VI. — Des intégrales de troisième espèce

22. L'étude des intégrales de troisième espèce se fait d'après les mêmes principes que celle des intégrales de deuxième espèce. Partons ici d'une droite quelconque ax 4- by -f-c = o, et, parmi les ni points de rencontre de celle droite avec la courbe y, considérons-en deux particulièrement (Çi,^^,) et (Ça, v^a); nous les désignerons simplement, pour abréger, par les points Ç| et Ça- Ceci posé, formons encore l'intégrale

Vi^x,y)dx

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DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4^3

P(x^y) étant un poljnome adjoint d'ordre m — 2 s'annulant pour les m — 2 points de rencontre de ax -H by + c = o avec y, distincts de Ç| et ^2» Sous ces conditions, l'intégrale précédente deviendra infinie pour Ç| et ^27 sî 1^ polynôme P ne s'annule pas en ces deux points. On montrera comme plus haut que le polynôme P renferme /> -4- 1 constantes arbitraires et qu'il existe un polynôme V(x^y) ne s'annulant pas pour $1 et $2? tous les autres étant de la forme

aP(a:,j')-4-(ajr^-ôj.^-c)(PiQi-hP,Q,^-...-f-P;,Qp).

L'intégrale ainsi obtenue aura les deux points Çi et ^2 comme infinis logarithmiques; dans le voisinage du premier, la fonction deviendra infinie comme

Alog(a: — 5,),

A étant une constante, c'est-à-dire qu'elle sera égale à l'expression précédente augmentée d'une fonction holomorphe dans le voisinage de Çi. Elle deviendra infinie, pour x = ^2, comme

— Alog(ar— î,).

Les coefficients des logarithmes sont égaux et de signe contraire

d'après la relation V A = o du paragraphe 3.

On peut choisir la constante a de manière que A= i, et, de plus, les constantes ^ peuvent être déterminées de telle sorte que les périodes relatives aux coupures D de notre intégrale de troisième espèce soient toutes nulles. On a alors une intégrale de troisième espèce que nous appellerons intégrale normale de troisième espèce relative aux points ii et ^2- Nous la désignerons

les parties logarithmiques de cette intégrale sont respectivement pour Ç| et $2

H-log(x — $,) et log(ar — Ç,),

et les périodes relatives aux D sont toutes nulles. Nous allons calculer les périodes relatives aux coupures C; l'intégrale a de plus une période polaire 2tu relative aux points singuliers logarithmiques.

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23. Les périodes cycliques de Sç^ç^, relatives aux coupures G et que nous désignerons par 5|, 53, . .., Sp^ ont une forme 1res simple; nous allons les trouver en suivant la même voie que pour les intégrales de seconde espèce. Considérons toujours le contour K sur la surface de Riemann (Jig. Sa), puis réunissons les points ^1 et ^o par une ligne ne rencontrant pas K et dont

Fig. 52.

nous faisons une nouvelle coupure que nous joindrons par une autre coupure a^ à un point quelconque de K. Appelons K' le contour K modifié par cette addition, et supposons*le parcouru dans le sens des flèches de la figure. Il est manifeste que l'intégrale

prise le long du contour K! est nulle, J^ désignant toujours une intégrale normale de première espèce. Nous aurons comme valeur des éléments en m et m'

en m .

en m'

dont la somme donne

ITÙdi/i^

et, par suite, la valeur de l'intégrale (18) sur les deux bords de la coupure (Ç^Ço) est

— ^TÛ I dJ/i.

Les intégrales des deux bords de la coupure a^ se détruisent et il reste à évaluer l'intégrale relative au contour K. Or c'est un calcul que nous avons déjà fait à différentes reprises; l'intégrale

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DES INTÉGRALES ABÉLIEXNBS. ^6S

se réduit à 5a et nous avons donc

5/4=2TCt/ dJ/t (/l = I,2, p),

formule qui fait connaître les périodes, relatives aux G, de l'inlégrale normale de troisième espèce.

24. Il est facile de voir que toute intégrale de troisième espèce est une somme dHntégrales normales de troisième espèce et dUine intégrale de seconde espèce. Supposons que l'intégrale II considérée ail r points singuliers logarithmiques «i, a^, ..., ar avec les coefficients correspondants A|, A2, ..., A^ satisfaisant nécessairement à la relation

Al -H Aj-i-. . .-h Ar = o.

Formons les intégrales normales de troisième espèce

et la combinaison linéaire

On peut choisir les B de manière que cette somme devienne infinie en «1, «oj . . .j «r comme l'intégrale H. On n*a qu'à écrire

Bi = A„ B,~B,= A„

B/— 1 — Br-j = Ar-i , — Br-t = Ar,

et ces r équations compatibles, en vertu de V A = o, déterminent les B. Ces coefficients étant ainsi choisis, l'intégrale

n — (BiSrtjrt,-^.. --*- B;^iSfl,j/,^)

n'aura plus de points singuliers logarithmiques : ce sera une intég^rale de seconde espèce.

25. Démontrons maintenant le théorème important connu sous P. - II. 3o

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le nom de théorème de l'échange du paramètre et de V argument.

