II. — Le théorème d'Abel
5. Abel a donné sur les intégrales de difi*érentielles algébriques une proposition fondamentale, sur laquelle sont revenus un grand nombre de géomètres. Nous allons, pour le moment, nous borner à la faire connaître, sous la première forme que lui a donnée le grand géomètre norvégien, dans son Mémoire célèbre sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes (*). Sous cette forme, le théorème paraît tout à fait élémentaire, et il n'y a peut-être pas, dans l'histoire de la Science, de proposition aussi importante obtenue à l'aide de considérations aussi simples.
(*) Œuvres complètes d'Abel, t. I, p. i45.
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Partons toujours de la relation algébrique
et soit considérée une famille de courbes algébriques
(5) * X(a7, 7, a,,aj, ...,a,.) = o,
dépendant de r paramètres arbitraires «i , a^, . . . , cir- On suppose que X contienne rationnellement ces paramètres. Les courbes (4) et (5) ont un certain nombre de points communs en nombre |jl
variables avec les arbitraires a. Les X\^ ^2? • v., a^ji sont racines d'une certaine équation de degré ix
(6) 0(37, ai, «j, ...,ar) = o,
dont les coefficients sont rationnels par rapport aux a, et, si les axes n'occupent aucune position particulière par rapport aux deux courbes, on peut toujours admettre que la valeur correspondante de y est donnée par
4 étant rationnelle en a:, «i, . . . , ût,..
Ceci posé, prenons une intégrale abélienne quelconque
et formons la somme
S=y / Rix,y)dT.
Cette somme est déterminée, à une somme de multiples près des périodes polaires ou cycliques de l'intégrale, périodes indépendantes des a. L'objet du théorème d'Abel est de déterminer la nature de cette somme envisagée comme fonction des paramètres a. En désignant par la lettre 8 une différentielle totale par rapport à ces paramètres, nous aurons
5S = R{xu 7i ) ô:r, H-. . . -f- R(x^, y^,.) èx^.
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Or, en différentiant la relation (6), on calcule de suite 8xi, oj?2) • • • } ^^\L' £n substituant dans l'expression de 8S et remplaçant les j' par leurs valeurs ^^ on aura pour coefficient de 8ai une fonction rationnelle de x^, . .., Xji. et des a; de plus, elle sera évidemment symétrique par rapport aux j:, et, par suite, le coefficient de 8^1 sera une fonction rationnelle des a, et il en est de même des autres coefficients. On a, par suite,
8S = Pi (ai, ..., ar)ûai-i-Pi(ai,...,a,.)S«î-H---i-Pr(ai, «s, ...,ar)^ar,
les P étant des fonctions rationnelles de a^, ^2. . . .^ ar.
L'égalité précédente constitue le théorème d'Abel sous sa forme primordiale : elle exprime que S est une fonction algébricO'logarithmique des paramètres a. En effet, l'intégration de la différentielle totale qui figure au second membre conduira nécessairement à une expression de la forme
<p-+-^ Alog*,
les A désignant des constantes, © et les * représentant des fonctions rationnelles des a.
On peut donner des formes plus précises à Ténoncé du théorème d'Abel; nous y reviendrons à la fin de ce Chapitre.
6. Nous considérerons dans un moment, sous le nom dUntécraies de première espèce, les intégrales abéliennes
I R(x,y)dx
restant finies pour tout point (^, y) de la surface de Riemann. Cherchons ce que devient, pour une telle intégrale, le théorème d'Abel. La fonction algébrico-Iogarithmique des a qui représente S devra rester finie pour toute valeur finie ou infinie des paramètres a, puisque S reste lui-même toujours fini. Or une fonction de la forme
où o et les ^ représentent des fonctions rationnelles de a et les A
44o CHAPITRE XIY.
des constantes, ne peut rester finie pour toute valeur finie ou infinie du paramètre a que si elle se réduit à une constante. Il en résulte que la somme S ne dépend pas des paramètres «.
On peut, par suite, pour les intégrales de première espèce, énoncer, sous la forme suivante, le théorème d'Abel : La somme
où (x/if yn) désignent les points de rencontre, variables avec les a, des courbes {^) et {^) ne dépend pas de ces paramètres. Elle a une valeur constante, abstraction faite, bien entendu, de sommes de multiples de certaines périodes fixes qu'on peut toujours introduire en faisant varier le chemin qui va de (x©, y^) à (^/ij yn)' Ce cas particulier du théorème d'Abel joue dans la théorie des courbes algébriques un rôle fondamental. On peut encore le mettre sous la forme suivante
R(^i» 7i) rfxi -h . . . -+- R(a?pt, J^|i) dxy, = o,
les d désignant des difi^érentielles totales par rapport aux paramètres a.
