FONCTIONS ALGÉBRIQUES D^UNB VARIABLE

et 6, c'est-à-dire que l'on passe du feuillet a au feuillet 6, et inversement, chaque fois qu'on traverse une section A. Par ce passage, la continuité de la fonction u correspondante sera respectée. Nous établirons de la même manière des lignes de croisement entre le

Fig. 39.

feuillet b et le feuillet c : ce seront les sections B. On continuera ainsi en établissant successivement des lignes de croisement C, . .•, K entre deux feuillets consécutifs; Tavant-dernier feuillet k sera lié au dernier feuillet / par les lignes de croisement K. L'ensemble des feuillets ainsi réunis peut être regardé comme formant une surface unique : on l'appelle la surface de Riemann(*)^ correspondant à la relation algébrique /(«/, z) = o. On voit que la fonction algébrique u est uni/orme sur cette surface de Riemann; à chaque point de celle-ci se trouve associée une seule valeur de u, qui est la valeur correspondante au feuillet sur lequel se trouve le point que Ton considère.

Cette surface est d'ailleurs connexe^ c'est-à-dire forme un continuum unique tel que l'on peut passer d'un quelconque de ses points à un autre quelconque de ses points, car on peut passer d'un lacet à un autre en remontant ou descendant la chaîne que forment les feuillets successifs. Le théorème précédent, d'après lequel les feuillets successifs d'une surface de Riemann peuvent être liés les uns aux autres de manière qu'il n'y ait de lignes de

(^) Le Mémoire fondamental de Riemann où la notion du plan recouvert de feuillets a été introduite pour la première fois est intitulé : Théorie der abelschen Functionen {voir les Œuvres complètes de Riemann). Les surfaces de Riemann ont été surtout étudiées en Allemagne. On trouvera dans le premier Chapitre de la Thèse de M. Simart (Paris, 1882) un exposé très complet et très rigoureux des théorèmes relatifs à la connexité de ces surfaces, qui pour la plupart ne sont qu'énoncés par Riemann. Nous aurons à citer dans un moment Clebsch et M. Liiroth qui ont apporté une importante contribution à la théorie.

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4l6 CHAPITRE XIII.

croisement qu'entre deux feuillets consécutifs, a été démontré pour la première fois par M. Liirolh {Mathematische Annalen, t. IV).

16. Nous allons faire subir une transformation à la surface de Riemann que nous venons de construire. Notre but est de faire voir qu'on peut s'arranger de telle manière qu'il n'y ait qu'une seule ligne de croisement A, une seule ligne de croisement B, et ainsi de suite jusqu'à l'avant-dernier système de lignes de croisement : îl y aura seulement, entre l'avant-dernier feuillet et le dernier, un certain nombre de lignes de croisement généralement supérieur à un.

Considérons six lacets consécutifs dont les quatre premiers permutent a et ft, et les deux derniers b et c. Marquons sur la figure

ces six lacets {Jig- 4o)-

Fig. 4o.

Nous allons d'abord faire passer au quatrième et cinquième rang le troisième et le quatrième lacet ab en les formant avec les lignes pointillées partant dans l'angle formé par les deux lacets 6c. On voit immédiatement que les deux nouveaux lacets permuteront a et c.

Nous avons alors une nouvelle disposition que nous figurons de nouveau {Jig- 40* Nous y remplaçons les deux lacets ac par deux autres lacets obtenus au moyen des lignes pointillées et qui vont prendre le premier et le deuxième rang; ces deux nouveaux lacets, on le voit tout de suite, permuteront les racines b et c.

Nous aurons donc, après ces deux transformations, deux lacets consécutifs 6c, deux lacets consécutifs ab et deux lacets consécutifs bc. On voit que deux lacets consécutifs ab ont été remplacés par deux lacets consécutifs bc. On pourra ainsi faire disparaître tous les systèmes de deux lacets consécutifs aby sauf un seul.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D^UNE VARIABLE. ^ly

On opérera de la même manière pour ne garder qu'un système de deux lacels consécutifs 6c, et ainsi de suite. II n'y aura que pour les deux dernières racines qu'il sera impossible de faire une pareille réduction; nous aurons alors pour ces deux dernières

Fig. 4i.

racines un nombre, qui pourra être quelconque, de deux lacets consécutifs.

Revenons à la surface de Riemann, construite comme nous l'avons indiqué plus haut, mais en employant ces nouveaux lacets. Il est clair que le premier feuillet sera seulement lié au second par une seule ligne de croisement; il en sera de même pour le deuxième et le troisième feuillet, et ainsi de suite; les deux derniers feuillets seuls auront entre eux un certain nombre de lignes de croisement. Nous désignerons ce nombre par p + \. La possibilité de former une surface de Riemann, où les feuillets sont réunis les uns aux autres à la manière d'une chaîne, et où chaque feuillet, sauf les deux derniers, est réuni au suivant par une seule ligne de croisement, a été indiquée d'abord par Clebsch (Afal/ie^ malische Annalen, t. VI).

17. Nous avons désigné par p-\-\\e nombre des lignes de croisement unissant le {m — !)*«"»« feuillet au m**^'"'*. On peut exprimer de suite /? en fonction du nombre (v des points de ramification. Nous avons un nombre de lignes de croisement égal u

m — 2 -4-/? -hi.

Ce nombre doit représenter la moitié du nombre des points de ramification; d*où la formule

W = 2(/7l-HjP — i),

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4l8 CHAPITRE Xlll.

On peut encore exprimer p en fonction du nombre des points multiples de la courbe. On a en effet, comme nous Tavons

vu (§ 13),

On en conclut

18. La surface de RIemann S est, en définitive, une surface connexe, pour laquelle à chaque point correspond un seul point de la courbe algébrique, ou, si l'on aime mieux, un seul système de valeurs de J7 et y satisfaisant a la relation algébrique

11 est manifeste qu'une telle surface n'est pas unique. Toute autre surface que l'on pourra faire correspondre point par point à la surface S jouira de la même propriété que cette dernière. On aura, en particulier, une telle surface en déformant la surface de Riemann regardée comme flexible et extensible, en supposant, toutefois, qu'on ne produise pas de déchirures ni de duplicatures. Dans ces conditions, on peut regarder les deux surfaces ainsi transformées comme applicables l'une sur l'autre. 11 est clair que l'on ne prend pas le mot applicable dans le sens de la Géométrie infinitésimale. 11 ne s'agit ici que de Géométrie de situation, analysis situs, comme disait Riemann, et nous voulons dire que la déformation continue, qui permet de passer d'une surface à l'autre, peut être regardée comme établissant une correspondance bien déterminée entre les points des deux surfaces (*).

Nous allons donc faire subir à S une déformation qui aura le grand avantage de rendre plus objective la surface en la dilatant en quelque sorte dans l'espace à trois dimensions (^).

(*) M. Jordan a publié des recherches imporlantes sur la déformation des sur> faces enlendue comme il vient d'être dit {^Journal de Liouville, 2» série, t. XI; i866). Il démontre, en particulier, que deux surfaces fermées ayant le même nombre de trous sont applicables l'une sur l'autre. Voir aussi, sur des questions analogues, deux Mémoires de M. Klein {Math. Annalen, t. VII et IX).

(^) Pour faire cette transformation nous nous sommes servi de la méthode employée par le géomètre anglais ClilTord dans un petit Mémoire, d'uoe remar- ,

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