On trace sur la surface de Riemann, rendue simplement connexe au moyen du contour K, deux coupures (Çi, Ça) et (ai, aj) ne coupant pas K et ne se coupant pas entre elles. Formons alors les deux intégrales normales de troisième espèce

Sç»Ç, et Sa,a„

qui sont des fonctions uniformes sur la surface affectée des coupures indiquées. Pour avoir un contour unique, nous joindrons,

Fig. 53.

comme plus haut, les coupures ii Ç2 ^^ les coupures ai a2 au contour K : on forme avec toutes ces coupures un contour unique K'. Nous avons la relation

diaprés le théorème fondamental de Cauchy étendu aux surfaces de Riemann. La partie de l'intégrale relative au contour K sera nulle puisque les périodes relatives aux coupures D des deux fonctions S sont nulles. Il reste simplement à considérer les intégrales relatives aux coupures (Ç, $2) et (ai aj). La première nous donne, par un calcul tout à fait analogue à celui du paragraphe 23,

Pour avoir la seconde, remarquons que le long d'une ligne entourant les deux points ai, aj on a, en intégrant par parties.

J S5, ç, dSa, «. = — y Sa, a, d^i, ç, ;

DES LNTÉGRALES ABÊLIENNBS. 4^7

or la seconde intégrale donnera de suite, pour la coupure ai a^,

-h 27:1 On a donc Tégalité

et.

J dSoL,OL,=J rfSç.Ç,,

qui exprime le théorème de V échange du paramètre et de l'argument.

26. Nous terminerons ces généralités sur les intégrales abéliennes en revenant au théorème d^Abel, sommairement étudié au paragraphe 5 de ce Chapitre, et en lui donnant pour les intégrales de troisième espèce une forme très commode pour les applications. Nous allons d'ailleurs employer encore une fois la considération dUntégrales de la forme

étendues à un circuit convenable de la surface de Riemann, intégrales que ce grand géomètre a employées si heureusement pour l'élude des propriétés fondamentales des intégrales abélieunes des trois espèces, comme on vient de le voir dans les paragraphes précédents. Soit toujours Sç^ç, l'intégrale normale de troisième espèce correspondant aux points Çi et Sa, et désignons par

les équations de deux courbes de degré n. La première rencontre la courbe / en mn points a,, aa, ..., cumn et la seconde en mn points Pi, p2i •••? P^/i- Après avoir tracé sur la surface de Riemann le contour K et la coupure l^ I2, nous joignons par des arcs de courbe. ces points de rencontre deux à deux, en nous arrangeant de manière que les lignes

ne se coupent pas entre elles et ne coupent pas le contour K ni la coupure 5i Sa. Nous allons considérer les lignes précédentes comme des coupures que nous joindrons au contour K par des

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coupures auxiliaires ainsi que la coupure ^i ^29 et nous désignons par K' le contour total ainsi formé. Ces constructions faites, formons rintégrale

Elle sera nulle; or il est facile de calculer sa valeur en raisonnant comme nous Pavons déjà fait à différentes reprises.

La fonction log-j- n'ayant pas de périodes cycliques, la partie

de l'intégrale précédente relative à K sera nulle. D'autre part,

l'intégrale relative aux coupures auxiliaires est évidemment nulle . Calculons la valeur de l'intégrale pour une coupure a^ ^a l nous aurons

Pour l'intégrale relative à la coupure Si ^2^ on substituera, après intégration par parties, l'intégrale

-/S;.ç,rflog|;

et, par suite, on aura

Y'.logl ou -.-logdXX?).

en désignant par i-^ la valeur de la fonction rationnelle ^ au point ii. Il vient donc finalement

h = mn A

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C^est le théorème d'Abel pour l'intégrale normale de troisième espèce. Pour l'avoir sous une forme qui corresponde aux généralités indiquées plus haut (§ 5), il suffit de considérer une famille de courbes

\{x, y, ai, ai, ...,ar) = o

dépendant de /* paramètres arbitraires qui figurent rationnellement dans cette équation.

Supposons que la courbe o corresponde à des valeurs numériques fixes données aux paramètres, tandis que ^ correspondra à des valeurs arbitraires de ces paramètres. On voit que le second membre sera le logarithme d'une fonction rationnelle de ces paramètres; ceci est d'accord avec le piremier énoncé que nous avons donné du théorème d'Abel (*).

27. Le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce se démontrera évidemment par la même voie; on aura seulement à considérer l'intégrale

log.Jrfl,

I désignant une intégrale de première espèce. Il n'y a pas ici de points ^1 et ^29 6t l'on a de suite

A=:/yi/l Q

dl=zO.

J'ajoute seulement encore* une remarque importante sur l'application du théorème d'Abel aux intégrales de première espèce.

Considérons un faisceau de courbes adjointes d'ordre m — 2. Ce faisceau contiendra

>a/ ou m — 2 -h/?

paramètres entrant d'une manière non homogène.

(*) Celte forme du théorème d*Abel, ainsi que le thébrème sur rechange du paramètre et de l'argument, ont été donnés par Clebsch et Gordan dans leur Ouvrage classique : Théorie der Abelschen Functionem (1866 )•

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