V. — Des intégrales de deuxième espèce
17. Nous avons désigné d'une manière générale sous le nom à"^ intégrales de deuxième espèce les intégrales n'ayant sur la surface de Riemann d'autres points singuliers que des pôles. Nous allons former a priori une intégrale de deuxième espèce ayant un seul pôle. Soit (^, t^) un point arbitraire de la surface de Riemann et désignons par
(i3) ax -^ by -^^ c = o
Téquation de la tangente à la courbe y(^, j^) == o au point (Ç, r,). J'envisage l'intégrale
^•^'^'' V{x,y)dx
où P(^, y) représente un polynôme adjoint de degré m — 2 s'annulant pour les m — 2 points simples de rencontre, en dehors du point de contact, de la droite (i3) avec la courbe /, Cherchons d'abord le nombre des constantes arbitraires figurant dans P(Xyy). Ce nombre sera au moins égal à
(m — i)m '^ 1(1 — 1) c'est-à-dire à /> 4- i . Mais on aperçoit de suite une famille de po-
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Ijnomes V{x^y) remplissant les conditions requises et dépendant de p paramètres ; elle est fournie par
Q(iC, j^) étant le polynôme général adjoint d'ordre m — 3 qui a joué le rôle fondamental dans la théorie des intégrales de première espèce. Pour une telle valeurdeP, l'intégrale (i4) se réduite une intégrale de première espèce; mais, puisque la famille générale des polynômes P(x, y), satisfaisant aux conditions indiquées, dépend au moins de /> -h 1 paramètres arbitraires, il y aura certainement un polynôme P{x^y) ne contenant pas (ax -^ by -\- c) en facteur, et, par suite, ne s'annulant pas en (5,7^). Pour un tel polynôme, Vintégrale (i4) ^st de deuxième espèce. Il suffit, pour l'établir, de remarquer que cette intégrale devient infinie au point (^, Tt) de la surface de Riemann et en ce point seulement. Cet infini est nécessairement un pôle; on pourrait le vérifier directement, mais on évitera tout calcul en remarquant qu'une intégrale ne peut avoir un seul infini logarithmique d'après la relation
démontrée au § 3 de ce Chapitre. Le pôle est d'ailleurs évidemment un pôle simple.
Nous avons dit plus haut que le nombre des constantes figurant dans P était au moins /> + i, ignorant a priori si la disposition particulière des points qui déterminent le réseau de courbes n'élèverait pas le nombre des constantes au-dessus du nombre p + i qui est celui que donne la numération directe. En fait, on peut voir que ce nombre sera /? + i : en effet, si l'on a deux polynômes P< et P2 ne s'annulant pas en (Ç, Tj), on peut choisir la constante a de manière que P< — aP2 s'annule en (S, "ïi); on a alors
Pi— aP, = {ax -^by-^ c) Q(ar,^).
Donc P| ne dépend que Ae p -\-\ constantes.
Soit H une intégrale (i4) de deuxième espèce ayant le pôle (Ç, 7i); il résulte de ce qui précède que toutes les intégrales de
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deuxième espèce ayant le pôle simple (5, t,) seront de la forme
(i5) aHH-p,I,-hp2l,-h...-hP„I;„
les I représentant p intégrales dîslinctes de première espèce, a et les p des constantes arbitraires.
18. Nous pouvons choisir a de manière que le résidu de l'intégrale (i5) relativement au pôle (Ç, t^) soit V unité. Déplus, on peut choisir les ^ de manière que les périodes de (i5) relatives aux coupures D soient nulles. On a alors une intégrale de deuxième espèce parfaitement déterminée; nous l'appellerons V intégrale normale de deuxième espèce relative au point (i, vi). Désignons-la par E; ses périodes seront
Di Dj ... Dp Cl Cj ... C,,
Les périodes e, relatives aux coupures C, ont des valeurs extrêmement simples que nous allons maintenant faire connaître. Considérons à cet effet, avec Riemann, l'intégrale
f^dhn
où Jjk est une intégrale normale de première espèce. Cette intégrale prise le long du contour K n'est plus nulle ici, comme celle que nous avons considérée au § 14, puisque la fonction E a un pôle au point (Ç,Yj), mais nous aurons, d'après le théorème de Cauchy étendu aux surfaces de Riemann,
(i6) fEdJh='nzl.n,
en désignant par R le résidu de
par rapport au pôle (i, 7^). Calculons de suite ce résidu ; le résidu
de E étant l'unité, et -j^f c'est-à-dire ^^* J'*^ > restant fini pour ' dx fy ^
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(5, y,), on aura
en désignant, bien entendu, par QaC^j^") 'e polynôme adjoint d'ordre m — 3 correspondant à l'intégrale normale J>i.
