DKS INTÉGRALES ABÉL1ENN£S

rème d'Abel (*). Supposons qu'il y ail plus de p intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Je prends p points arbitraires «i, a%^ . , ,^ ap sur Ja courbe J] par ces points passe au moins une courbe Q, puisque, dans Thypothèse où nous nous plaçons, la courbe générale Q renferme au moins p + i coefficients arbitraires. Or toute courbe Q rencontre, en dehors des points multiples, la courbe f en

m{m — 3 ) — ^ x/ î ( i — I ) ou ip — a points.

La courbe Q passant par «i, «2? * .^-^ap rencontre donc, en dehors des points multiples, fcnp — 2 points, que nous désignerons par b^^ b^i • . ., 6p.2- P^i* ^^^ derniers points, passe un faisceau F de courbes Q comprenant en particulier la courbe d'abord considérée. Appliquons le théorème d'Abel aux points de rencontre variables du faisceau F avec la courbe /. Nous aurons, en désignant ces points par

et prenant p polynômes Q^, Q2, . . ., Q/> linéairement indépendants,

égalités qui expriment le théorème d'Âbel pour les intégrales de première espèce. Nous tirons de là la relation

Qï(^i, .Ti) Qt(a?î.r2) ... ^i{xp,yp)

Cette relation doit être identiquement vérifiée, c'est-à-dire quels que soient les points (^^yO^ (^27^2)7 ...» {^pt yp) sur la courbe, puisque, pour une certaine courbe du faisceau F, ces points coïncident avec les points arbitrairement choisis (2|, ^2, ...,

( » ) E. Picard, Sur le nombre des intégrales abéliennes de première espèce ( Bulletin des Sciences mathématiques, 1890 ).

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a^. Mais Tidenlilé précédente exprime que les polynômes Qi, Q2» • • • 9 Qp 1^6 sont pas linéairement indépendants; c^est ce que l'on voit en développant le déterminant par rapport à la première colonne. A la vérité, ceci suppose que tous les mineurs du premier ordre qui formeront les coefficients de ce développement ne soient pas nuls; mais, s'il en était ainsi, on serait ramené au cas de p — I polynômes Q sur lesquels on raisonnerait de la même manière et finalement on arrivera à une relation homogène et linéaire entre certains polynômes Q où tous les coefficienls ne seront pas nuls, puisque, à la fin, on aura comme mineurs les polynômes Q eux-mêmes. Ainsi nous arrivons à la conclusion que les polynômes Q ne sont pas linéairement indépendants : cette contradiction démontre le théorème. Nous pouvons donc affirmer qu'iY y a p intégrales de première espèce linéairement indépendantes (*).