III. — Des surfaces de Riemann

14. Joignons un point arbitraire O du plan à tous les points de ramification ; nous formerons ainsi un certain nombre de lacets se suivant dans un ordre déterminé. Pour fixer les idées, numérotons-les dans Tordre où ils se présentent de la gauche vers la droite. Supposons que le premier lacet, le lacet i, échange en O les deun racines a et b. Si nous suivons tous les lacets successivement en partant de O avec la valeur a, nous devons revenir à cette valeur, au moins après avoir parcouru tous les lacets, mais ceci peut arriver avant que nous arrivions au dernier lacet.

Supposons, par exemple, que le lacet 8 soit le premier qui nous ramène au point O avec la racine a. Nous avons marqué sur chaque lacet les deux racines qu'il permute. Nous allons modifier Tordre primitif des lacets. Il peut y avoir, en deliors des deux extrêmes 1 et 8, un certain nombre de lacets permutant a\ il y en a deux dans la figure, les lacets 3 et ^. On va remplacer

(*) Nous admettons cette formule de Plucker, qui s'établit de suite en remarquant que la courbe a?,/^-i- y^fy-^^^f^ = o a, en un point multiple d*ordre 1 de /, un point multiple d'ordre i — \ pour lequel aucune tangente ne coïncide avec une tangente de/, (a?,, y^^ z^ étant arbitraires).

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4ia CHAPITRE XIII.

le lacet 8 par un autre lacet partant de O entre i et 2 et coupant les lacets qui permutent a; nous figurons en pointillé ce lacet qui va remplacer 8. Quelles racines permutera le nouveau lacet ainsi obtenu? Celui-ci est équivalent à un chemin, formé d'abord des lacets 2, 4? 5, 6 successivement parcourus qui ramènent ma-

nifestement la racine a quand on est parti au début avec cette même racine, et terminé par les lacets 8, 6, 5, 4> 2 qui ramènent en O la racine b. Notre nouveau lacet permute donc a et h.

On remplacera d'une manière analogue les lacets 7 et 3 qui permutent a, en les faisant passer à gauche du lacet 8, comme Tiadiquent les traits pointillés. On voit tout de suite que ces nouveaux lacets ne permutent plus la racine a. Prenons, par exemple, le nouveau lacet 7. Il sera équivalent au lacet ae, puis aux lacets am et ae; or m est nécessairement différent de e, car autrement 8 ne serait pas le premier lacet ramenant a. Il est alors évident que le nouveau lacet 7 revient au lacet ae parcouru deux fois, c'est-à-dire qu'il ne permute pas a avec une autre racine.

Nous avons ainsi substitué aux lacets primitifs une nouvelle suite de lacets dont les deux premiers permutent a et b; les autres lacets n'ont pas changé, sauf quelques-uns qui ont été remplacés par d'autres lacets ne permutant pas a.

Partant maintenant toujours avec la valeur a, mais en commençant par le second lacet de notre nouvelle suite, nous allons faire les mêmes raisonnements que plus haut. Nous aurons alors une troisième succession de lacets dont les trois premiers permuteront a et 6, et nous avons introduit de nouveaux lacets ne permutant pas a.

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FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VABTABLE. ^\S

En continuant ainsi, il est évident que nous obtiendrons une suite de lacets tracés dans un ordre tel que tous les lacets permutant a et h seront au premier rang et que tous les suivants ne permuteront plus la racine a. D'ailleurs le nombre des lacets permutant aft, ainsi obtenus, sera nécessairement pair, sinon, un contour partant de O, avec la valeur initiale a, ne pourrait pas ramener la racine a après avoir enveloppé tous les points de ramification, puisque, en dehors des lacets permutant a et 6, il Tiy a plus de lacets permutant a avec une autre racine.

Nous n'allons plus maintenant modifier les lacets permutant a et 6, et nous laissons entièrement de côté, pour le moment, un certain angle du plan ayant O pour sommet et les contenant. On peut supposer que le premier lacet que nous rencontrons sur la droite (après les lacets ab) permute b avec une troisième racine c. Nous opérerons avec 6 et c comme nous avons opéré avec a et 6; on pourra donc grouper ensemble tous les lacets permutant 6 et c à la suite des lacets permutante et 6, et ainsi de suite.

Finalement, nous pouvons supposer que les lacets qui joignent le point O à tous les points de ramification se composent, en allant de la gauche vers la droite, d^un nombre pair de lacets permutant a et 6, d^un nombre pair de lacets permutant b et c, etc., et enfin d'un nombre pair de lacets permutant ket /, en désignant par a, 6, . • . , A:, Z les m racines de Téquation /{u^z) = o quand 5 est en O.

15. Nous pouvons définir maintenant bien nettement la surface de Riemann correspondant à la fonction algébrique dont nous faisons Télude. Considérons d'abord les lacets A permutant a et b, soit ai, «a, ..., a^ {fig- 38), en les supposant au nombre de six. Joignons-les par des lignes a^ a^^ a^ a^, a^ a^ de telle sorte que les triangles Oaxa2^ Oa^a^^ Oa^a^ ne renferment aucun point critique à leur intérieur, ce qui est évidemment possible. Si Ton suppose que la variable z ne traverse pas les lignes précédentes, la racine u de Téquation /{u, z) = o, prenant en O la valeur a, sera une fonction de z n'ayant qu'une valeur en tout point du plan. Tout chemin ramènera en effet la même valeur en O; la chose est évidente pour tout chemin qui n'enveloppe pas une des lignes précédentes, puisque aucun des lacets

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4l4 CHAPITRE XIII.

autres que les lacets A ne permute a] quant à un chemin entourant at a^, par exemple, il sera équivalent aux lacets ai et a^ successivement parcourus et ramènera par suite a. Nous considérons donc un premier plan sur lequel sont tracées les sections

«i«2î ^3^ij ûfs^a que nous appellerons sections A; nous désignerons ce plan sous le nom de plan a, rappelant ainsi que la fonction m, qui prend en O la valeur a, n'a qu'une valeur dans ce plan quand la variable z est assujettie à ne pas traverser les sections.

Nous envisagerons de même un second plan, superposé au premier, où Ton aura tracé les mêmes sections que dans le plan a et en plus des sections B correspondant aux extrémités des lacets b permutant 6 et c jointes de deux en deux : ce sera le plan 6. La fonction «, prenant en O la valeur b, n'aura qu'une valeur dans ce plan si la variable respecte les sectious A et B qui y sont tracées.

On continuera ainsi de façon à faire correspondre un plan, où sont tracées certaines sections, à chacune des racines a, 6, ...,/. Dans le dernier plan /, il n'y aura qu'un seul système de sections comme dans le premier plan a. Pour tous les autres plans, il y aura deux systèmes de sections. Avec ces différents plans ou feuillets superposés, nous allons former une surface unique. Si l'on prend deux points m et m' de côtés différents d'une section A, infiniment rapprochés de celle-ci, et situés respectivement sur le feuillet a et le feuillet 6, les deux valeurs correspondantes de u seront infiniment voisines l'une de l'autre; on obtient, en effet, la même valeur au point (m, m') {Jig* Sg) en partant de O avec la valeur a et suivant le chemin C, qu'en partant de O avec la valeur b et suivant le chemin C. Imaginons donc que chaque section A soit une ligne de croisement pour les deux feuillets a

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