I. — Position de la question; théorèmes préliminaires

1. Nous avons jusquMci considéré une surface de Riemann définie en partant d'une certaine relation algébrique

Nous avons alors étudié sur la surface certaines fonctions, intégrales des diverses espèces ou fonctions uniformes.

Nous allons nous proposer maintenant des problèmes en quelque sorte inverses. On peut^concevoir une surface de Riemann définie a priori et d^une manière purement géométrique : ce seront m feuillets réunis les uns aux autres par un certain nombre de lignes de croisement et formant une surface connexe. II s'agit d'établir qu'à une telle surface correspond une classe de courbes algébriques et de démontrer a /?r/o// l'existence de ces fonctions dont nous parlions plus haut. Nous rentrerons ainsi dans la pensée profonde de Riemann, dont nous nous sommes écarté dans les Chapitres précédents en faisant l'étude des intégrales de différentielles algébriques relatives à une courbe. Les études doivent, d'ailleurs, évidemment être faites Tune et l'autre; jusqu'ici nous sommes parti de la courbe ou de la relation algébrique, nous prenons maintenant pour point de départ le concept de la surface riemannienne à m feuillets.

Malheureusement la méthode si simple de Riemann pour établir les théorèmes généraux d'existence ne présente pas la rigueur

THÉORÈMES GÉN6RAUX SLR UNE SURFACE DE RIEMANN. 5o9

qu'on exige aujourd'hui dans la théorie des fonctions. Elle repose sur la considération du minimum de certaines intégrales tout à fait analogues à celles que nous avons déjà étudiées dans le problème de Dirichlet (p. 87) et on lui a adressé les mêmes objections. 11 a donc fallu chercher dans une autre voie : M. Neumann et M. Schwarz y sont parvenus chacun de son côté. La méthode de M. Neumann est exposée dans son grand Ouvrage sur la théorie des fonctions abéliennes (*); j'y renverrai le lecteur. M. Schwarz, à la suite de ses recherches sur le procédé alterné et le problème de Dirichlet, ajoute que l'on peut par ce procédé arriver aux théorèmes généraux d'existence. Dans une lettre à M. Klein, que nous aurons à citer dans un moment, il revient rapidement sur la question. On peut avec ces données restituer complètement la méthode de M. Schwarz, et je ne crois pas dan* les pages qui suivent m'écarter de la pensée de l'illustre géomètre.

2. Nous allons avoir à compléter l'étude des conditions d'existence d'une fonction harmonique. Quelques théorèmes préliminaires nous seront indispensables. Nous avons déjà exposé (p. 81) le procédé alterné; il va jouer dans la suite un rôle capital. Nous l'avons, en particulier, appliqué dans le cas d'une aire limitée par deux contours C et C (p. 86) et nous généraliserons d'abord la recherche faite à cet endroit.

Reprenons donc, avec M. Schwarz (-) , Taire limitée par les deux contours G et C. Traçons la ligne mn joignant un point de C à un point de C, et donnons-nous sur chacune des deux courbes une succession de valeurs que nous supposerons, en général, continue (il pourrait y avoir des points en nombre fini pour lesquels il y aurait un saut brusque d'une valeur à une autre).

Nous traçons une courbe m/i joignant un point de Cà un point de C {fig* 55); désignons par mn'^ le bord droit de celte coupure et par mnr son bord gauche. Nous allons chercher à déterminer une fonction harmonique w, continue dans l'aire limitée parC, C

(*) Neumann, Vorlesungen ùber Rlenia:i?i s Théorie der Abelschen Intégrale (2"Aun.; i88i).

(*) ScDWARz, Ainzug aus eine/n Brie/e an Herrn F , Klein {Œuvres complètes, t. II, p. 3o3).

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et mrij prenant des valeurs données sur C et C, et pouvant se prolonger analytiquement des deux côtés de ntrij de telle sorte que le prolongement analytique de w~ soit égal à

h étant une constante donnée, en représentant par u" et W^ les valeurs de la fonction dans le voisinage de la coupure à gauche et à droite.

