V. — Modules d'une classe de courbes algébriques

21. Une des applications les plus intéressantes du théorème général d'existence des fonctions algébriques correspondant à une surface de Riemann est la recherche du nombre des modules des fonctions algéb.riques d'un genre donné p.

Commençons par une remarque préliminaire. Si Ton se donné dans le plan de la variable z les

points de ramification d'une surface de Riemann à m feuillets, on peut se demander quel sera le nombre des surfaces, ayant ce nombre de feuillets, qu'il sera possible de former. Nous voulons seulement faire observer que ce nombre sera fini ; la recherche de ce nombre sera une question de Géométrie de situation et d'Analyse combinatoire. La fonction qui le représente est sans doute une fonction compliquée de m et de p. M. Hurwitz, qui s'est occupé avec succès de* cette recherche, l'a déterminée pour les valeurs les plus simples de m (*); nous renverrons à son Mémoire, il nous suffit de savoir que ce nombre est fini.

22. Nous voulons chercher de combien de paramètres arbi- ( ' ) HuRWiTZ, Mathematische Annalen, Bd. 39.

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53^ CHAPITRE XYI.

iraires dépend essentiellement utie classe de surfaces de Riemann d'un genre donné/?. Par le mot essentiellement, nous entendons que toutes les surfaces de cette classe pourront être ramenées k l'une d'elles, qui se trouvera définie par certaines valeurs de ces paramètres, et (\\x' inversement à des valeurs arbitrairement données de ces paramètres correspondra seulement une classe ou un nombre limité de classes de surfaces. Ces paramètres ont été appelés par Riemann les modules. Ils jouissent évidemment d'un caractère d'invariance relativement aux transformations uniformes.

Nous ferons connaître successivement les deux méthodes employées par Riemann (*). Voici, en précisant seulement quelques détails, la première de ces méthodes*

Tout d'abord, étant donnée une surface de Riemann (a, z)j nous pouvons la transformer en une autre qui lui corresponde point par point, et où le nombre [x des feuillets soit supérieur à 2/? — 2 ; ceci est évident, puisqu'on peut prendre [x arbitrairement (pourvu qu'il soit supérieur à /> -|- i) en prenant pour nouvelle variable une fonction rationnelle de i^ et ^ ayant (ji pôles (p. 473).

Nous supposons donc que les surfaces de Riemann de genre py dont nous voulons étudier l'ensemble, ont [jl feuillets; [jl va rester fixe et est d'ailleurs un nombre quelconque supérieur à a/? — 2 (on verra dans un moment pourquoi nous faisons cette dernière hypothèse).

Le nombre des points de ramification de notre surface sera alors

W = 2(fX -H/? — l).

Nous pouvons nous donner arbitrairement ces points de ramification ; donc, le nombre des surfaces étant fini pour des positions données de ces points, nous pouvons dire que nous avons une

surface dépendant de

constantes arbitraires. Mais toutes ces surfaces ne sont pas distinctes : je veux dire qu'il y en a parmi elles qui se correspondent point par point; en désignant par (w, z) un point de la surface,

(») Voir, dans les Œuvres de Riemann, le § 12 de la Théorie des fonctions abétiennes.

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nous pouvons remplacer la variable z par une autre variable

R étant une fonction rationnelle ayant {/. pôles, de façon que u,' considérée comme fonction de ^i, soit une fonction à tx valeurs. De combien de constantes arbitraires dépendra R? D*abord ses ]x pôles peuvent être pris arbitrairement sur notre surface; ensuite^ d'après le théorème de Riemann-Roch, elle contiendra

constantes arbitraires. Nous n'avons pas à nous préoccuper ici du nombre ff, puisque nous avons supposé (jl > ap — 2. Par suite^ il y aura dans R

constantes arbitraires. On peut donc, en général, s'arranger de manière que 2 a — /> + i points de ramification aient des positions données que l'on regarderait comme numériques; il reste alors

2fX-i-2/? — 2 — (2|JL — /? -hl) = 3/? — 3

autres points de ramification arbitraires. N'ous pouvons donc dire que notre classe de surfaces de Riemann de genre p dépend de

constantes essentielles arbitraires; ce sont les modules de la surface. A chaque système de valeurs de ces modules correspondra seulement une classe ou un nombre limité de classes de courbes algébriques.