III. — Des intégrales de première espèce. Nombre de ces intégrales linéairement indépendantes.
7. Les intégrales que nous avons désignées sous le nom d'//itégrales de la première catégorie peuvent se diviser en deux espèces. Les intégrales de première espèce sont celles qui restent finies en tout point de la surface de Riemann. Les intégrales de seconde espèce deviennent infinies au moins en un point; elles n'ont d'ailleurs pas de points singuliers logarithmiques, et les points où elles deviennent infinies sur la surface de Riemann sont des pôles.
Nous allons nous occuper dans celte section des intégrales de première espèce. Cherchons tout d'abord la forme nécessaire d'une telle intégrale dont l'existence n'est pas évidente a priori. D'après ce que nous avons dit (t. I, p. 62), toute intégrale abélienne peut se mettre sous la forme d'une somme d'intégrales de
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la forme
r V{x,y)dx rQ(x,y)d.T
P et Q étant des polynômes de degré quelconque en x et y. La première intégrale pourrait devenir infinie pour x^=a; aucune autre intégrale, dans la somme qui forme l'intégrale étudiée, ne pouvant devenir infinie pour;r = a, il n'est pas possible qu'il y ait de réduction, et, par suite, toute intégrale du type
F(x,jr)dx
se présentant dans la somme, doit rester finie pour x = a. Nous avons donc à chercher à quelles conditions l'intégrale précédente restera finie pour a?= a. Énonçons tout de suite le résultat : il faut que
puisse se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y, en supposant, bien entendu, x et j/- liés par la relation f{xj y) = o.
Pour le démontrer, nous avons à distinguer différents cas suivant que la droite x = a rencontre la courbe en m points distincts, lui est tangente ou passe par un point multiple. Dans le premier cas, il est clair que le polynôme P(^, y) devra s'annuler pour
en désignant par yi, y>i^ . . . , y m les ordonnées des m points de rencontre de x = a avec la courbe y(j7, y) = o. Il en résulte que
peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y. On peut s'en convaincre en écrivant
o étant un polynôme; or P(rt, y) sera divisible par
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44^ CHAPITRE XIY.
et comme, d'autre part, on a
fi^y y) ^{y — y\)- • -(r — y m) -h (a? — «) ^1(3-, y) = o,
le résultat énoncé devient évident. On sera donc ramené à une forme analogue^ où a est remplacé par a — i , et, en continuant ainsi de proche en proche, on sera ramené au cas où le dénominateur a disparu.
Soit maintenant la droite x = a tangente à la courbe. Nous avons alors les ordonnées
y\i yt, -.•» ym-\i
dont la première est supposée correspondre au point de contact. On aura d'abord nécessairement
mais je dis de plus que y^ doit être racine double de P(«, y)] on voit en effet tout de suite, dans l'hypothèse contraire, que l'intégrale devient infinie pour a: = a, y = j^|. Le polynôme P(^, y) est donc divisible par
{y—y\Y{y — yt)- - ^iy — ym-x ), et comme on peut écrire
/(^» y) = {y- yOHy — yi)-- -{y — ym^x ) h- (a^ — «) 'K^, y) = o, if étant un polynôme, il en résulte encore que
pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y^ et l'on peut achever le raisonnement comme plus haut.
11 ne nous reste plus qu'à supposer que la droite x^=a passe par un point multiple d'ordre i. Ce point est par hypothèse à tangentes distinctes, et l'on peut supposer qu'aucune d'elles n'est parallèle à Oy.
Désignons par ^,, ^2, ..., ym^i les ordonnées des points simples de rencontre de la droite x=^a avec la courbe, et soit (a, 6) le point multiple. On montrera encore que P(a, y) s'an-
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nule pour t, j^,, ^2? . • •? ym-h De plus, 6 doit être racine multiple d'ordre «pour P(a, y)\ sinon l'intégrale deviendrait infinie au point multiple, quand (^, y) se rapproche de ce paint, sur une au moins des i branches qui s^y croisent. Pour le voir bien nettement, écrivons
P(a7, y) = P(a, y) -h (a? — a) x(ar, y^
Si le développement de P(«, y) suivant les puissances de (y — b) ne commence pas un terme de degré au moins égal à e, il y aura certainement, dans un au moins des développements de V{x^y) relatifs aux diverses branches, un terme de degré moindre que ^ en X — a. L'intégrale deviendrait certainement alors infinie au point multiple pour une au moins des i branches. La démonstration s'achève alors tout de suite en remarquant que l'équation de la courbe peut s'écrire
(7 — ^y iy —yi ) • • -(r — y^n-i) h- (a? — a) ^{x, y) = o ;
d'où il résulte que
est un polynôme en x et y, et la réduction s'effectue de proche en proche.
En résumé, les intégrales de première espèce sont nécessairement de la forme
^Q(x,y)dT
Q(a7,y) étant un polynôme.
