TOME IL

FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE. - PROBLÈMES FONDAMENTAUX RELATIFS A L'ÉQUATION DE LAPLACE DANS LE PLAN.

I. — Définition des fonctions d'une variable complexe. Dérivée. Intégrale. Fonction harmonique.

1. Désignons par u ei i^ deux fonctions réelles continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, des deux variables réelles x et y^ et formons la combinaison

où 1 représente le sjmbole ordinaire des imaginaires. Cette combinaison peut être regardée comme une fonction de la variable complexe

ce qui revient simplement à dire qu'à un système de valeurs de x et y correspondent une valeur de m H- tV, et par suite des valeurs de 1/ et p. Il est clair que la considération d'une telle fonction de ^ 4- iy ne peut présenter aucun intérêt particulier : il n'y a là P. - II. I

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qu'une question de mois, et la liaison par le symbole i de deux fonctions quelconques u et v est absolument inutile. Mais on peut ne pas laisser complètement arbitraires les fonctions u et ç^ et chercher si cette fonction Ae x -\- iy ne pourrait avoir des caractères qui la rapprocheraient d'une fonction d'une variable réelle. C'est ce qu'a fait Caucliy, en cherchant les conditions pour que cette fonction ait une dérivée unique.

Quand la variable x -f- iy reçoit un accroissement

dx -r- idy^

la fonction u -f- fV éprouve un accroissement du -f- idv, La limite du rapport

du j du . .fdv, ôv , \

du-\-idv 0t dy "^ \dx dy "^ /

dx -^ idy ^ dx -T-idy

quand dx -\r i dy tend vers zéro, sera, en désignant par |jl la

du ,/dv dv \

limite de -7^1 dx

du dx

elle dépendra de }x. La fonction w -+- tV de j; -i- iy a donc pour chaque valeur de la variable une infinité de dérivées, dépendant de la manière dont dx -\- i dy tend vers zéro.

Cherchons à quelle condition celte dérivée sera unique. Le rapport (i) ne devra pas dépendre de [jl; par suite, on a

du dx

.dv dx

du

,dv dy

/ du \ 'di'

dç

i du

dv dx'

Si 1/ et p satisfont à ces deux identités, la fonction u + iif a, en chaque point, une dérivée unique. On dit qu'elle représente une fonction analytique de x 4- iy-

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â. Rappelons d'abord que nous avons déjà rencontré ces deux équations dans un important problème de Géométrie (t. I, p. 454)» En cherchant à déterminer u et v par la condition que

du'^ -h «^p* = X ( dx^ -\-dy^),

A ne dépendant pas des ditFérentielIes et étant seulement fonction tie jc eX y^ nous avons obtenu le système S et celui qui s'en déduit par le changement de i' en — v. Ce résultat pouvait immédiatement s'obtenir en écrivant l'identité précédente sous la forme

{ du -^ i dv) { du — idv) — \{dx -^ idy){dc - idY)\

les deux facteurs du premier membre étant des formes linéaires en dx et dy^ on doit nécessairement avoir

du -\- idv du — i du

suit -j —j- = [JL, soit —. . , —V,

dx -\-idy ^ dx -^ i dy

!JL et V ne dépendant que de x et y\ c'est-à-dire que w -h fV ou u — eV est une fonction analytique de j? -|- iy.

Voici encore, relativement au système S, une remarque aussi simple qu'importante. Soient u-^is? et u -^ iv^ deux fonctions analytiques de x-k-iy. On pourra regarder u'-+-ii^' comme une fonction de u -f- i^'y je dis que cette fonction sera une fonction analyti(|ue. On a en effet

du-^idv __ du'-^idv' ,

dx -r- i dy dx -h i dy ^ '

jjL et jx' ne dépendant que de x et y^ ou, si Ton veul, de u et v. On en conclut

du' -h i dv' __ \l' ^ du -i- i dv "" |JL '

le second membre ne dépend que de u et t», ce qui démontre que //' -r «V est une fonction analytique de a -f- iv. Cette propriété du système (S) est digne de remarque; on peut la prendre comme point de départ pour chercher à généraliser la théorie des fonctions d'une variable complexe : c'est un point sur lequel nous aurons à revenir.

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