On a admis, dans ce qui précède, qu'on pouvait choisir les 2|i. — /?-+-! constantes arbitraires figurant dans R, de manière que, dans la surface transformée, 2[jl — /? + 1 points de ramification aient des positions données. Dans quel cas pourrait-il en être autrement ? Ceci ne pourra arriver que si une transformation

OÙ restent des arbitraires, conduit à des surfaces ayant les mêmes points de ramification. Or ces surfaces sont en nombre fini; il y en aura donc nécessairement parmi elles qui pourront se transformer uniformément en elles-mêmes à l'aide d'une trans-

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534 GBAPITRB XYI.

formation dépendant de ces arbitraires. Réciproquement, d'ailleurs, si la surface admet une telle transformation avec p paramètres arbitraires, le nombre des modules sera augmenté de p; en effet, le nombre des constantes Ggurant dans la fonction R considérée plus haut devra être diminué de p, puisque, parmi les 2 m — p H- I arbitraires entrant dans R, on peut considérer que p d'entre elles coiTCspondent seulement à la transformation de la surface en elle-même. On a donc alors à faire la différence

2([1 -4-/? — I) — (2fX — /; -h I — p),

ce qui conduit à 3/? — 3 4- p modules (* ). Cette formule générale s'applique alors, même aux cas de /> = o et /? = i . Quand /> > i , on a p = o, d'après le théorème de Schwarz, ce qui donne les 3/? — 3 modules de Riemann. Pour />= i, on a p= i, comme nous l'avons dit (Chap. XV, n** 10) en étudiant les transformations en elles-mêmes des courbes du genre «/i; il y a donc, dans ce cas, un seul module, comme nous le démontrerons d'ailleurs bien facilement d'une manière directe en étudiant, dans le Chapitre suivant, les courbes de genre un. EnGn, pour /> = o, nous avons vu (/oc. cit.) que p = 3; il n'y a pas, dans ce cas, de module, résultat évident a priori, puisque la surface de Riemann peut être ramenée alors au plan simple de Cauchy.

23. J'ai dit que Riemann avait donné une seconde méthode pour trouver le nombre des modules. Cette méthode est trop intéressante pour que nous la passions sous silence; elle va nous conduire au premier exemple de représentatiop conforme d'une surface de Riemann sur un polygone, représentation qui, dans les travaux récents de M. Poincaré et de M. Klein, joue un rôle si important. C'est au moyen d'une intégrale de première espèce que Riemann effectue cette représentation. Prenant une intégrale de première espèce, posons

"^'^'QJT, Y)d.r ~~fy

(*) M. Klein a, le premier, appelé l'attention sur cette formule. Voir le Chapitre III de son Ouvrage déjà cité : Ueber Hiemann's Théorie der aigebraischen FuncUonen.

THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFÀGR DB RfEMANN. 535

Quand le point (x^y) parcourt la surface sur laquelle on a tracé les coupures C et D, le point z décrit dans son plan un certain polygone, se recouvrant partiellement lui-même, et dont les côtés (correspondant aux deux bords de chaque coupure) se correspondent deux à deux, de telle sorte qu'on passe du premier au second par l'addition d'une période à z. Ce polygone se recouvrira partiellement lui-même, puisque, en regardante; comme fonction de 5, on a nécessairement pour cette variable 2p — 2 points de ramification qui correspondent aux 2/? — 2 racines de l'équation (en dehors des points multiples)

A chacune des/> rétrosections correspond un parallélogramme curviligne. On peut donc concevoir, à titre schématique, le polygone comme formé âe p parallélogrammes distincts dont les plans seraient superposés, le passage de l'un à l'autre ayant lieu au moyen de lignes de croisement se terminant aux (2/? — 2) points de ramification. Quant à la nature des côtés du polygone, elle est évidemment indéterminée, comme les rétrosections elles-mêmes, et l'on peut, si l'on veut, les supposer rectilignes. Inversement, si l'on a une telle surface polygonale, il résulte des théorèmes d'existence qu'on peut lui faire correspondre une classe de courbes algébriques. On peut, en effet, démontrer l'existence de fonctions harmoniques uniformes sur la surface polygonale multiple, qui prennent les mêmes valeurs aux points correspondants de deux côtés opposés et qui se comportent comme les fonctions étudiées au § 7, la périodicité étant nulle. Il suffit d'employer pour cela les mêmes méthodes qui nous ont permis d'établir l'existence des fonctions uniformes sur une surface de Riemann; nous nous arrêterons dans un moment sur le cas particulier le plus simple de p= i . Ce point étant établi, voyons de combien de constantes dépend la surface polygonale. La position du point de rencontre d'une ligne C et d'une ligne D dans chaque rélrosectiou est arbitraire sur la surface ; nous n'avons donc pas à compter comme constantes arbitraires les paramètres définissant les positions d'un sommet de chaque parallélogramme. Les arbitraires, définissant réellement l'aire polygonale qui nous occupe, sont les ay? périodes

