Nous pouvons aborder maintenant l'étude des fonctions

d'une variable complexe sur une surface de Riemann. A chaque

solution u de Téquation

Aa = o •

correspond, en effet, une fonction v déterminée par la formule

/*'*'' du , dM ,

et u + iV est une fonction analytique de j? -h îy.

A chaque fonction harmonique u de première espèce va correspondre une fonction v qui sera aussi de première espèce. Pour s'en assurer, il n'y a qu'à examiner les cas où (x^y) est en un point de ramlGcation ou à l'infini. Dans le premier cas, nous avons

dit (voir la note de la page 5i5) que 3- «t j- sont de Tordre

de — 9 r désignant la distance de (Xj y) au point de ramification :

V reste donc finie. Si le point {x^y) est à l'infini sur un des

feuillets, on fera le changement de variable xf -^ iy' =z r-.

u devient une fonction de (j?', y) régulière à l'origine, et la formule

/• ' '-' du , , du , , = I — , a y , dx

montre que v est finie pour x' = y = o.

Soient donc deux fonctions harmoniques associées u et v de première espèce; elles seront linéairement indépendantes. Si l'on avait, en effet, une relation, à coefficients constants a, 6, c, de la

forme

au -H 6p = r,

a et 6 n'étant pas nuls tous deux, on en déduirait

du , dv du , dv

dx dx dy dy

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ce qui est impossible à cause des relations

du dv du dv

dx ~~ dy dy dx

\o. Partons d'une première fonction w, de première espèce, et soit (^f la fonction associée. J'envisage une fonction harmonique u^ qui ne soit pas une combinaison linéaire de Us et V\, Soit v^ Tassociée de u^ ; montrons que les quatre fonctions

W|, Vu Uls Pj

sont linéairement indépendantes. Dans l'hypothèse contraire, on aurait une combinaison

(l) aiMl-*- ^lCl4-ajMi-f- ^jPj

qui se réduirait à une constante. Or cette expression est la partie réelle de la fonction analytique

( ax — ibi ) ( Ml H- «Vi ) -;- («j — ibt ) ( e^i -h ivt ).

Il s'ensuit que la combinaison

(2) — 6iMt-+-ai«'i--6,M2-Ha,t't

se réduit aussi à une constante. On en conclut que

(ai a, — 61 6t) Ml + ( bx ai — ai 6j)i'i -r- ( af 4- 6 J ) m,

est constant, et comme a2 et 62 ne peuvent être nuls à la fois (puisque autrement u^ et i^i ne seraient pas indépendants), il en résulterait que U2 est une combinaison linéaire de Ui et (^^ , ce qui est contre notre hypothèse.

On continuera de la même manière, en prenant une fonction u^ qui ne soit pas une combinaison linéaire de Ut . f'i , ^2 , v.2 ; en adjoignant à M3 son associée t^s? on aura six fonctions linéairement indépendantes. La démonstration se poursuit de proche en proche, et nous arriérons finalement à 7.p fonctions harmoniques de première espèce

Uu ^U "il ^U •••> "/'» *"/>»

deux à deux associées et linéairement indépendantes. Elles

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526 CaAPITRB XYI.

forment un système àe ^ p fonctions harmoniques de première espèce, avec lesquelles on peut former toutes les autres.

16. Portons maintenant notre attention sur les/? fonctions analytiques de a: + iy = z^

(3) w,-i-iV,, Ui-\-Wt, ..., Up-^ivp,

On peut les appeler des fondions analytiques de première espèce de la variable complexe z sur la surface de Riemann. Ces p fonctions sont linéairement indépendantes, car autrement les u et (* ne le seraient pas; elles sont continues sur toute la surface et admettent certaines périodicités au sens déjà tant de fois indiqué. D'autre part, il n^existe pas sur la surface de Riemann de fonction de ^, uniforme et continue dans le voisinage de chaque point et admettant des périodicités, qui ne se réduise à une combinaison linéaire de ces fonctions.

On peut répéter, sans y rien changer, à propos des fonctions (3), tout ce que nous avons dit des périodes des intégrales de première espèce (Chap. XIV), L'inégalité fondamentale provenant de la foE^mule de Green peut, en ell'et, être appliquée ici. On pourra notamment, avec les fonctions (3), former un système de fonctions normales.

