FONCTIONS ALGÉBRIQUES D*UN£ VARIABLE

Une première modification, qui ne modifie en rien le caractère de la surface de Kiemann, consiste à faire, par rapport à un point arbitraire de l'espace, une transformation par rayons vecteurs réciproques du plan sur lequel sont disposés les m feuillets. Au lieu de m feuillets plans, nous avons alors m feuillets sphériques superposés. Deux feuillets successifs de la sphère sont liés par une seule ligne de croisement, excepté les deux derniers, qui sont liés par p -h 1 lignes de cette sorte.

C'est la surface formée de ces m feuillets sphériques que nous voulons déformer. Considérons d'abord le cas simple où il y aurait seulement deux feuillets réunis par une seule ligne de croisement AB, que l'on peut supposer être une portion d'un arc de grand cercle. Nous avons alors deux feuillets, un feuillet interne et un feuillet externe. Déformons le feuillet interne en son symétrique par rapport au plan du grand cercle contenant A6; dans cette déformation, les deux hémisphères de ce feuillet interne doivent, à un certain moment, se pénétrer l'un l'autre, mais cela a lieu sans que la continuité de Tun ou l'autre soit altérée. La modification que nous avons fait subir au feuillet interne a pour conséquence que, quand un point cheminant sur le feuillet externe rencontre la ligne de croisement, il reste du même côté de cette ligne après l'avoir traversée, la surface s' étant en quelque sorte repliée sur elle-même le long de la ligne de croisement. On aura une idée très nette de la nouvelle surface en considérant la surface de la sphère comme ayant deux côtés, l'intérieur et l'extérieur; on passe de l'un à l'autre quand on rencontre AB, qu'on peut regarder comme une véritable section faite dans la surface. On peut agrandir le trou fait dans la surface par AB et le regarder comme formé par une courbe fermée, un cercle par exemple. Notre surface se composerait alors des côtés interne et externe d'une calotte sphérique. Mais nous pouvons encore modifier cette surface avec un trou. Cette double calotte peut être déformée

quabie simplicité, consacré à cette théorie [On the canonical forni and dissection of a Riemann's surface ( Proceedings of the London matheniaticai 5ociety, vol. VIII, n" 122)]. D'après une indication de M. Klein {Math, Annalen, t. XLV, p. 142 ), M. Tonelli avait antérieurement déjà considéré des surfaces à p trous dans Tespacc {Atti dei Lincei, t. II, série II), au point de vue de VAnalysis situs.

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en un disque plan que Ton considérerait comme ayant deux faces, le passage de Tune à Tautre ayant lieu par le périmètre du contour. De ce disque, si l'on veut, on peut encore faire une sphère et, d'une manière plus générale, une surface sans trou. On pourrait aussi passer de la double calotte à la sphère en ramenant, d'une manière continue, la face interne de la calotte à la zone manquant dans la sphère.

Considérons un second cas* particulier. Soient, toujours sur la sphère, deux feuillets, mais avec p -f- i lignes de croisement. On peut évidemment, par une déformation préalable des feuillets, supposer que ces lignes sont situées sur un même grand cercle de la sphère. Nous pouvons alors appliquer au feuillet intérieur le même procédé que tout à l'heure, c'est-à-dire le remplacer par son image par rapport au plan du grand cercle contenant les lignes de croisement. On sera alors ramené à une double surface sphérique ayant p -i- i trous, et Ton passe du côté externe au côté interne de cette surface par le périmètre de chacun des trous. Un de ces trous peut être supprimé, et nous pouvons convertir notre surface en un disque plan à deux faces, disque à l'intérieur duquel il reste p trous. On peut, si l'on veut, dilater les deux faces du disque, et l'on a finalement une surface avec p trous qui est applicable sur notre surface primitive de Riemann.