Nous appellerons A Taire limitée par G, G', /n/i+, m/i"; traçant alors une seconde coupure /7^, appelcvnsB Taire limitée par G, G',

Fig. 55.

pq'^^ pq". Nous allons d'abord fofmer une première fonction harmonique ^1, définie dans Taire A, prenant les valeurs données sur G et G', puis des valeurs arbitrairement choisies sur mn" et les mêmes valeurs augmentées de h sur mn"*". La fonction </« prendra certaines valeurs sur /7^. Nous formons alors une fonction harmo> nique v^ déterminée dans Taire B, prenant sur pq"^ les valeurs de «I et sur pq^ les mêmes valeurs diminuées de A; de plus, r, prend sur les arcs a et ^ de G et G' les valeurs de Ui diminuées de h, et sur le reste des courbes G et G' les mêmes valeurs que u^ : la fonction v^ est ainsi complètement déterminée. On va continuer ainsi indéfiniment : la fonction U2 sera la fonction harmonique déterminée dans A prenant sur mn~ les valeurs de \\ et sur mrf^ les mêmes valeurs augmentées de A, et égale à U{ sur G et G'. On formera ^2 en partant de u^, comme on a formé Pf en partant de Ui, et ainsi de suite. Les fonctions Un et ç„ ont respectivement deux limites u et v, comme nous Tétablirons sans peine. Or on a

Un=Vn-i (sur mn-).

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THÉORÈMES GÉXËRAUX SUR UNE SURPAGE DE RIEXAXN. 5l I

D'ailleurs tous les u et i^ ont même valeur sur les arcs G — a et C — p. Il en résulte que

sur le contour formé par ces deux arcs et m/i", pq^] il en est donc lie même à l'intérieur de ce contour. Pareillement, on a

Vn=^Un—h (sur pq-)j Çf^^ = Un — h (sur mn-^).

On a donc, dans l'aire limitée par a, p, m/i"*", pq~^

Or la fonction ç n'a pas mn pour coupure; nous allons donc pouvoir, avec les résultats précédents, étudier immédiatement le prolongement analytique de u quand on traverse de gauche à droite la coupure mn. Puisque, à droite de celle-ci^ on a

tandis qu'à gauche

le prolongement analytique de u~ sera donc égal à w"*" — A, comme nous l'avons dit dans l'énoncé. Il est clair que semblablement le prolongement analytique de w*" est égal à w~-|- A. La fonction u prend sur C et C^ les valeurs données; il est clair que, si l'on traverse la coupure mn, les valeurs de u sur ces deux courbes augmenteront ou diminueront de A, suivant le sens dans lequel la coupure aura été traversée (*).

3. Nous avons admis l'existence de limites pour u» et i^/j. La démonstration est la même qu'au § 2 du Chapitre III, et il suffira de faire ressortir brièvement l'analogie entre les deux cas. Nous pouvons dresser le Tableau

/ Ui Ut ... Un ...

/ V^ Vt ... Vn ...

(*) Si la succession donnée des valeurs sur C et C admet la période A, on pourra regarder la fonction comme parfaitement déterminée en m et n sur le bord droit et sur le bord gaucbe de la coupure. Dans le cas contraire, la fonction n'aura pas, à proprement parier, de valeurs en ces points.

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5ia GHAPITItE XYI.

qui rappelle que «,< et i^„ prennent les mêmes valeurs sur pq^^ tandis que Un et r„i prennent les mêmes valeurs sur mn~. Tous les u prennent les mêmes valeurs sur les arcs C et C, et il en est de même pour les <^, ces valeurs n'étant d'ailleurs les mêmes pour les u et les v que sur les arcs C — a et C — p. Remarquons maintenant que

«3— 1*2=1?,— p, (sur m/i-).

Or ^2 — ^'i est nulle sur G et C, et l'on a

r,— p,= M,— Ml {suvpq^).

On en conclut de suite, en raisonnant comme à la page 84^

I "3— Wi i <q^g (sur m/i-),

en désignant par g le maximum de | u^ — Ux | sur mitr\ pour la définition du nombre q^^ii on se reportera au Chapitre III et particulièrement à la page 87. On a, d'une manière générale,

I Un— Un^i I < ^«t«-«^ (sur m/i"),

et la convergence des u,i vers une limite s'en déduit immédiatement; on raisonne de même pour les r„.

