V. — Des courbes de genre deux

20. Dans tout ce qui précède, on a supposé p^3. Quelquesunes des considérations précédentes s'appliquent toutefois au cas de p = 2. Dans ce cas, la courbe est kyperelliptiqae. Le raisonnement fait au § 14 peut, en effet, être employé ici. On a un

faisceau

Q,-hXQ,= o

d'adjointes d'ordre m — 3 avec le seul paramètre \. Les courbes de ce faisceau ne rencontrent f qu'en deux points variables; par suite, la courbe y correspond point par point à une certaine courbe hyperelliptique

(20) fl'=P(>l),

et, 'd'après ce que nous avons dit (§14), le degré du polynôme P()v), qui n!a que des racines simples, est cinq ou six. On peut encore employer, pour faire la transformation, des adjointes d'ordre m — a, et la courbe de degré /> 4- a avec un point multiple d'ordre p devient ici une courbe du quatrième degré avec un point double. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Toute courbe de genre deux correspond point par point à une courbe du quatrième degré ayant un point double.

Les remarques qui précèdent épuisent la question de la représentation paramétrique des courbes de genre deux; mais il n'est pas sans intérêt de montrer d'une manière purement algébrique que le degré du polynôme P(X) dans l'équation (20) est au plus égal à six; c'est ce que nous allons faire en supposant, pour simplifier, que la courbe/* n'ait que des points doubles. Changeons seulement un peu les notations; soit, pour éviter les indices,

O-hXR = o

(') P. Painlevé, Annales de l'École Normale supérieure, 1891-92.

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FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 5oi

le faisceau des adjointes d'ordre m — 3 de la courbe de genre deux

X et j^ sont des fonctions rationnelles de \ et y/P(X), en désignant par P(X) un.polj^nome qui est supposé n'avoir que des racines simples. C'est le degré de P(X) que l'on se propose d'évaluer. L'équation du second degré donnant x sera de la forme

A(X)ar2-h2B(X)a?-i-C(X) = o,

A, B, C étant des polynômes en X. L'équation en x aura des racines doubles pour les valeurs de \ annulant

B*— AG= o.

Ces racines sont de deux sortes : ou bien elles correspondent aux valeurs a de X pour lesquelles deux points de rencontre de la courbe correspondante avec f sont distincts et sur une même parallèle à Oy, ou bien elles correspondent aux valeurs ^ de \ pour lesquelles la courbe correspondante du faisceau est tangente

Dans le premier cas, ^ aura deux valeurs distinctes, c'est-à-dire que y^ dans le voisinage de X = a, sera uniforme; x le sera donc également (puisque x peut s'exprimer rationnellement en y et X, si, comme on peut le supposer, la courbe et le faisceau n'occupent aucune position particulière par rapport aux axes). Par suite, X = a sera certainement une racine de degré pair àe B^ — AC, et elle ne figure pas alors parmi les racines de P(X).

Le degré de P(X) est donc égal au nombre des courbes du faisceau

Q-i-XR = o

tangentes à / : calculons ce nombre. Nous avons les équations

f{x,y) = o, Q-hXR = o,

Jx Jy

et nous devons, par suite, chercher les points de rencontre des

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deux courbes

/(^,^) = o, /;(QiR-RiP)-/i(Q'j.R-Ri.Q) = o.

Evaluons le nombre des points de rencontre de ces deux courbes en supprimanl les solutions étrangères au problème. La seconde courbe est d'ordre

Il est facile de vérifier que les points doubles de / sont des points doubles de la seconde courbe avec les mêmes tangentes. Pour le voir, mettons le point double à l'origine avec O j: et Oy comme tangentes; on aura I

Çi{x,y)=^ ax ^ by -f-...,

R(^j j') = «'^-^ ^'y -+■•■.; on a donc, pour la seconde courbe,

Far -+- ^ -f-. . .1 [a(,a'x H- 6» — a'{ax + by)-h.. .]

-\y-^^-^'"][à{a'x-hby)-b'{ax-^by)-h...] = o;

l'ensemble des termes du second degré est donc xy.

Nous allons voir, de plus, que les m points à l'infini de/ appartiennent à la courbe de degré 3 m — 8. On a, en effet, comme terme de degré 3 m — 8,

en désignant par ç, y, r l'ensemble des termes homogènes du plus haut degré dans /, Q, R.

Si Ton remplace q et r par ^qjc-hyq'y et xr'^-hy^'y, on aura

donc ?(^î^) sera bien en facteur.

