FO>'CTIOXS ALGÉBRIQUES D*UNE VARIABLE
21. Nous arrivons maintenant au point fondamenlal dans la théorie des surfaces de Riemann. Donnons tout de suite une définition : une surface connexe est dite à connexion simple quand elle est limitée par un seul contour, c'est-à-dire un contour pouvant être parcouru d'un trait continu, et que tout circuit tracé sur la surface ne traversant pas le contour peut se réduire à un point par une déformation continue (le contour étant toujours respecté pendant la déformation ).
Considérons l'ensemble des deux courbes Cet D, et imaginons que l'on fasse (avec un canif) une section de la surface suivant chacune de ces deux lignes. Nous pouvons alors envisager chacune de celles-ci comme des lignes doubles infiniment rapprt)chées situées de part et d'autre de la section. L'ensemble des deux lignes doubles C et D forme alors une courbe unique, que l'on peut
parcourir d'un trait continu sans franchir jamais la section : c'est ce qu'indique bien uettement la figure 44? que l'on regardera d'abord en faisant abstraction de la ligne pq.
On désigne souvent sous le nom de rétrosection (riickerschniu) le contour unique, formé, comme il vient d'être dit, avec les deux bords des deux sections. Nous pourrons ainsi tracer p rétroseclîons sur la surface.
Joignons un point de la première de ces rétrosectîons à la seconde par une courbe le long de laquelle nous fendrons encore la surface, et qu'alors nous considérons encore comme une ligne double. Nous joindrons de même la deuxième à la troisième rétrosection par une ligne analogue, et enfin la (p — lyème ^ |j^ p'^ème^ les différentes lignes auxiliaires ne se coupant pas (elles peuvent avoir seulement, si l'on veut, une extrémité commune).
Ainsi, on pouiTa prendre, si ^ = 3, les deux lignes pq et rs
ifig' 45).
L'ensemble des sections à deux bords, que nous venons de tra-
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cer, peut être regardé comme un contour unique et fermé R, susceptible d'être parcouru d'un trait continu. La figure 44» où nous avons figuré l'arrivée de la section pq^ le montre d'une manière bien claire.
Le tracé du contour K n'empêche pas la surface de rester connexe, c'est-à-dire qu'on peut aller d'un point quelconque de la surface à un autre point quelconque sans traverser K. II faut maintenant établir que tout circuit tracé sur la surface, ne rencontrant pas le contour K, peut se ramener à un point par une déformation continue.
Nous ferons cette démonstration, d'une manière pour ainsi dire intuitive, en reprenant le disque plat avec ses trois trous (pour fixer les idées).
Prenons comme lignes auxiliaires les deux segments pq et qs de A {fig' 46), compris entre les points où les lignes D, qui sont
Fig. 46.
simplement figurées sur cette figure par des lignes droites sur la partie supérieure du disque, rencontrent A : quant aux lignes C, ce sont ici les périmètres y, y', y" des trous. Relativement à la
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE YARIABLK. ^20
partie restée libre ps de A, nous pouvons sans inconvénient la supposer rectiligne. Séparons alors les parties inférieure et supérieure du disque en faisant subir à Tune d'elles une rotation de deux angles droits autour dé ps. Nous aurons alors la nouvelle figure ci-dessous {/ig» 47)-
Fig. 47.
La surface est alors tout entière du même côté du plan; elle est limitée par le contour extérieur, et à l'intérieur se trouvent six trous, joints par des coupures à ce contour extérieur. On voit manifestement que tout circuit tracé sur le plan, ne trai>ersant pas les lignes y et les coupures correspondantes , se réduira à un point. La figure donne l'exemple d'un tel circuit représenté par la ligne pointillée.
22. Les résultats que nous venons d'obtenir pour la surface dilatée dans l'espace s'appliquent immédiatement à la surface primitive de Riemann des m feuillets superposés, puisque ces deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, au sens dont nous sommes convenus.