4. Les considérations précédentes s'étendent d'elles-mêmes. Si, au lieu d'une aire limitée par deuK contours, nous avons une aire limitée par une courbe extérieure C et par/? courbes intérieures C|, C2, ..., C;,, nous tracerons /? coupures m|/i|, m2/i2, ..., niptipy joignant G à Gj, G2, • .., G^,. On pourra former une fonction harmonique continue dans l'aire limitée par les C, les m/i+ et les mn~^, prenant des valeurs données sur les G et pouvant se prolonger analj^tiquemenlau delà de /7Z|/i/ (/= i, 2, ... ,/?), de telle sorte que le prolongement analytique de u~ soit égal à

hi étant une constante donnée.

Il n'est pas besoin d'insister sur ce cas général; la question étant traitée pour le cas de deux contours, on traitera le cas de trois contours en s'appuyant sur le cas précédent, c'est-à-dire en

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THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNB SURFAGR DB RIEMANN. 5l3

prenant comme fonctions successives u et v des fonctions ayant la périodicité donnée par une des courbes intérieures. Aucune difficulté ne pourra provenir de ce que les uelv ont déjà des périodes, car la différence de deux fonctions u ou de deux fonctions i^, sur laquelle porte seulement le raisonnement, n'aura plus de période : cette remarque évidente fait le succès de la méthode et permet de l'étendre de proche en proche de façon à traiter, comme nous venons de l'énoncer, le cas général d'une aire limitée par/^ + i contours (*). Un cas particulier très important est celui où tous les h seraient nuls, et où, par suite, la fonction est uniforme dans l'aire après la suppression des coupures.

5. Rappelons encore, pour terminer ces préliminaires, une proposition fondamentale relative aux fonctions harmoniques. Pour une telle fonction, la valeur au centre d'une circonférence est égale à la moyenne des valeurs sur la circonférence, ce qui s'exprime en prenant le centre comme origine des coordonnées polaires r et cp et désignant la fonction par {/(r, cp), au moyen de l'égalité

I /•*'' a(o)=— ^ a(r,o)rf9,

^^(o) désignant la valeur au centre.

Nous aurons encore besoin d'avoir une limite de l'expression

On peut trouver diverses limites de l'expression précédente. La

(^) On pourrait traiter bien plus simplement la question précédente, comme l'a fait remarquer M. Jules Riemann dans sa Thèse déjà citée (p. 47)* Si nous désignons par (a,-, a'^) un point situé à l'intérieur du contour C^ {i = i, a, ..., p)^ la fonction harmonique

jouit évidemment de la propriété cherchée, et, par suite, la diiïércnce u — U n'aura plus de périodes. Le problème se ramène donc au cas où lous les h^ sont nuls, c'est-à-dire au problème de Dirichlet sous sa forme classique. Nous avons dû cependant exposer la méthode qu'on a lue dans le texte, car nous nous trouverons bientôt dans des circonstances où nous ne pourrons pas faire usage de la remarque qui précède et où nous devrons recourir au procédé alterné. P: — II. 33

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5l4 CBAPITRE XVI.

suivante, quoique peu approchée, dous suffira : c^est celle que nous avons donnée (p. 17). On a

en désignant par g la valeur absolue maxima de la fonction sur la circonférence de rayon R.

II. — Existence des fonctions harmoniques sur une surface de Riemann ouverte.

6. Nous allons d'abord considérer une surface de Riemann ouverte : voici ce que nous entendons par là. On tracera sur un des feuillets une courbe fermée y qu'on prendra généralement très petite. La surface de Riemann ouverte est la surface dont on a enlevé l'aire limitée par y; on peut dire de la surface ouverte qu'elle a un hord y.

Nous traçons sur la surface de Riemann les rétroseclions (Ga, Da). Ces rétroseclions limitent avec y une aire T. Nous allons d'abord nous proposer de trouver une fonction harmonique bien déterminée et continue sur T, et prenant sur y et sur les deux bords des rétrosections des valeurs données.