Abordons enfin le cas général. Les feuillets successifs seront dans Tordre i, 2, . . ., m en allant de l'intérieur vers l'extérieur, et c'est entre les feuillets m — i et m qu'il y a /> -f- 1 lignes de croisement, et l'on peut supposer que toutes les lignes de croisement sont sur des grands cercles. Nous transformerons le premier feuillet en lui substituant son image par rapport au plan du grand cercle qui contient la ligne de croisement du premier feuillet au second, et, en opérant comme précédemment, nous pouvons substituer un seul feuillet à l'ensemble des deux premiers feuillets. Le même procédé peut être appliqué une nouvelle fois, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à deux feuillets ayant p 4- i lignes de croisement. C'est le cas étudié ci-dessus, et nous arrivons à la conclusion définitive qu'w/ie surface de Riemann, à un nombre quelconque de feuillets, peut être appliquée sur une surface à p trous.

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FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNB VARIABLE. 4^1

19. Nous avons supposé, dans ce qui précède, conformément au théorème de Clebsch, que chaque feuillet est lié au suivant par une seule ligne de croisement. Il est aussi facile d'étudier le cas général où, les feuillets étant toujours liés à la manière d'une chaîne, le premier est lié au second par k^ lignes de croisement, le second au troisième par k^ de ces lignes, et ainsi de suite, le {m — i)**"® feuillet élant lié au /n'*'""* par km-\ lignes de croisement. On peut faire subir aux feuillets supposés sphériques les mêmes déformations. La transformation du premier feuillet amènera A'i — 1 trous; celle du second, k2 — i, et ainsi de suite. On transformera la surface en une surface à

A'i -4- A-t -4- . . . -h k,n-\ — ( m — i) trous. En désignant encore par/> ce nombre de trous, on a /> -h m — I = A"! -H . . . -h k,n-\'

D'autre part, w désignant le nombre des points de ramification, on aura

et la formule

déjà rencontrée au § 17, est donc générale.

20. Faisons quelques remarques très importantes sur les circuits qu'on peut tracer sur une surface de Riemann. Pour bien fixer les idées, nous pouvons prendre comme schéma de la surface, sur laquelle nous allons raisonner, un disque plat à deux côtés et ayant /> trous. Nous appelons circuit toute courbe y<?rmée tracée sur la surface. Certains circuits, sur lesquels l'attention se porte d'elle-même, vont jouer dans la théorie un rôle capital : ce sont les circuits qui tournent autour d'un trou et ceux qui passent à travers un trou.

Soit le disque A {Jig. 4^) à trois trous y, y', y"* Un circuit autour du trou y sera une ligne fermée C entourant une fois le trou y. Ce circuit C, que nous avons tracé en traits pleins, est à considérer comme se trouvant sur le côté supérieur du disque. Un circuit à travers le trou y sera un circuit tel que D coupant

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une fois A et y, et se fermant sur le côté inférieur du disque par la ligne marquée en pointillé sur la figure. Nous pouvons de même, autour des trous y' et y, tracer les circuits C et C, et à travers ces trous les circuits D' et D''. Ces six circuits vont jouer le rôle de circuits fondamentaux, c'est-à-dire que tout autre circuit tracé

sur la surface peut être réduit, par une déformation continue, à coïncider avec un chemin formé de un ou plusieurs de ces circuits et d*arcs parcourus deux fois dans des sens différents. La démonstration de ce théorème est immédiate. Remarquons d'abord qu'un circuit tel que D'" (Jig. 43) qui passe à travers les trous y et y se ramène de suite par une déformation continue aux deux circuits D et D' parcourus dans des sens convenables, sans parler des arcs parcourus dans des sens contraires. En second lieu, tout circuit tracé sur un seul côté du disque se ramène à une somme de circuits C, C, C". Enfin, pour un circuit quelconque, on considérera deux points de rencontre consécutifs de ce circuit avec une des lignes A, y, y', Y'- En associant à cette partie du circuit une ligne sur l'autre côté de la surface, formant avec elle un circuit à travers un ou plusieurs trous, on détachera déjà du circuit total un circuit réductible aux circuits C et D, et l'on aura alors un nouveau circuit pour lequel on continuera la réduction jusqu'à ce que le circuit, après ces soustractions successives, reste d'un même côté du disque, et, finalement, on aura bien ramené le circuit primitif à une somme de circuits G et D, abstraction faite d'arcs parcourus deux fois en sens inverse.

Si, au lieu de trois trous, la surface avait /> trous, nous aurions évidemment/? systèmes de lignes C et D.

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