17. Passons aux fonctions analytiques de seconde espèce. Nous partirons pour cela d'une fonction harmonique de seconde espèce (§ 13) devenant infinie en un point O, pris un moment pour origine des coordonnées, comme

cosô

qui est la partie réelle de -» en posant z = re^^, La fonction associée v deviendra infinie comme

et, par suite, u + iv se mettra dans le voisinage de ^ = o, sous

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la forme

P élant holomorphe. Donc z=:o est un pôle simple de a -h îV, le résidu élant un.

Nous formons donc ainsi une fonction u + iv de z a^^ant pour pôle le point O avec un pour résidu; celte fonction est continue pour tout autre point et elle admet des périodicités relativement aux rétrosections de la surface de Rieraann.

Parmi les fonctions analytiques de seconde espèce, il en est de particulièrement remarquables : ce sont celles qui n'ont pas de périodes. On peut obtenir une telle fonction en parlant d'un nombre suffisant k de fonctions de seconde espèce

Hi, Hj, .... Ha-

avec les pôles simples respectifs 0|, Oo, . . ., O^.

Formons la combinaison linéaire

A,H,-t-A,H,-f-...-t-A,.HA.

Si k est supérieur à 2/>, on pourra certainement annuler toutes les périodes, sans que les À soient tous nuls. La fonction ainsi obtenue ne se réduira d'ailleurs certainement pas à une constante, puisque, tous les A n'étant pas nuls, la fonction admet au moins un pôle. Nous aurons ainsi une fonction analytique U uni^ forme sur toute la surface de Riemann et n!ayant que des pôles,

18. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème fondamental de ce Chapitre :

A une surface de Riemann arbitrairement donnée correspond une classe de courbes algébriques,

k cet eflet, cherchons d'abord quelle sera la nature de la fonction U du paragraphe précédent. Si l'on considère le plan simple sur lequel sont placés les feuillets, nous voyons qu'à chaque valeur de Taffixe z sur ce plan correspondent m valeurs de la fonction U, à savoir les valeurs de la fonction U aux m

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528 CHAPITRE XTI.

points de la surface de Rîemann qui correspondent à la même valeur de z. Il est essentiel de remarquer que nous pouvons choisir U de telle manière que ces m valeurs soient distinctes pour une valeur arbitraire de z. En effet, les k pôles de U sont arbitraires (k étant suffisamment grand). L^équation U = oo a donc k racines qui sont k points arbitrairement choisis de la surface de Riemann et qu^on peut, par suite, supposer ne pas correspondre à la même valeur de z. L^équation U= A, qui a aussi k racines variant avec A d'une manière continue (Chap. XV, § 1), n'aura donc pas, en général, de racines correspondant à des points de la surface de Riemann ayant même z : ceci ne pourrait arriver que pour des valeurs particulières de A. Il en résulte que, z étant arbitraire, les m valeurs de U aux m points de la surface de Riemann, correspondant à celte valeur de 2, sont distinctes.

Ceci posé, cherchons quelle sera la nature de U considérée comme fonction de z sur le plan simple P. Cette fonction a m valeurs en chaque point; d'autre part, elle n'a que des pôles et des points critiques algébriques (correspondan^t aux points de ramification) : elle est donc une fonction algébrique de 2, et l'on a

/ étant un polynôme de degré m en U. A une valeur arbitraire de z correspondent, avons-nous dit, m valeurs distinctes de U. La relation précédente est irréductible, puisque les m valeurs peuvent s'échanger en passant d'un feuillet à l'autre de la surface de Riemann.