Il importe de prévenir tout de suite une première difficulté relative aux points de ramification. Désignons par z la variable complexe sur la surface de Riemann, et soit a un point de ramification. En posant

nous transformons le voisinage du point de ramification a sur la surface de Riemann dans le voisinage du point ^'=0 sur le plan simple z' [nous avons déjà fait, d'ailleurs (p. 4^7), cette Iransformation]. En posant

z =^ X -h ij^ et z'=ix'-hiy, l'équation

se transforme en

dx'*

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THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR U.NB SURFACE DE RIKMANM. 5l5

et nous sommes ramené alors à une aire siluée sur un plan simple (*).

Quant au point à l'Infini sur chacun des feuillets, on fera pour lui la transformation habituelle

et il n'y a de ce côté aucune difficulté.

Revenons au problème proposé. Nous pouvons considérer l'aire T comme limitée par p + i contours, à savoir y et les p ré- Irosections (C, D). D'après le § 4, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour une telle aire quand on peut le résoudre pour cette aire rendue simplement connexe par y? coupures; on prendra ici pour ces coupures des lignes, ne se coupant pas, joignant un point de chaque rétrosection à un point de y (celui-ci joue ici le rôle de contour extérieur C du § 4, et tous les h sont nuls) (^). Or, pour l'aire simplement connexe que nous venons de définir, il n'y a aucune difficulté. On décomposera, comme dans la méthode de Schwarz pour la solution du pioblème ordinaire de Dirichlet (p. 3i8), Faire en un nombre limité d'aires partielles empiétant les unes sur les autres de manière à pouvoir appliquer le procédé alterné. Cette décomposition est indispensable, à cause des points de ramification; on s'arrangera de manière qu'un certain nombre des aires partielles contiennent chacune un point de ramification, et l'on pourra les supposer assez petites pour faire la transformation indiquée plus haut.

7. Abordons maintenant le problème fondamental. Nous voulons former une fonction harmonique bien déterminée et continue dans Vaire ï, prenant sur y des valeurs données et ad-

(*) Il faut remarquer seulement que la fonclion u continue, ainsi que ses dérivées dans le plan simple (a?', y') autour de x' = y' = o, n'aura pas ses dérivées continues pour le point d'affixe a quand on reviendra à la surface de Hiemann.

Les dérivées — et -r— deviendront, en général, infinies de l'ordre de — -i en dédx dy " y/;.

signant par /' lu distance de {x^ y) au point d'affixe a.

(') C'est pour ce point du raisonnement qu'il est indispensable que la surface

soit ouverte.

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5x6 CHAPITRE XVI.

mettant les périodicités c^ et dh relativement à Ca et D^i (A = 1 , 2, . . ., /?). Nous entendons par là qu'après avoir marqué sur les rétrosecllons G et D un bord positif et un bord négatif (conformément, par exemple, aux conventions faites au § 12 du Chapitre XIV), le prolongement analytique de la fonction, considérée du côté négatif d'une coupure C^, coïncidera avec la fonction, considérée du côté positif, à — Ch près, ce que nous exprimons, comme plus haut (§ 2), par

et pareillement pour toutes les autres parties des rétrosections.

Donnons d'abord la solution, dans l'hypothèse où /? = i. Suivant notre habitude, faisons dans l'espace le schéma de la surface de Biemann correspondante : ce sera un tore, sur lequel nous traçons un parallèle G et un méridien D (^g. 56), et nous dési-

gnerons par c et d les périodes qui doivent leur correspondre; iSgurons aussi la courbe y rendant la surface ouverte.

Nous allons, en premier lieu, former une fonction harmonique prenant sur les deux bords de G des valeurs données, ainsi que sur y, et admettant la périodicité d par rapport à D. Pour éviter toute difficulté relative aux points (géométriquement confondus) m et n des deux côtés de G, nous supposerons que les valeurs données sur les deux bords de G aient aussi d pour période (*). Pour résoudre ce premier problème, traçons une coupure auxiliaire D' et raisonnons absolument comme au § 4, en partant d'une fonction harmonique prenant sur les deux bords de G et sur y les valeurs données, et sur les deux bords deD des valeurs arbitraires

( » ) Voir la note du § 2.