Les solutions que nous venons de trouver sont manifestement

FONCTIONS UNIFORMES SLR UNE SURFACE DE RIEMANN. 5o3

étrangères au problème. En les laissant de côté, il reste pour le problème proposé un nombre de solutions égal à

m(3/ii — 8)— 6 — ^ — ^ — 1 — w, c'est-à-dire six.

Le polynôme P()^) est donc du sixième degré.

VI. — Du genre des courbes algébriques d'après "Weierstrass; aperçu sur sa théorie.

21. J'ai fait allusion (§3 de ce Chapitre) à la manière dont Weierslrass introduit le genre dans la théorie des courbes algébriques. Voici la méthode qu'il suit pour arriver à cette notion capitale {*) : soit

Péquation de la courbe irréductible envisagée et qui a des singularités quelconques, et posons

/(^, y) =/o(^Xr"-H/i(ar)j^«-»H-. . .H-/„(x),

OÙ les //(a?) sont des polynômes en œ au plus de degré m.

Désignons par [x' ^ y') un point pris arbitrairement sur la courbe, et soient de plus

m — I constantes arbitrairement choisies. Nous formons la fonction du point analytique {x^y)

Il est facile de trouver pour quels points de la courbe elle devient infinie. Tout d'abord elle reste certainement finie pour :r = oo. Remarquons que l'on peut écrire

(^) K. Weierstrass, Mathematische Werke (vierter Band, zweiles Kapitcl).

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5o4 CHAPITRE XV.

R deviendra donc infinie pour x:=x'y y = j^, mais restera finie aux n — I autres points de rencontre de la courbe avec la droite x = a?'. De plus le résidu de R pour le pôle simple (^',^) sera, on le voit de suile,

ày-'

puisque, pour y =^ et x=^x', l'expression (21) se réduit

La fonction R a d'autres pôles que a: = a?', y=,y\ elle a

encore, comme pôles simples, les points en nombre

qui sont à l'intersection de la courbe avec les droites x = a', x-=aP^ . . ., J7 = af'»"'*^

Désignons ces / points par A,, A2, . . ., A/ et disons, une fois pour toutes, qu'il ne s'agira dans la suite que de fonctions ajant des pôles simples.

Supposons qu'il existe une fonction rationnelle du point (x,^), ayant seulement comme pôles les points A ou quelques-uns d'entre eux. Soit, par exemple, une fonction ayant comme pôle A| (et quelques-uns des autres). On pourra retrancher cette fonction multipliée par une constante convenable de R, de manière à faire disparaître le pôle A|. Supposons alors qu'il existe une fonction rationnelle ayant seulement pour pôles les points

Aï, Aj, ..., A/

ou quelques-uns d'entre eux. En opérant de même, on fera disparaître un de ces pôles, et ainsi de suite tant que l'opération sera possible. Finalement, nous obtiendrons une fonction de (^,y)

devenant infinie en {x'^y) et en un certain nombre p de nos points A que nous pouvons désigner par

Bi, Bi, ..., B

De plus, et c'est là le point capital, puisque par hypothèse l'opération précédemment indiquée ne peut alors se continuer, il

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n'existe pas de fonction rationnelle de {x^y) devenant seulement infinie aux points B ou pour quelques-uns d'entre eux.

22. Le nombre p que nous venons d'obtenir se présente dans des circonstances particulières, puisque les points B ne sont pas nécessairement indépendants les uns des aulres. Supposons maintenant qu'il existe une fonction rationnelle

devenant seulement infinie en (or', y) et en d points

que nous appellerons C|, C2, .•., C(y (ils sont d'ailleurs choisis arbitrairement et sont distincts des points B), tandis quUl n'existe pas de fonctions rationnelles de (Xj y) devenant seulement infinies aux points C. Nous voulons montrer que <r =: p.

On peut supposer, après une multiplication convenable, que ^ a le même résidu que F en (j/, y) ; alors la dilTérence

ne devient plus infinie en (x-^y). Envisageons la fonction

F(^,r; ci,û?,).

Elle devient infinie en (C{, dt) et nous pouvons par suite disposer de la constante Yi de manière que

*(^,r; ^\y') — ^(i^{xyyi ci,rfi)

ne soit plus infinie en (C|, r/|). En continuant ainsi, on déterminera les constantes ^o Y^j • • • » y^ de manière que l'expression

(2-i) \ *(^»rî x\y) — ^{x,y\ ^',y) — YiF(ar,jK; Ciydi)

( — TîP(^»^; c„c?j)— ... — Y(xF(a?, j^; c^,d^)

ne soit infinie ni en {x',y)^ ni en d, C2, ..., C(y. Mais alors l'expression (22) ne pourrait être infinie qu'en B|, B2, ..., Bp, ce qui est impossible. Elle se réduira donc à une constante.

