport à (E|), les mêmes différences que (E|) par rapport à (E).
Finalement, en désignant par dx le nombre des points doubles d€ la courbe Ea, correspondant aux points multiples à tangentes distinctes successivement introduits, on aura
Or on a
donc
dk = -(/'»- '0*(^-5;rr7 j H- (m — /i) — ^^ — (2^— I) -¥ k — ^ — i.
La différence de ce nombre et du nombre maximum des points doubles, pour une courbe irréductible de degré m^,
(mx— i)(mA:— a) est
Cette différence {deviendrait positive pour k suffisamment grand, ce qui est impossible (*); il faut donc que n diminue jus-
( ' ) Nous admettons ici le théorème de Cramer qu'une courbe de degré m irré>
ductible ne peut avoir plus de — points doubles ou un nombre de
points multiples à tangentes distinctes équivalent à ce nombre de points doubles en regardant un point multiple d'ordre A' à tangentes distinctes comme équivalent
à — i L points doubles. On trouvera des explications sur ce sujet dans le
dernier Chapitre de ce volume relatif aux courbes unicursales.
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES D^UNE YÂllIABLE. ^Oy
qu'à devenir égal à l'unité (*). Il arrivera donc un moment où le point multiple, à l'origine de la courbe primitive, aura été remplacé, dans la courbe transformée, par des points multiples d^ordre moindre y et cette transformation n'a introduit par ailleurs que des points multiples à tangentes distinctes. On peut aller ainsi de proche en proche, et Von arrive ainsi à une courbe gui n'a plus que des points multiples à tangentes distinctes.
H. Appelons, d'une manière générale, transformation birationnelle une transformation de la forme
P et Q étant des fonctions rationnelles en x Qt y^ et où l'on a inversement
Pi et Q, étant rationnelles en X et Y. Si la transformation (8) est susceptible de prendre la forme (9) pour tout point {x^y) du plan, nous dirons que c'est une transformation birationnelle de plan à plan ou de Cremona, Mais une autre circonstance pourra se présenter; il est possible que l'on ne puisse passer de (8) à (9) qu'en tenant compte de ce que le point (a?, y) se trouve sur une certaine courbe f(xyy) = o. En désignant par F(X, Y) = o l'équation de la courbe transformée, on dit que les courbes y et F se correspondent point par point; mais cette correspondance n'est pas établie par une transformation de Cremona. Ainsi, la transformation
X = arS y=y^
conduit à une transformation birationnelle de courbe à courbe, pour toute courbe n'ayant aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axes de symétrie.
(I) On aurait pu arriver autrement à ce résultat, en montrant que la séparation des racines de réquation primitive s*annulant pour â;=so ne pourrait jamais être effectuée si n ne finissait par devenir égal à l'unité, ce qui serait en opposi. tion avec les résultats de Puiseux.
4o8 GHAPITBE XIII.
On énoncera de la manière suivante le théorème de Nolher :
On peut toujours y par une transformation de Cremona, transformer une courbe algébrique quelconque en une autre n! ayant que des points multiples à tangentes distinctes,
12. Nous allons maintenant faire un pas de plus, en ramenant tous les points multiples à être des points doubles, cela d'ailleurs au moyen d'une transformation birationnelle de courbe à courbe et non de plan à plan.
Désignons par O, 0{, • • . , Or les différents points multiples à tangentes distinctes de notre courbe F représentée par Téquation
Nous emploierons une méthode indiquée par M. Bertini (*) :
désignons par
ui{x,y\ Wi(ar, ^), Uz{x,y)
les trois cubiques indépendantes d'un réseau déterminé par le point O et six points arbitraires B|, B2, • . ., Bc du plan. Nous nous appuyons sur ce résultat bien élémentaire que sept points pris arbitrairement dans un plan déterminent un réseau de courbes
du troisième degré
X| W| -t- Xj i/i -h X3 M3 = o.
Nous supposons, comme il est manifestement permis, que, si l'on envisage cinq quelconques des points B, soient Bf, B2, ...jB^, le sixième Bq soit extérieur aux quatre lieux géométriques suivants : L,, L2, L3, L4.
J'appelle L| le lieu du neuvième point, base d'un faisceau de cubiques dont les huit autres points bases sont O, B|, • • ., B5 et deux points de F, dont Fun est un point fixe C pris arbitrairement et dont l'autre C| est variable. Le lieu Lj est le lieu du neuvième point, base d'un faisceau de cubiques qui passent par O, B,,
(^) E. Bertini, Transformazione di una curva algebrica in im'altra cou soli punti doppi {Mathematische Annalen, t. XLIV). On trouvera une autre démonstration du même théorème dans une Note de M. Simart [Comptes rendus, 8 mai 1898 {Sur un théorème relatif à la transformation des courbes algébriques)].