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THÉORÈMES GÂNÉBAUX SUR UNE SURFACE DE RIEHANN. 5l7

d*iin côté el les mêmes valeurs augmentées de h de l'autre côlé (D et D' remplacent les coupures mn et pq du paragraphe cité). JLa fonction Us prend certaines valeurs sur D'"**; nous formons alors une fonction (^, égale à u^ sur D'+ ainsi que sur les portions des deux bords de C comprises entre D'"*" et D~ et enfin sur y, tandis qu'elle est égale à i/, — d sur D'~, et sur les portions de C comprises entre D+ et D'~. On formera de la sorte une suite indéfinie de fonctions «/, r, et la limite des fonctions u résout le problème posé; il me paraît inutile d'insister, l'analogie étant complèle avec le cas traité au § 4.

Ce premier problème résolu, nous considérons maintenant, outre C et D, un second parallèle C {/ig- 57). Ce sont mainte-

Fig. 57.

nant C et C qui vont jouer le rôle de mn et de pq^ et toutes les fonctions harmoniques que l'on va considérer auront la périodicité rfpar rapport à D et prendront les valeurs données sur y. On partira d'une fonction u^ prenant des valeurs arbitraires sur C" (sauf la périodicité d correspondant au passage par D) et les mêmes valeurs augmentées de c sur C"^; cette fonction prendra sur C'"*" certaines valeurs. On formera la fonction ç'j, prenant ces valeurs sur C'"** et les mêmes valeurs diminuées de c sur C'~, el l'on continuera ainsi indéfiniment, dirigeant toujours opérations el raisonnements comme au § 4. La limite des u sera la fonction cherchée; elle prendra sur y les valeurs données, sera continue sur toute la surface de Riemann; et admettra les périodicités données c et d relativement àC et àH.

8. Après avoir traité le cas de /> = i, il n'y a aucune difficulté à traiter le cas général. La marche est la même que pour passer

5l8 CHAPITRE XVI.

d'une aire limitée par deux conlours à une aire limitée par p-\-i conronrs. Soient, par exemple, p = 2 el les deux rétrosections (C|, D|), (Ca, Dj) el le conlour y. En nous donnant des valeurs sur les deux bords de C| el D| ainsi que sur y, nous pouvons d'abord, d'après ce qui précède, déterminer une fonction harmonique prenant sur Ci et D| ainsi que sur y les valeurs données, et ajant les périodicités c^ et d^ relativement à Co et D^. N'employant alors comme fonctions approchées u et v que des fonctions ayant cette périodicité, nous obtiendrons, par un nouvel emploi du procédé alterné, relativement à d et D|, la fonction cherchée.

Le raisonnement est général, et nous avons ainsi complètement résolu le problème proposé pour une surface ouverte. Nous avons formé une fonction harmonique continue sur la surface de Riemann limitée par y et les p rétrosections (C, D); cette /onction prend sur y des valeurs données et admet des périodicités données relativement aux C ^^ D.

III. — Existence des fonctions harmoniques sur la surface de Riemann fermée.

9. Le problème que nous venons de traiter dans la Section précédente n'est qu'un problème préliminaire. Nous avons maintenant à étudier le cas de la surface fermée, et nous chercherons d'abord à démontrer l'existence d'une fonction harmonique bien déterminée et continue sur la surface de Riemann considérée avec les rétrosections C et D, et ayant des périodicités données c, et dh correspondant aux 2.p coupures Ca et D>i (A = i, 2, .. .,/?). Nous entendons toujours de la même manière le mot périodicité. Nous répétons que la fonction pourra être prolongée analyiiquement au delà des C et D, et cela de telle manière qu'en désignant par u"^ et u" la valeur de la fonction à droite et à gauche dans le voisinage d'une coupure, soit G>i, on ait, comme prolongement

analytique de m"^,

u- -h en,

et de même pour toutes les autres coupures. Dans ces conditions, la fonction c/, qui reste toujours Gnie, aura sur la surface de Rie-

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mann, débarrassée des rétrosectîons, une infinité de déterminations qui rentreront dans le t^pe

les nifi et tik étant des entiers positifs ou négatifs, et u désignant une de ses déterminations.

