L'intégrale générale de première espèce est de la forme
(II) ^{XA.-^iBA.)h'f
les A et B désignant des constantes réelles quelconques et les I représentant des intégrales linéairement indépendantes. Désignons celte intégrale par X -f- iY; les 2/? périodes de X seront
Je dis qu'on peut choisir les 2/? constantes A^ et B^ de manière que ces 2/? périodes prennent telles valeurs que l'on voudra. Il suffit pour cela de faire voir que le déterminant des coefficients A^ et B;t dans ces 2// formes linéaires ne peut être nul. Pour le montrer, remarquons simplement que, si ce déterminant était nul, on pourrait choisir les A et B, non tous nuls, de manière à annuler toutes les périodes de X. On aurait alors une intégrale (11) pour laquelle les parties réelles de toutes les périodes seraient nulles. Or cette circonstance ne peut se présenter pour une intégrale de première espèce ne se réduisant pas à une constante, comme le montre Tinégalité (10) qui ne peut être vérifiée quand toutes les lettres pourvues d'un seul accent sont nulles. Énonçons donc ce théorème :
On peut former une intégrale de première espèce pour laquelle les parties réelles des ip périodes ont des valeurs arbitrairement données.
Une conséquence immédiate est que les 2/? périodes d'une intégrale arbitraire de première espèce sont distinctes. On se rappelle la définition des périodes distinctes (p. 226 de ce Volume).
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Il est impossible ici qu'il existe entre les périodes d'une intégrale arbitraire de première espèce une relation homogène et linéaire à coefficients entiers, puisque les parties réelles des périodes peuvent être choisies arbitrairement.
Comme nous avons eu déjà l'occasion de le remarquer (p. 229) le nombre des périodes, pour une intégrale déterminée de première espèce, peut êlre inférieur à 2/?, mais nous ferons la remarque que le nombre des périodes distinctes d'une intégrale de première espèce ne peut être inférieur à deux.
Supposons en effet qu'une intégrale I de première espèce n'ait qu'une seule période w. Considérons alors l'expression (*)
Cette expression n'aura qu'une seule valeur en chaque point [x, y) de la surface de Riemann. D'autre part, elle reste toujours finie; elle devrait donc se réduire à une constante (Chap. XIII, § 27), ce qui est absurde.
14. Indiquons maintenant ce qu'on entend par intégrale normale de première espèce. Cherchons à déterriiiner p intégrales de première espèce J|, J2J . • -i J/? pour lesquelles les périodes correspondant aux coupures D4, D2, . . *, D^, forment le Tableau suivant :
Jl
ip
On partira pour cela des p intégrales linéairement indépendantes Ii, I2, . . ., I/> et l'on déterminera les constantes ai, aa, . . ., a^ de manière que les périodes de
(la) aiJi-f-a2lt-f-...-i-a,>ï,,
(^) On reconnaîtra là sous une forme plus condensée la généralisation du raisonnement fait à la page 239.
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DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^^
correspondant aux coupures D aient successivement les valeurs correspondant à ce Tableau. On aura ainsi à résoudre successivement/? systèmes de /? équations du premier degré. II est essentiel de remarquer que le déterminant commun de ces systèmes vUest pas nuly car, s'il en était ainsi, on pourrait choisir les a (non tous nuls) de manière que les périodes de (12) correspondant aux coupures D soient toutes nulles, ce qui est en contradiction avec l'inégalité fondamentale (10) où toutes les lettres d nç peuvent s'annuler simultanément.
Il est évident d'ailleurs que les intégrales J ainsi déterminées sont linéairement indépendantes, car aucune combinaison linéaire des J ne peut se réduire à une constante sans que les coefficients soient nuls, comme on le voit tout de suite en égalant à zéro les périodes relatives aux coupures D d'une telle combinaison.
On appelle les intégrales J les intégrales normales de première espèce. Nous désignerons par le Tableau suivant le Tableau des périodes des intégrales normales :
Di
Jl
•îii
Jt
"^îi
-Cîï
'^iP
'^Pt
"^pp
Dans chaque ligne horizontale se trouvent les périodes de l'intégrale normale correspondant à cette ligne.
io. Il existe entre les périodes de deux intégrales quelconques de première espèce une relation remarquable. Soient I et / deux telles intégrales, dont nous désignons les périodes respectivement par
</« et dh )
•//« et oa ) Considérons l'intégrale
fi<ii.
On peut lui appliquer le théorème de Cauchy relativement au
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456 CHAPITRE XIY.
contour K ; elle sera nulle. La seule discussion à Taire, pour s^en convaincre, est relative aux points à l'infini sur les feuillets et aux points de ramification; elle se fait comme pour l'intégrale étudiée au paragraphe précédent. Nous avons donc
I di = ().
Le calcul de cette intégrale est entièrement analogue à celui de
les périodes de I et de i remplacent seulement respectivement celles de X et de Y. Nous aurons donc
Il résulte de cette égalité que nous avons entre les périodes de /> intégrales de première espèce
relations, en l'appliquant de toutes les manières possibles à deux de ces intégrales. (]es relations prennent une forme particulièrement simple pour les intégrales normales J. Ainsi prenons J| et J2 : on a de suite
— ':i2H-t:ïi = 0.
D'une manière générale, il vient
Ces égalités sont fondamentales,
16. Nous terminerons cette étude des intégrales de première espèce, en indiquant une nouvelle égalité, conséquence d'ailleurs de l'inégalité fondamentale et qui joue dans la théorie des fonctions abéliennes un rôle capital. Considérons l'intégrale
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DES mTfiGBALES ÀBÉLIENNBS. 4^7
OÙ les ni sont des constantes réelles quelconques, et appliquons à ses périodes l'inégalité (9). En posant
on trouve, après quelques réductions très simples, ^nihmkz%h> o (A,/: = 1,2, ...,/?)•
On peut donc énoncer que la forme quadratique en nii^ ni2j . . ., nip
est définie et positive.