Dans ces conditions, les points B ne seront pas des pôles pour la fonction (22); or, désignons par

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5o6 CHAPITRE XY.

les résidus respectifs de la fonction ¥{x^y; x\y^ par rapport à B,, Ba, ..., Bp; ce sont des fonctions rationnelles de {x^y). On aura' les relations, qui expriment que les B ne sont pas pôles ^de (22):

>^î^^'i y) -t- Ti>^îic,, rfi) -h. . .-h Y<,Xs(Cff, rfff) = o, • •••• .....j

\(^'j y') H- Ti>^p(ci, rfi ) -f-. . .-h Y(TXp(c<x, d^) = o.

23. Si Ton a o* < p, on ne peut satisfaire par des constantes y à ces relations, si les points G sont arbitraires, car on déduit de ces équations une ou plusieurs relations entre (C|, d^). ..(c^j, rf<y) et (^', y). Il est donc impossible que o* soit inférieur à p.

Si Von a a-=p, les équations précédentes déterminent les y, car le déterminant de ces lettres n'est pas nul, les points (c, d) étant arbitrairement choisis.

// reste à examiner V hypothèse a->p. Prenons dans ce cas, a priori, Texpression (22) avec les indéterminées y. En assujettissant ces lettres aux relations (28), nous écrivons que l'expression (22) n'a pas les points B pour pôles. Elle n'a pas non plus le pôle {x\y)^ et par suite n'a que les pôles G. Or dans les équations (23), puisque o- > p et que les (c, d) sont arbitraires sur la courbe, un ou plusieurs y restent arbitraires, les autres s'en déduisant. Supposons, par exemple, que yi reste arbitraire; on peut le choisir de manière que l'expression (22) ait en (C|, rf|) un pôle avec un résidu déterminé dij[férent de zéro. Dans ces conditions l'expression (22) n'aurait que les pôles G, et d'autre part elle ne se réduirait pas à une constante, puisqu'elle aurait efTectivcment le pôle G| ; nous arrivons donc à une contradiction.

Par suite, il est établi que <7 = p. Ge nombre p est tel qu'il n'existe pas de fonction rationnelle ayant seulement p pôles simples arbitraires, tandis qu'il existe une fonction rationnelle ayant seulement p -I- I pôles simples arbitraires. G'est ce que Weierstrass appelle le rang d'une courbe algébrique. Il est évidemment invariant d'après sa définition même; comme nous l'avons vu (§ 3), c'est le genre p de Riemann.

24. Nous ne pouvons songer à suivre Weierstrass dans le déve-

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loppement de sa théorie. Un élément essentiel de celle-ci est la fonction rationnelle de x,y^ xf et y, qu'il appelle

Considérée comme fonction de x\ y*^ elle devient infinie du premier ordre aux p + i points

(ai, 6,), («1,^0, ..., («p, *p), (^',y)

et s'annule au point («o, 60) > pour x^=x'^ y =y' son résidu est égal à — I . Les conditions précédentes déterminent manifestement la fonction, et cela d'une manière complète. Weierstrass la détermine par un calcul régulier et sans rien supposer connu de la théorie (comme nous l'avons fait au § 3). Prenons le pôle (a», 6a)î on peut développer dans le voisinage de «« la fonction sous la forme

H(x, y; x-, y') = Yl{x', y)»jé^^ + 2 "'"(^'' •>'')«(^ " ''«)'•

Les fonctions rationnelles de x' et y'

H(:r',y)a et H(i)(^',y)a (a = i, 2, . . ., p)

jouent dans la théorie de Weierstrass un rôle très important. Un théorème fondamental est qu'entre les

n'existe pas de relation homogène et linéaire à coefficients constants (c'est-à-dire indépendants de x' et y). On établit ensuite que les p intégrales

llix,y)adx (a = 1,2, ...,p)

sont les p intégrales de première espèce et que les p intégrales

*mKx,y)o^dx

sont de seconde espèce; l'ensemble de ces 2p intégrales forme un système d'intégrales distinctes de seconde espèce. On se trouve ainsi transporté par une voie tout élémentaire au cœur de la théorie des intégrales abéliennes.

5o8 CHAPITBE XYI.

THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS A L'EXISTENCE DES FONCTIONS SUR UNE SURFACE DE RIEMANN.