Quant au calcul de l'intégrale figurant dans le premier membre de (i6), il est entièrement analogue à celui que nous avons eu à faire au § 14; les périodes de E et J^ remplacent celles de 1 et i. On a immédiatement
Ainsi les périodes de Y intégrale normale de deuxième espèce relative à un pôle (i, vj) s* expriment d'une manière algébrique,
19. Prenons maintenant sur la surface p points ($i,vii), (52? '^12)) •••1 (i/?î ^/>)j q"î vont rester fixes, mais à qui nous donnons une position arbitraire, et envisageons les intégrales normales de deuxit-me espèce correspondantes E|, E2, . . ., E^. Nous allons montrer qu'aucune combinaison linéaire à coefficients constants des np intégrales
ne peut se réduire à une fonction rationnelle de (or, y).
Il faudrait et il suffirait pour cela que toutes les périodes de
Al El 4- AjEtH-...-!- A;,E^-i-BiJi-T-...-+-B,J,,
fussent nulles. Pour que les périodes relatives aux D soient nulles on doit avoir
Bi= B8 = ...= B;, = 0.
Les périodes relatives aux coupures C seront nulles si l'on a
AiQa(Îi, t,i) + A,Qa(Î,, 71,) -+-• . .-+- A,,Q/i(îp, fip) = o (/t = I,2, ...,/?).
Mais ces p relations entraînent nécessairement • Al = Aj = . . . = A,, = o,
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car le déterminant
ne peut être nul si les p points (Ç|, Tj,), ..., (i/?,^)^) ont été pris arbitrairement (§ 10), et la combinaison formée est alors identiquement nulle.
Nous pouvons donc dire que nous avons formé ip intégrales de première et de deuxième espèce linéairement indépendantes, en entendant ici par intégrales linéairement indépendantes des intégrales dont aucune combinaison linéaire n^est rationnelle en {x^y). Il n'y a aucune confusion à craindre pour les deux sens dans lesquels, suivant les cas, nous entendons les mois linéairement indépendants. Quand il sera question d^intégrales de deuxième espèce, il s^agira toujours du sens que nous venons d'indiquer. Il est clair que le déterminant d'ordre 2/? formé avec les périodes de nos a/? intégrales n'est pas nul.
20. Toute autre intégrale de deuxième espèce s'exprime linéairement à l'aide des a/? intégrales précédentes et d'une fonction rationnelle. Soit en effet H une intégrale absolument quelconque de deuxième espèce. Nous pouvons choisir les constantes A et B de manière que les ip périodes de
(17) H + A,E,4-...-HApEp-f-BiJ,H-...-f-B,,J;,
soient nulles; d'après ce que nous avons dit plus haut, le déterminant des a/7 équations du premier degré ainsi obtenues ne sera pas nul. L'expression (17) n'ayant pas de périodes et n'ayant que des pôles sera une fonction rationnelle de (j:,^), et nous pouvons, par suite, énoncer que toutes les intégrales de deuxième espèce s^expriment à Vaide de p d'entre elles, linéairement indépendantes, et d'une fonction rationnelle de (x,y). ' On pourrait démontrer le théorème précédent, qui est capital, d'une manière purement algébrique, en s'appuyant sur la réduction que nous avons donnée (t. I, p. 62 et suiv.) pour les intégrales de différentielles algébriques. Du moins, on peut voir faci-
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lement ainsi que toutes les intégrales de deuxième espèce sont réductibles à ip d'entre elles et à une partie rationnelle en (x,y), mais il serait moins simple d'établir directement que ces ip inté* grales sont linéairement indépendantes. Nous n'insisterons pas sur ce genre de démonstrations.
21. De même que nous avons cherché une relation entre les périodes de deux intégrales de première espèce, on peut, de la même manière, trouver une relation entre les périodes d'une intégrale de première espèce et celles d'une intégrale de deuxième espèce. Reprenons l'intégrale arbitraire H de deuxième espèce, et soit I une certaine intégrale de première espèce; on considérera encore l'intégrale
prise le long du contour K. Cette intégrale sera égale au produit de 277£ par la somme des résidus relatifs aux différents pôles de
la fonction H ^; cette somme R pourra être facilement calculée
dans chaque cas, et l'on aura par suite la relation cherchée
^(C/iO/,— Y/i^/,) = 2711. R,
en désignant respectivement par ca, dh, et y^j Sa les périodes de H et I.
