I. — De la périodicité des intégrales abéliennes

i. On désigne sous le nom à^ intégrales abéliennes les îniégrales de la forme

j ^{x,y)dx,

K{x^y) étant une fonction rationnelle àexeiy. Nous avons déjà fait, à ce point de vue élémentaire, une réduction de ces intégrales (t. I, p. 5o); c'est de leurs déterminations multiples que nous devons maintenant nous occuper. Nous écrirons l'intégrale sous la forme

(I) f ' ^{x,y)dx,

indiquant par les limites inférieure et supérieure (^oj^o) ^^ i^ty) les points de départ et d'arrivée de la courbe d'intégration sur la surface de Riemann.

Nous partagerons ces intégrales en deux catégories différentes. La fonction R(x, y) aura nécessairement des pôles ; dans le voisinage d'un tel point «, on développera R suivant les puissances

entières de {x — a) [ou de {x — a)'^ si le pôle considéré était un

point de ramification]. L'intégration pourra introduire des termes en log(57 — rt). Si, pour aucun pôle de R, il n'y a de terme logarithmique, et si, de plus, le point à l'infini dans chacun des feuillets ne donne pareillement dans l'intégration aucun terme loga- P -II. a8

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434 CHAPITRE XIY.

rilhmiquey nous dirons que l'intégrale est de la première catégorie ; elle sera de la seconde catégorie si un des pôles au moins donne un terme logarithmique.

2. Plaçons-nous d'abord, pour l'étude des déterminations multiples de l'intégrale (i), dans l'hypothèse où celle-ci serait de la première catégorie. Nous reprenons sur la surface de Riemann S le contour K étudié au Chapitre précédent, au moyen duquel la surface a été rendue simplement connexe. Considérons sur S un circuit quelconque, ne rencontrant pas K et ne passant pas par un pôle de R(ar,y). D'après ce que nous avons vu à la fin du Chapitre précédent, V intégrale prise le long de ce circuit sera nulle.

Cette remarque faite, la recherche des déterminations multiples de rintégrale (i) supposée de la première catégorie ne présente aucune difficulté. Le contour K est formé des/> systèmes de rétrosections C et D, et de /> — i lignes joignant entre elles ces systèmes de rétrosections; nous désignerons par E ces dernières lignes qui, on se le rappelle, sont, comme les C et D, des coupures ou lignes doubles. Un chemin L, tracé arbitrairement sur 1^ surface S et joignant (^ojo) à (^, j), pourra rencontrer le contour K en un certain nombre de points. Cherchons la différence de la valeur de l'intégrale (i), quand on suit le chemin L, et de sa valeur quand on va de {x^^y^) à (x, y) sans traverser K (cette dernière valeur est entièrement déterminée). Considérons un quelconque des points de rencontre de L avec K, et désignons ce point para et par 6, suivant que nous le regardons comme appartenant à l'un ou l'autre côté de la coupure, le point a étant le point que rencontre d'abord le chemin L. La différence que nous cherchons sera égale à la somme des intégrales prises pour chaque point (a, b) quand on va de 6 en a sans traverser K; en effet, la seconde de nos deux intégrales peut être considérée comme obtenue en suivant le même chemin que pour la première, sauf que, au lieu d'aller de a en 6 en franchissant la coupure, on va de a en 6 sans traverser K. Il résulte de celte remarque capitale que nous avons seulement à étudier les valeurs de l'intégrale quand on va d'un point de la coupure K au point correspondant stir l'autre côté sans traverser celte coupure qui, nous le répétons,

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DES INTÉGRALES ABËUENNES. 435

rend la surface simplement connexe. Tout d'abord, si le point (a, b) est sur une ligne E, la valeur cherchée de l'intégrale sera nulle; on le voit tout de suite en se reportant à la surface à/? trous dans l'espace : on peut aller de 6 en a en restant sur le contour K, et, dans ce trajet, les éléments correspondants de K sur l'un et l'autre bord de cette coupure sont parcourus en sens inverse, puisqu'il en est ainsi pour le parcours complet sur une quelconque des rétrosections (^g 5o). Supposons ensuite que le point (a, b) soit sur une ligne C.