Prenons le cas de deux feuillets avec p -\- i lignes de croisement. Comme nous l'avons vu (§ 18), dans la transformation de la surface>en un disque plat k p trous, une des lignes de croisement devient le bord extérieur du disque, et les p autres deviennent les périmètres des trous. On voit donc de suite les circuits qui vont jouer sur la surface le rôle des lignes C et D. Autour de p des lignes de croisement, traçons sur un des feuillets p circuits : ce seront les analogues des lignes C; on obtiendra les analogues des lignes D en traçant des circuits rencontrant chacune des
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4^6 CHAPITRE XllI.
lignes précédenles el traversant la (p -+- 1)*^"»* ligne de croisenrienl. 11 ne reste plus qu'à joindre, à la manière d'une chaîne, chacune des rétrosections ainsi formées par des lignes analogues de pq^ /\v, .... On a alors sur la surface de Riemann un contour unique K, et tout circuit tracé sur la sur/ace et ne rencontrant pas ce contour peut se réduire à un point (point à distance finie ou à l'infini).
Soit, comme exemple, p = 2, Nous aurons alors trois lignes do croisement A, et l'on construit de suite les rétrosections (C, D), (C, D') qu'on unira par la ligne (a^) (Jig' 48). Ces rétrosec-
tions sont toujours à considérer, ainsi que a^, comme des lignes doubles, ainsi que nous l'avons eitpliqué plus haut.
23. Nous possédons les notions essentielles sur les surfaces de Riemann. Nous n'aurons maintenant aucune difficulté à suivre le mouvement d'un point sur une telle surface. En tout cas, en recourant à la surface percée de p trous, dont le schéma est si simple, on a une représentation extrêmement précise qui permet de voir directement les choses sans aucun effort.
Voici encore une remarque importante pour la suite ; tout circuit tracé sur la surface de Riemann, rendue simplement connexe par le contour K, peut être regardé, abstraction faite de chemins parcourus deux fois en sens contraires, comme une somme de circuits respectivement tracés sur un seul feuillet de la sur/ace^ et de circuits entourant un seul point de ramification.
Il suffira, pour l'établir, de considérer le cas de deux feuillets réunis par p ■+- 1 lignes de croisement. Eu se reportant à la figure 47, où sont représentés les deux côtés du disque dédoublé,
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES B'uNE YÀRIàBLE. 4^7
on voit qu'un circuit lel que le circuit pointillé peut se ramener à une somme de circuits, situés les uns à droite, les autres à gauche de la droite joignant les points p et 5, et de circuits très petits entourant les points de la droile/?^ (s'il en existe) qui correspondraient à des points de ramification : c'est ce que nous voulions démontrer.
rv. — Application des théorèmes de Cauchy aux fonctions de la variable complexe sur la surface de Riemann.
24. Nous nous sommes placé jusqu'ici uniquement au point de vue de la Géométrie de situation sur la surface de Riemann. Considérons maintenant une fonction de la variable complexe sur cette surface. Je prends d'abord une fonction uniforme dans une certaine région de la surface. Un point A sera un pôle pour une telle fonction s'il est un pôle pour la fonction considérée sur le feuillet où se trouve A, et nous n'avons aucune définition nouvelle à donner. Une remarque doit cependant être faite pour le cas où A serait un point de ramification. Soit (a, 6) ce point; on sait que ^ — h est développable suivant les puissances entières de x\ en posant
:r'= }Jx — a.
Nous dirons que le point (a, 6) est un pôle pour une fonction F uniforme dans la région considérée de la surface de Riemann, si l'on a, dans le voisinage de (a, 6), le développement suivant
A Al A;;|-2 A;;|-t
Ce développement représente bien une fonction uniforme sur la surface dans le voisinage de (a, i), puisque, aux deux déterminations de >Jx — a, correspondent les deux nappes de la surface. Il ne sera pas inutile de chercher la valeur de l'intégrale
^ dx
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4a8 CHAPITRE XIII.
le long d*un circuit C entourant («, 6), Ce circuit aura la forme ci-dessons {fig- 49)*
Dans le plan de la variable x\ le circuit précédent revient à un circuit entourant deux fois le point a;'= o, et comme on a
¥ dx = 1 I Fx' dx\ rintégrale cherchée prise dans le sens positif sera égale à
On voit donc que c'est le coefficient doublé de dans le dé-
veloppement de F qui jouera le rôle analogue au résidu.