10. Nous allons encore employer le procédé alterné, mais dans des conditions différentes de celles où nous l'avons employé jusqu'ici (*). Prenons sur un des feuillets deux cercles concentriques r et Y de rayon R et r. Nous allons former une succession de fonctions harmoniques u et {>. Les fonctions v seront définies et bien déterminées sur la portion de la surface de Riemann, munie des rétrosections G et D, extérieure à y, et elles admettront les périodicités données à ces rétrosections; quant aux fonctions w, elles seront déterminées à l'intérieur du cercle F.

Ceci posé, donnons sur F une succession de valeurs arbitraires. Nous formerons une fonction u^ prenant ces valeurs sur F; cette fonction prendra certaines valeurs sur y. On formera une fonction ç^ prenant les mêmes valeurs que U\ sur y (nous savons, d'après la Section précédente, former une telle fonction). Nous considérerons ensuite la fonction u^ prenant sur F les mêmes valeurs que v^^ et Ton continuera ainsi indéfiniment. Nous avons donc deux suites de fonctions

\ /f a,, Ut, ..., Un, ...,

I / Vu Vi, ..., Vn, ....

Si l'on admet que Un et Vn ont des limites u et ç, il est clair que ces deux fonctions coïncident dans la couronne annulaire comprise entre y et F, puisqu'on a

Un=^9n-\ (sur F),

Un=Va (sur y),

(*) Les passages des Mémoires de M. Schwarz, qui se rapportent à la question qui nous occupe actuellement, sont aux pages i68, 189 et 3o6 du Tome II (Gesammelte mathematische Abhandlungen, von H,- A. Schwarz).

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5aO CHAPITRE XVI.

d'où résulte Tégalité a = r sur F et sur y et, par suite, dans Taire limilée par ces deux courbes. Ainsi, la fonction v pourra se prolonger analy tiquement à l'intérieur du cercle y, et ce prolongement analytique n'aura aucune singularité à l'intérieur de ce cercle. Nous obtenons donc bien la fonction cherchée.

H. Nous avons à démontrer que Un et p« ont des limites. La démonstration sera moins simple que dans les cas analogues rencontrés jusqu'ici, et nous devons d'abord faire plusieurs remarques. Montrons, en premier lieu, que les moyennes des valeurs de toutes les fonctions Un et i^n sur les circonférences y et F sont les mêmes. Il est d'abord bien clair que les valeurs moyennes de Mj sur F et de v^ sur y sont les mêmes, puisque W| = Vi sur y. Prenons alors une circonférence G de rayon p comprise entre F et y, et considérons la fonction Vi à l'extérieur de G; si nous traçons le contour K sur la surface de Riemann, nous aurons, par la formule de Green,

f -j— ds -^ I -j- ds^ = o.

K ^'^ Jg ^^

Or la première intégrale est nulle; les éléments s'y détruisent, en effet, deux à deux, puisque les dérivées de v^ ont une périodicité nulle relativement aux rétrosections. Il reste donc

ce qui peut s'écrire, la ligne G étant un cercle,

et, par suite, l'intégrale

est indépendante de p. Ceci veut bien dire que la valeur moyenne de la fonction V\ sur la circonférence y est égale à celle de u^ sur la circonférence F.

Or déjà la fnoyenne de v^ sur y est, comme nous l'avons dît.

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égale à celle de f^rsur F; on a donc bien

J^in pin

i Wi(R,Q>)â?0= / M2(R,ç)t/9,

et ainsi de suite. Tous les u ont même moyenne sur F et ont, par suite, même valeur au centre O de cette circonférence.

Considérons, en second lieu, deux fonctions harmoniques U et V continues dans F et prenant sur cetle circonférence des valeurs ayant même moyenne. Il en résulte évidemment que ces fonctions ont même valeur au centre; ceci va nous permettre de trouver une limite de | U^ — V^l pour un point A quelconque du cercle y- Reportons-nous à l'inégalité rappelée au § o de ce Chapitre. Appliquons-la à la fonction U — V qui est nulle ati centre. En appelant M le maximum de | U — V | sur la circonférence F, on aura

Or supposons -^ assez petit pour que l'on ait

4Rr

q étant un nombre fixe inférieur à Funité. Dans ces conditions, Finégalité précédente pourra s'écrire

|Ua-Va|<7M,

inégalité fondamentale entre les maxima de | U — V| sur les circonférences F et y; elle suppose essentiellement que les valeurs moyennes de U et V sur F soient les mêmes.