Nous pouvons donc regarder la courbe algébrique (4 ) comme correspondant à la surface à m feuillets donnée; à un point arbitraire de cette dernière correspond un seul point (U, z) de la courbe, et inversement, à un point arbitraire de la courbe correspond un seul point de la surface de Riemann. Nous avons donc atteint, dans cette question des existences, le but essentiel de notre recherche, qui était de montrer qu'à une surface donnée de Riemann on peut faire correspondre une relation algébrique, A la fonction U on peut évidemment substituer une fonction rationnelle quelconque de U et 5, soit

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Sauf pour des formes particulières de R, la fonclion V aura m valeurs différentes pour une valeur arbitraire de z, La fonction V a les mêmes points de ramification que la fonclion U; elle est ramifiée comme U, suivant l'expression de Riemann. Inversement, d'ailleurs, V pourra se mettre sous la forme d'une fonction rationnelle de U et àe z. On peut donc dire qu*il y a une classe de fonctions algébriques, ramifiées de la même manière, correspondant à une surface arbitrairement donnée de Riemann.

J'ajoute encore que deux surfaces de Riemann, S et S<, seront dites se correspondre point par point quand les deux relations algébriques

(S,) /i(Ui,^i) = o,

qu'on peut associer à chacune d'elles auront entre elles une cor* respondance biralionnelle. Nous dirons aussi que les surfaces qui se correspondent ainsi point par point forment une classe de surfaces.

19. La relation (4) est de degré m en U; quant à son degré en z^ il est égal à A*, puisqu'à une valeur arbitraire de U correspondent k valeurs de z. Nous avons donc une relation

de degré /w en U et de degré k en z. Riemann, comme nous l'avons déjà dit (p. 4^0)? suppose, dans sa théorie des fonctions algébriques, que les degrés du polynôme / ne sont pas les mêmes en U et z. Cette forme plus générale amène bien peu de modifications avec les hypothèses que nous avons faites dans les Chapitres précédents. Il n'est pas inutile, cependant, d'en dire un mot. En désignant toujours par cv le nombre des points de ramification de la fonction U de z, où Ton suppose encore que deux racines seulement se permutent, on aura nécessairement, comme

précédemment

relation purement géométrique. On admet, comme cela a lieu dans l'exemple qui nous occupe ici, que les points à l'infini sur • P. - II. 34

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53o CHAPITRE XTI.

chaque feuillet ne sont pas des points de ramification. L'élimination de U entre les équations

conduit à une équation A = o, de degré

en z^ puisque le discriminant d'une équation de degré m est du degré 2 (m — i) par rapport aux coefficients de cette équation, et que ces coefficients sont ici de degré k en z.

L'équation A= o admettra, comme racines simples, les w points de ramification; mais elle admettra aussi d'autres racines correspondant aux points multiples de la courbe qui ne sont pas, par hj^pothèse, des points de ramification. Ces dernières racines seront d'un degré pair de multiplicité; ainsi, par exemple, un point multiple d'ordres (à tangenles distinctes), donne, pour A = o, une racine d'ordre i{i — i). En désignant donc par ar le nombre des racines de A ne provenant pas des points de ramification, on aura

w -{-ir — 'i{m — \)k.

20. Je termine par une remarque générale relative aux surfaces de Riemann. Quand nous avons étudié ces surfaces au Chapitré XIII, nous avons pu supposer, conformément au théorème de Lùroth, que les m feuillets de la surface étaient liés à la manière d'une chaîne, le premier feuillet étant seulement lié au deuxième, le deuxième au troisième, et ainsi de suite. Nous sommes, dans ces conditions, arrivé à la formule générale {voir, en particulier, le n** 19 du Chapitre XIII)

Dans les théorèmes d'existence que nous venons d'établir, nous n'avons besoin de faire aucune hypothèse particulière sur la surface. Les points de ramification étant seulement toujours supposés simples, les feuillets peuvent être réunis les uns aux autres d'une manière quelconque par des lignes de croisement. Quelle est alors, daqs cecas, la signification du nombre/?? Nous pouvons

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y arriver de suite en recourant à la relation algébrique

qui correspond uniformément à la surface. En raisonnant sur la fonction U comme nous l'avons fait pour établir le théorème de Lûrolh, on pourra transformer la surface de Riemann en une autre où les feuillets seront liés à la manière d'une chaîne, ce qui revient à joindre autrement les points de ramification pour former les lignes de croisement. Dans cette transformation, le nombre des points de ramiGcation ne change pas, et nous avons toujours la même formule pour le nombre />, c'est-à-dire pour le nombre des trous de la surface dilatée dans Tespace.