2o. Ceci posé, considérons une fonction F n'ayant en tout point de la surface de Riemann qu'une seule valeur et n'ayant d'autres singularités que des pôles. Un exemple d'une telle fonction est donné par les fonctions rationnelles de x et y. Nous voulons montrer qu'il n'y en a pas d'autres.
Désignons par u une telle fonction , elle aura nécessairement, pour chaque valeur de J7, m valeurs it^, w^, ..., //m? et soient aussi yi , y^i • • • » y m les différentes valeurs de^ correspondant à celte valeur de x (ui eiyi correspondant à un même feuillet). Les expressions
yij'i-^Uîyt'^"'-^ ihny,n,
ihyT~' H- Miri""' +• • .-^ ihny'!,\-'
seront des fonctions uniformes de x et, par suite, seront des fonctions rationnelles de celte variable (Chap. V, § 18) puisqu'elles ne peuvent avoir d'autres points singuliers que des pôles
FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNB VARIABLE. 4^9
(le point à l'infini compris). Écrivons donc
les R étant des fonctions rationnelles de x. On peut résoudre ces équations du premier degré en {/«, U2j ..., Um', on aura pour Tune de ces quantités, soit 2/|,
Wt=F(jr, ^i,^„^3, ...,7,„),
F étant rationnelle en ^, J^mJK2î • • •jynf De plus, cette fonction est évidemment symétrique par rapport à jKai y 2^ ...» J'/». Or ces m — 1 lettres sont racines de l'équation de degré m — i
dont les coefficients sont fonctions rationnelles de x etj^f. On aura donc finalement
© étant rationnelle en ^ et ^<, et, par suite, on peut écrire, en supprimant les indices.
Nous pouvons donc dire que toute fonction uni/orme sur la sur/ace de Rieniann et n^ ayant sur elle d^ autres points singuliers que des pôles est une fonction rationnelle de x et y,
26. Revenons à la surface de Riemann rendue simplement connexe au moyen du contour que nous avons désigné par K. Nous avons dit (§ 23) que toul circuit tracé sur la surface et ne rencontrant pas K pouvait, abstraction faite de chemins parcourus en sens contraires, être r^ardé comme une somme de circuits situés respectivement tout entiers sur un même feuillet ou de circuits enveloppant un seul point de ramification comme dans la figure 49. Il sera possible alors d'appliquer les théorèmes généraux de Cauchy^ relatifs aux intégrales prises le long d'un contour, aux
43o CHAPITRE XIII.
circuits Iracés sur une surface de Riemann. Quelques mots d'explication sont nécessaires seulement pour les contours enveloppant un point de ramification. Pour voir, par exemple, que l'intégrale prise le long du circuit C de la figure 49 est nulle, quand F est une fonction uniforme et continue sur la surface àTintérieur de ce contour, il suffit de reprendre Tégalité déjà écrite plus haut
et Ton est ramené dans le plan de la variable x^ au théorème ordinaire de Cauchy.
Le théorème relatif aux résidus garde absolument la même forme; on aura soin seulement, si un point de ramification est un pôle, d'évaluer comme il a été dit au paragraphe 24 le résidu de ce pôle.
Pareillement, la formule de Green s'appliquera sur le plan multiple comme sur le plan simple. En un mot, toutes les formules fondamentales de la théorie des intégrales curvilignes el de celle des fonctions d'une variable complexe s'appliqueront sur la surface de Riemann comme sur le plan simple de Cauchv, si on les applique à des circuits ne traversant pas le contour K qui rend la surface simplement connexe.