Il suffît de suivre les flèches sur la figure 5o pour voir que l'intégrale prise de 6 en a sera égale à l'intégrale prise le long de la

Fig. 5o.

seconde partie D de la rétrosection, dans un sens convenable. Pareillement, si le point (a, b) était sur D, la valeur cherchée serait égale à l'intégrale prise dans un sens convenable le long de G. Nous avons donc à introduire les valeurs de l'intégrale (i) prise le long des lignes C et D. Si l'on a fixé sur chacune des lignes C etD un sens déterminé, nous désignerons par

Ci et di

les valeurs des intégrales, prises respectivement dans ce sens, sur

Di et Ci,

de telle sorte que di désigne la différeuce des valeurs de l'intégrale quand on va, sans traverser K, d'un point arbitraire à deux points se correspondant sur l'un et l'autre bord de D/. La difTé-

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436 CHAPITRE XIY.

rence que nous nous proposions d'obtenir est de la forme

(2) ^{miCi-^njdi),

les nii et /i/ étant des entiers positifs ou négatifs. En résumé, les diverses déterminations de V intégrale (i) diffèrent entre elles d^une somme de multiples des constantes ci et di. On donne à ces p./> constantes le nom de périodes de l'intégrale. On désigne souvent ces périodes sous le nom de périodes cycliques.

3. Nous avons supposé que l'intégrale était de la première catégorie. Les mêmes considérations peuvent être employées, avec quelques modifications seulement, pourTétude des déterminations multiples des intégrales de la seconde catégorie. Admettons donc que rintégrale ait un certain nombre de points singuliers logarithmiques, que nous supposerons d'abord n'être pas situés en un point de ramification de la surface de Riemann S. Entourons chacun des points de ramification d'une courbe infiniment petite et joignons chacun de ces contours au contour K par une ligne double L Nous obtenons ainsi sur S un nouveau contour K', formé de K et des lignes l que nous venons d'adjoindre, y compris les courbes infiniment petites autour de chacun des points singuliers logarithmiques. Nous raisonnerons sur K' comme nous avons raisonné sur K. Quand le chemin L rencontre une ligne /, il s'introduit, dans la différence considérée plus haut, la valeur de Tintégrale prise le long de la petite courbe enveloppant le point singulier logarithmique correspondant. Aux périodes cycliques viennent donc s'ajouter des périodes d'une autre nature provenant des points singuliers logarithmiques. Si l'on désigne par A le résidu correspondant au pôle de R {x^ y) qui donne par l'intégration un point singulier logarithmique, on aura évidemment, pour la différence cherchée de deux déterminations de l'intégrale.

^(m/C/-f-7itfl?/) + a7ct^/?A,

les/? étant des entiers positifs ou négatifs. Les périodes 27:* A sont dites des périodes polaires.

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UlntégralioD le long de K' conduit à une égalité importante. D'après la remarque générale du § 2, cette intégrale est nulle; or l'intégrale le long de K est manifestement nulle, puisque les éléments se détruisent deux à deux. 11 reste donc la relation fondamentale

4. On a supposé que les pôles de R(a?,^) auxquels correspondent des logarithmes n'étaient pas des points de ramification. Les raisonnements précédents s'appliquent sans modification à ce cas; rappelons seulement quelle sera la signification du résidu correspondant (Chap. XIII, § 24). On a ici le développement

D'autre part, un contour infiniment petit autour du point de ramification tournera deux fois autour de a dans le plan simple, et, par suite, le résidu correspondant à ce point de ramification devra être pris égal à 2L; quand le pôle de R(:r, jk) sera un point de ramification, on devra prendre, dans l'application de l'égalité (3),