12. Nous pouvons aborder maintenant la démonstration de l'existence de la limite pour Un et ç^;,. Grâce aux remarques précédentes, nous nous trouvons dans les mêmes conditions que précédemment. On a

«3— Mj=p, — pj (sur r).

Or la fonction v^ — v^ est une fonction bien déterminée à l'extérieur de Y, sans périodicité (la périodicité des v disparaissant dans la soustraction) ; le maximum de \v^ — ^i | sur F est donc au

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522 CHAPITRE XYI.

plus égal au maximum de | r^ — Ci | sur y, i^^aîs vj— Pi=Mi— Ml (sur Y).

Le maximum de j Va — ^\ \ sur y est donc moindre que le produit par q du maximum de \u2 — Ui\ sur F. En combinant ces résultats, nous avons

maximum de | Wj— Wj | < ^.maximum de [ Wi — Ui \ (sur T).

L'existence d'une limite vers laquelle converge uniformément u,, sur r est alors évidente, et l'existence des limites u et v est établie. Le problème posé au § 9 est donc complètement résolu.

La fonction trouvée prend au point O, centre de F, une valeur égale à la moj^enne des valeurs initiales données au début sur F. La valeur de la fonction cherchée en O et les périodicités la déterminent d'ailleurs nécessairement d'une manière unique; car, dans le cas contraire, la difTérence de deux telles fonctions serait nulle en O et n'aurait pas de périodicité. Or nous savons qu'une fonction harmonique uniforme et continue sur la surface de Riemann tout entière se réduit nécessairement à une constante (Chap. XIII, §27).

Appelons /onc^/o/i harmonique de première espèce une fonction harmonique de la nature de celle que nous venons d'étudier, continue sur la surface de Riemann. Il existe 2p fonctions harmoniques de première espèce linéairement indépendantes. On peut, en effet, se donner arbitrairement les 2p périodes de ces fonctions, et il est clair qu'entre a/? fonctions à périodes arbitraires ne peut exister de relation linéaire à coefficients constants. Réciproquement, toute autre fonction harmonique de première espèce sera une combinaison linéaire de ces 2/? fonctions; il suffit de choisir les coefficients de manière que la combinaison ait les mêmes périodes que la fonction proposée.

13. Il est facile de traiter le cas où la fonction harmonique aurait une singularité de la nature suivante :

Proposons-nous de rechercher une fonction harmonique admettant des périodicités données et continue sur la surface, sauf au point O, dans le voisinage duquel elle sera de la forme (le point O

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étant pris pour origine des coordonnées polaires r et 6),

cosO ,,

U étant continue en O, et nécessairement harmonique (comme

cos6\

On va suivre la même marche que précédemment. La seule différence sera que les fonctions M|, . . ., w,,, au lieu d'être continues

dans le cercle F, deviendront infinies en O comme — — • On for-

mera donc une première fonction u^, prenant des valeurs données sur r et continue dans F, sauf au point O où elle devient infinie

comme — —; elle s'obtiendra tout de suile en posant

oosO 1/,=-= —j^ -^ IJ,

et en déterminant la fonction U« continue dans le cercle F tout

entier, et prenant sur sa circonférence les valeurs W| -j^-« Nous

formerons donc de la même manière nos deux suites

Hl, lU, ..., Uny ..., Vi, Vf, ..., Çn

Toutes les inégalités fondamentales subsistent, et les valeurs moyennes des fonctions sur v et sur F sont toutes égales à la valeur moyenne de la fonction initiale u^ sur F, puisque la valeur

moyenne de — '— est évidemment nulle.

Nous pouvons donc former une fonction harmonique devenant infinie en O comme

cosO

(au sens indiqué plus haut) et admettant des périodicités don-' nées. Cette fonction sera déterminée à une constante près variant avec la moyenne des valeurs initiales sur la circonférence F. Nous la dirons une fonction harmonique de seconde espèce.

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524 CHAPITRE XTI.