En particulier, nous prendrons souvent, comme circuit, le circuit formé par les deux bords de la coupure K. L'aire limitée par un tel circuit se compose alors de la surface de Riemann tout entière. Dans L'application des théorèmes de Cauchy à cette aire, il faudra avoir soin de considérer comment les fonctions étudiées se comportent au point à l'infini sur chacun des m feuillets. On pourra d'une manière générale détacher de l'aire ces m points à l'infini en traçant sur chacun des feuillets des circonférences de très grand rayon, et l'on envisagera la portion de la surface de Riemann limitée par K et ces m circonférences; il n'y aura plus qu'à faire augmenter ensuite les rayons de celles-ci indéfiniment.
27. Appliquons les considérations générales qui précèdent à la démonstration du théorème suivant, qui est d'une application constante : Toute fonction uniforme sur la surface de Rie^ mann et restant toujours finie se réduit à une constante.
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FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'uNE VARIABLE. 43 1
Nous supposons donc que, pour une fonction F n'ajant qu'une seule valeur en chaque point de la surface, tous les points de celle-ci soient des points ordinaires (y compris les points à Tinfini). Posons
et appliquons la formule préliminaire de Green (Ghap. I, § 8),
en y faisant
et en l'étendant à Taire, dont j'ai parlé plus haut, limitée par K et les m circonférences de 1res grand rayon, dont nous désignerons l'ensemble par G. Nous avons ainsi
Or la première des intégrales du second membre est manifestement nulle, puisque les dérivées -^-y pour les éléments correspondants ds sur l'un et l'autre bord de la coupure K, étant de signes contraires, et u ayant la même valeur, les éléments de l'intégrale se détruisent deux à deux. Quant à la seconde intégrale, elle tendra vers zéro quand les rayons des circonférences augmenteront indéfiniment. On a, en effet, pour z très grand sur un certain feuillet (nous appelons ici z la variable complexe et nous posons z = X -h iy': aucune confusion n'est à craindre avec les notations des paragraphes précédents)
a H- tp = A H h
Il en résulte que les dérivées premières de u et ^', et par suite -^, sont, pour z très grand et de module p, des infiniment petits comparables à —• Or ds contient seulement p en facteur; il en résulte que la seconde intégrale tendra vers zéro avec -• Par suite,
l'intégrale étant étendue à toute la surface. La fonction u et, par suite, la fonction ç^ sont des constantes; ce qui démontre le théorème.
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432 CHAPITRK XIII. — FONCTIONS ALGÉBRIQUES D*LNB VARIABLE.
28. Je terminerai en démontrant une inégalité fondamentale due à Riemann, qui va jouer un rôle capital dans la théorie des intégrales abéliennes. Si u-t-îv représente une fonction analytique uniforme et continue sur une certaine portion de la surface de Riemann limitée par un circuit F, ne rencontrant toujours pas le contour K, on a, diaprés la formule préliminaire de Green, déjà écrite plus haut,
la dérivée -j- étant prise dans le sens de la normale intérieure.
Or, on a, comme nous l'avons déjà vu à diverses reprises (Chap.X, §6),
du dv
dn ~ ds
-r désignant la dérivée de p dans le sens positif sur le contour F. Nous pouvons donc écrire
l'intégrale curviligne dans le premier membre étant prise dans le sens positif. L'inégalité
est alors évidente : c'est elle que nous voulions établir. £Ile exclut complètement l'égalité à moins que u -f- iV ne se réduise à une constante.
Nous aurons bientôt à appliquer cette inégalité au contour K, mais il faudra toujours dans ce cas, si l'on veut être complet , considérer d'abord la portion de la surface de Riemann limitée par K et les m circonférences G dont nous avons parlé plus haut; on fera augmenter ensuite indéfiniment le rayon de ces dernières.
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DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 433
DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.