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES D*UNB YÂRFABLE. 4o9
Bj, ...,85 et touchent T en un point variable. Le lieu Lj est coDStitué par les r cubiques, dont chacune est décrite par le neuvième point, base d^in faisceau de cubiques passant par O, B|, ..., B5 et tangente en 0/ (/= 1, 2, . . . , r) à une droite pivotant autour de Oi. Enfin le lieu L4 est composé de r courbes, dont chacune est engendrée par le neuvième point d'un faisceau de cubiques passant par 0,84, . . ., B5, 0/ et par un point variable de F. Ceci posé, faisons la transformation
Avec cette transformation, la courbe / se trouve transformée en une courbe F. A un point arbitraire (X, Y) de F correspond un seul point de/. Soit, en effet, (X, \) un point arbitraire de F, les deux cubiques en {^,y)
Xui{x, y) — ut{x, y) = o, YMi(:r, y) — uz{x,y) = o
ont un seul point commun (or, y) appartenant à / (en dehors de O), car si les deux points de rencontre mobiles communs à ces deuxpubiques étaient toujours sur/[(X, Y) se déplaçant sur F], il arriverait en particulier à un certain moment que Fun de ces points serait C et l'autre un point C|, et par suite il faudrait que B5 fût sur le lieu L|. Les deux courbes f et F se correspond dent donc point par point.
La courbe F ne peut pas avoir de points de rebroussement, puisque Be n'est pas sur le lieu L2. Elle possède un certain nombre de points doubles provenant des points {x^y) et (x'^y) pour lesquels on a
ut(x,y) ^ Ui(x\y') ^^ ih(x, y) ^ Ws(£^y). WiC-^,^) ui(x',y') ui{^,y) ut{x',yy
La courbe possédera aussi des singularités correspondant à 0|, O2, . . ., O^; ces points seront de même nature dans /et dans F. II ne pourra, en effet, y avoir de tangentes confondues, puisque B^ n'est pas sur L3. Enfin le degré de multiplicité ne sera pas élevé, puisque Bc n'est pas sur Li.
Nous avons ainsi transformé notre courbe / en une courbe F
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4lO G^APITRE XIII.
n^ayant que des points doubles à tangentes distinctes. Nous avons donc la proposition suivante :
Toute courbe algébrique peut, par une transformation birationnelle de courbe à courbe^ être transformée en une courbe ayant seulement des points doubles à tangentes distinctes.
Ici on n'opère pas, en général, avec une transformation de Cremona (c'est-à-dire une transformation birationnelle de plan à plan)j mais avec une transformation birationnelle de courbe à courbe,
13. Nous supposerons dans la suite que la courbe n'ait que des points multiples à tangentes distinctes et que les axes n'occupent aucune position particulière par rapport à la courbe (*). Soit toujours
l'équation de la courbe supposée de degré m. La fonction algébrique y de X définie par cette équation aura un certain nombre de points de ramification, c'est-à-dire qu'il y aura un certain nombre de valeurs de x autour desquelles deux valeurs de y se permuteront. Ces valeurs de x sont celles pour lesquelles^deux valeurs de y deviennent égales, abstraction faite des valeurs de x correspondant aux points multiples, pour lesquelles, les branches étant distinctes, aucune permutation ne se produit. Les points de ramification correspondent donc aux points de contact des tangentes à la courbe parallèles à Oy. Soit («, 6) un tel point; l'équation de la courbe peut s'écrire
A ne sera pas nul, puisque Oy occupe une position arbitraire par rapport à la courbe. On aura donc bien
y — ô = a y/a? — a H- . . . {ol ^ o), et l'on voit clairement la permutation des deux racines qui de-
(*) Ricmann ne suppose pas que l'équation f{Xj y) = o soit du môme degré en y et en x, 11 n'y a pas à cela d'intérêt pour la théorie générale; il en est autrement pour certaines applications. Nous y reviendrons au Chapitre XVI(Sect. IV).
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Viennent égales à b pour ^ = a. Le nombre des points de ramification sera manifestement égal au nombre des tangentes à la courbe parallèles à une direction arbitraire, c'est-à-dire à la classe de la courbe.
Supposons que la courbe ait a/ points multiples d'ordre i à tangentes distinctes; on sait (*) que la classe sera égale à
et par suite, en appelant w le nombre des points de ramification, on aura
la somme 2 ^tant relative aux difi^éren les valeurs de i (« = 2).