8. Cherchons donc à quelles conditions ces dernières Intégrales resteront finies sur toute la surface de Riemann. Elles pourraient devenir infinies pour les points correspondant à
Ces points sont de deux sortes. Il y a d'abord les points de ramification : mais on voit tout de suite que l'intégrale restera finie en un tel point (a, b). On a en effet, en ce point, d'après nos hypo-
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444 CHAPITRB XIV.
thèses qu'il est inutile de rappeler, le développement
A étant différent de zéro; l'intégrale reste donc finie.
Il y a en second lieu les points multiples. On a ici pour chaque branche un développement de la forme
Donc Q{Xyy) devra contenir en facteur {x — a)'"* quand on substituera à y\es /développements relatifs aux i branches. Par suite, Q{x^y)j développée suivant les puissances de x — a et y — 6, devra commencer par un terme de degré i — i ; en d'autres termes, la courbe
aura le point (a, b) comme point multiple d'ordre i — i. Cette condition est nécessaire et suffisante pour que l'intégrale reste finie en (a,è).
Il faut maintenant considérer les points à l'infini. Nous pouvons, en nous servant de l'équation /= o, mettre Q(^,^) sous la forme
les o étant des polynômes en x de degré quelconque. Pour x très grand, nous avons d'ailleurs les développements
les ki étant tous différents. Il en' résulte que, pour toute branche de la courbe à l'infini, le produit
ne pourra pas rester fini quand x grandira indéfiniment, si o, et cp^ ne sont pas identiquement nuls. A la vérité, ceci pourrait arriver pour certaines branches, mais non pour toutes, sans que 9| et p^ fussent nuls identiquement, puisqu'en posant y = A\r les coefficients des diverses puissances de x dans le développement de (7)
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sont des polynômes de degré m — i en A*. Or on exprime la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale reste finie pour a: = QO, en écrivant que l'expression (7) reste elle-même finie. On doit donc avoir
les o étant des polynômes. En raisonnant de la même manière, on voit tout de suite que Oq doit se réduire à une constante, fi à un polynôme du premier degré, et ainsi de suite. Par conséquent, Q(a7, y) est un polynôme de degré m — 3 en a: et ^.
En résumé, la condition nécessaire et suffisante pour que Tintégrale
fy
soit de première espèce peut être ainsi formulée : Q(^, y) est un polynôme de degré m — i en x et y et la courbe
a pour points multiples d'ordre i — i les points multiples d^ ordre i de la courbe J.
9. Un premier point très important est relatif au nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Que doit-on entendre d'abord par intégrales linéairement indépendantes? Soient
''^''''Qx{x.y)dx r^^'^'^ q,{x,y)dx r^^^' Qr(T,y)dx
fy
r"'Qx{x,y)dx r'^'''Q,{x,y)dx ^ Z*-'^'
r intégrales de première espèce. Nous dirons qu'elles sont linéairement indépendantes si Ton n'a pas entre elles de relations
•^(^.,r.) '^y •^(jc-o.ro) ^y
les A étant des constantes. Ceci revient à dire que l'on n'aura pas d'identité de la forme
(8) AiQi(a-, y) -+-. . .-^XrQri^y y) = o,
(les A étant constants), pour tout point (x, y) de la courbe /.
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D'ailleurs si Ton a des polynômes Q pour lesquels une identité de la forme précédente ne puisse avoir lieu quand x e,l y sont regardées comme des variables indépendantes, il ne pourra exister entre eux une telle identité quand le point (:r,jK) sera quelconque sur la courbe f\ c'est une conséquence nécessaire de l'irréductibilité de cette dernière et de ce que le degré des Q est inférieur à ni. On peut donc dire que les intégrales sont linéairement indépendantes si les polynômes Q à deux variables indépendantes X et y sont linéairement indépendants, c'est-à-dire s'il n'existe pas entre eux de relations de la forme (8) où les A soient des constantes.
Cette définition posée, remarquons que : avoir un point multiple d'ordre i — i en un point donné revient pour une courbe à
Mf — i)
conditions. Or le polynôme général de degré m — 3 renferme
5^ coefficients, et nous avons entre eux un nombre
d'équations de conditions égal à
a/ désignant, comme précédemment, le nombre des points multiples d'ordre i. Si l'on suppose que ces conditions ne se réduisent pas à un nombre moindre, on aura
(m — i)(m— -2) '^^i i{i — \) , , ,. > a, -^ -' , c est-à-dire p
intégrales de première espèce linéairement indépendantes.
Pour énoncer la conclusion précédente, nous avons dû supposer qu'il n'y avait pas de réduction dans le nombre des coefficients. En toute rigueur, nous pouvons seulement dire pour le moment que le nombre des intégrales linéairement indépendantes est au moins égal à /?.
10. Le résultat précédemment énoncé est cependant exact sans restriction. Il est nécessaire de le démontrer en toute rigueur : c'est ce que nous allons faire en nous servant du théo-
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