X-+.IÏ
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DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^1
et je pose
C/i — c'f, -\- ic1^, d/^ = d/^ "h i dl .
En appliquant le théorème démontré à la fin du Chapitre précédent (§ 27), nous sommes assuré que l'intégrale
dY,
étendue au contour K, est différente de zéro. Elle est positive si le sens choisi sur le contour K correspond au sens positif sur les feuillets; c'est ce que nous pouvons supposer. A la vérité, comme nous l'avons dit, une petite discussion est nécessaire, en appliquant ce théorème et les théorèmes analogues établis (toc. c*V.), pour les points à l'infini et pour les points de ramification. Ici on se rend compte tout*de suite que l'intégrale précédente pour un circuit infiniment grand sur un feuillet quelconque est nulle,
puisque X est fini à l'infini et que -j- est infiniment petit comme
— * tandis que ds contient seulement p en facteur (p étant le rayon
du cercle d'élément ds grandissant indéfiniment). Quant aux
points de ramification, on voit immédiatement que -r- est de Tordre —, tandis que ds est de Tordre de r, en désignant par r
la distance du point variable au point de ramification, distance qu'on fait tendre vers zéro.
Écrivons donc
XdY>o.
Nous allons évaluer celte intégrale. Les fonctions réelles X et Y admettent respecûvement les périodes c^, rfj^ et c^, rf^. Nous avons dit que les périodes correspondant aux coupures auxiliaires joignant les rétrosections étaient nulles (§2); les intégrales relatives à ces coupures sont donc nulles, leurs éléments se détruisant deux à deux. Nous pouvons, par conséquent, faire abstraction de ces coupures, et nous n'avons qu'à évaluer l'intégrale précédente sur chacune des rétrosections. Prenons, par exemple, la rétrosection (Di, C|); soient m et m' deux éléments se correspondant des
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452 CHAPITRE XIY.
deux côtés de la coupure D^, rélément m étant sur le côté de la coupure auquel correspond la flèche. Nous aurons pour éléments de l'intégrale
en m \d\
en m' —(X -f- rf; ) rfY;
pour le second élément, X est en effet devenu X 4- d\ et le signe a changé, les éléments m et m' étant parcourus en sens inverse. Nous aurons donc pour la somme
- d\ dY,
et il faut faire la somme de cette expression pour les éléments /??, ce qui donne immédiatement
Prenons de même deux éléments p et />'; on aura pour éléments de l'intégrale
en jD X dY
en p' —(X — c;)cn^
dont la somme donne c\ dY qui, intégrée pour les éléments /?,
conduit de suite à
La première rétrosection donne donc, comme valeur de l'intégrale cherchée.
Nous avons par suite P inégalité fondamentale
h=p (10) ^{c'udl-cld'n)>o,
cl, je le répète, celte inégalité exclut l'égalité.
Je tirerai de suite de cette inégalité une nouvelle démonstration du théorème démontré dans la section précédente et relatif au nombre des intégrales linéairement indépendantes. Ce nombre ne peut être supérieur à p, car,. s'il en était ainsi, on pourrait former une intégrale de première espèce ne se réduisant pas à une con-
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stanle, et pour laquelle les périodes relatives aux coupures D se réduiraient à zéro; ce qui est incompatible avec l'inégalité précédente.
