Nous désignerons dans la suite les courbes

sous le nom de courbes adjointes d'ordre m — 3 (^). D'une manière plus générale, une courbe sera dite une courbe adjointe à f si elle a pour point multiple d'ordre i — i tout point multiple d'ordre i de la courbe f. Outre les adjointes d'ordre m — 3, nous aurons à considérer dans la suite les adjointes d'ordre m — 2. Un polynôme adjoint sera le premier membre de l'équation d'une courbe adjointe.

Faisons la remarque importante qu'// n^y a pas sur la courbe /", en dehors des points multiples, de points communs à toutes

( ' ) On peut établir ce théorème foodamental en restant au point de vue algébrique; c'est ce que font MM. Brill et Nôther dans leur mémorable Mémoire Sur les fondions algébriques {Math, Ann., t. VII); on trouvera un exposé des travaux de MM. Brill et Nôther concernant la Géométrie sur une courbe algébrique dans le Chapitre II du Tome II de la Théorie des fonctions algébriques de deuœ variables de MM. Picard et Simart. Nous donnerons encore au paragraphe 12 une autre démonstration de ce môme théorème.

(') Nous ne nous préoccupons nullement ici d'une question d'ordre en quelque sorte pratique, je veux dire la formation eiïective, pour une équation donnée f = Oj de ses adjointes et la détermination dans ces conditions du genre de la courbe. On pourra consulter sur ce sujet un intéressant Mémoire de M. L. RaflTy ( Afath. Annalen, t. XXIII ) et un travail de M. Nôther.

GoogI(

DES INTÉGRALES ÀBÉL1ENNES. 4^9

les adjointes d^ ordre m — 3 (*). J'emploierai encore à cet elTet le théorème d'Abel.

Prenons, sur la courbe f,p — i points arbitraires ai, aj, . . ., »/»-<. Par ces points, on peut faire passer au moins une courbe Q; celle-ci, en dehors des points multiples et de ces p — i points, rencontre encore la courbe en/? — i autres points parmi lesquels doivent se trouver les X points (X >> o) que, par hypothèse, contiennent toutes les adjointes. Il reste donc p — i — X points par lesquels nous pouvons faire passer un réseau d^adjointes. Aux p — I points de rencontre variables (?«, r^i )...(?/><, '1/»-«) ^® ^® faisceau avec la courbe, appliquons le théorème d'Abel pour p — I intégrales distinctes de première espèce. On en déduira immédiatement

Qi(îi,TQ,) ... Qi(5p,,r^;,-,)

Q/ï-i(îij^i) ••• Qi»~i(î/»-i>^p-i)

et l'on aura là une identité puisque les /? — i points ($, vi) coïncident dans une position particulière avec les /> — i points a pris arbitrairement. Mais ceci est impossible, comme nous l'avons déjà dit, si les polynômes Qi, Qo, . . ., Q^< sont linéairement indépendants.

IV. — Théorèmes fondamentaux sur les intégrales de première espèce. Intégrales normales.

12. Revenons aux périodes des intégrales de première espèce. Les périodes d'une telle intégrale

peuvent être désignées par

4*, di (A = 1,2, ...,;?),

(') MM. Brill et Nôther démoatrcat {^loc, cU,) ce théorème en se servant du théorème de Riemann-HocU.

p. - II. 29

GoogI(

45o CHAPITRE XIV.

en représentant par cj et d\ les valeurs de l'intégrale prise respectivement le long des coupures D^ et C^.

Nous avons dit que c'j^ était la période correspondant k Chet cf^ la période correspondant à Da* Les sens suivant lesquels sont pris c\ et d^ sont tout à fait arbitraires. Faisons donc seulement une convention pour fixer les idées. On forme le contour K dont nous avons déjà tant de fois parlé; ce contour se compose, outre les rétrosections, de p — i coupures joignant deux à deux, à la manière d'une chaîne, les coupures D.

Considérons une des extrémités de cette chaîne. Je fixe un sens sur D|, marquant la ilèche du côté de la coupure sur lequel ne s'insère pas la coupure auxiliaire qui joindra D^ à D^. On suit alors, dans le sens indiqué, le côté considéré de D| ; on rencontre

C^ et il s'ensuit un sens pour C^, Nous continuons maintenant le contour K, et les sens dans lesquels nous parcourons respectivement Da et C2, à l'arrivée sur la seconde rétrosectîon, sont ceux que nous fixons sur celle-ci pour évaluer les intégrales c* et rfj et ainsi de suite.

Ce& définitions posées, nous allons établir une inégalité fondamentale d'où se déduiront les conséquences les plus importantes pour les périodes des intégrales de première espèce. Considérons d'une manière générale une intégrale de première espèce

Q(T,y)dT

aux périodes c/t et d/^. Je mets l'intégrale sous la forme