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elles positions des points de ramification, ce qui nous donne

arbitraires. Mais Pintëgrale de première espèce dont on est parti est arbitraire. On ^

J —Jy =^V Ty -^••-^^^; J, --^^^'

On peut choisir les constantes C de manière que/? des périodes

aient des valeurs numériques données, et, si/7>»i, on peut, de

plus, choisir C*p^\ de manière qu'un des points de ramification ait

une position donnée. Il reste donc alors un nombre de constantes

essentielles égal à

ce sont les Zp — 3 modules.

Quand /> = !, il liy a pas de points de ramification; on peut choisir la constante C| de manière qu'une des périodes ait une valeur donnée. L'autre période sera le seul arbitraire restant. On aura, dans ce cas, un module (*).

24. Le point essentiel, dans la démonstration précédente, est le fait de l'existence d'une classe de fonctions algébriques correspondant à la surface polygonale multiple. Il suffira d*examinerle cas de /> = i; la question une fois traitée dans ce cas, on passera au cas général, comme on Ta fait pour tous les théorèmes d*existence, en raisonnant toujours de la même manière de proche en proche.

Nous partirons donc d'un parallélogramme ABCD {fig* 58), et nous voulons, en définitive, démontrer directement et a priori l'existence d^une classe de fonctions algébriques correspondant à ce parallélogramme. Nous avons pour cela à démontrer Texistence d^une fonction harmonique de seconde espèce, devenant infinie en O (pris comme origine des coordonnées polaires r et 6), comme

(') On trouvera dans le § 14 du Mémoire de Brill et Nôther {Math. Ann., t. VII) une interprétation géométrique des modules regardes comme rapports anharmoniques. Si intéressantes que soient ces considérations, elles ne sont pas si rigoureuses que les méthodes s'appuyant sur les théorèmes d'existence.

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9 admelUnt, relalivement à AB et CD, la périodicité A, et,

relativement à AD et BC, la périodicité k; nous entendons par là que le prolongement analytique de la fonction au delà de DC est égal à la valeur de la fonction dans le voisinage de AB, augmentée de la constante h, et pareillement avec la constante k pour les deux autres côtés. L'analogie va être complète avec les méthodes employées dans la Section précédente. Nous formerons d'abord une fonction harmonique prenant des valeurs arbitrairement

données sur AD et BC (on suppose seulement que les valeurs en D et A d'une part, en C et B d'autre part, diffèrent de A), et ayant la périodicité h par rapport à AB et CD. A cet effet, on prendra A'B' parallèle à AB, et CD' parallèle à CD, de manière que les deux parallélogrammes ABCD et A'B'C'D' soient identiques. Toutes les fonctions harmoniques qu'on va considérer deviendront infinies en O de la manière indiquée : les u seront définis dans ABCD et les (^ dans A'B'C'D'. On part d'une première fonction W| prenant sur AD et BC les valeurs données, prenant sur AB des valeurs arbitraires, et sur DC les mêmes valeurs augmentées de h, La fonction ii^ prendra certaines valeurs sur A'B'; nous formons une fonction Vi prenant ces valeurs sur A'B', les mêmes valeurs augmentées de // sur D'C, sur A'D et B'C les mêmes valeurs que tt|, et sur DD' et CC les valeurs de W| respectivement en AA' et BB' augmentées de h. On formera ensuite U2, prenant sur DC les valeurs de ^j, sur AB ces valeurs diminuées de A, et sur AD et BC les mêmes valeurs que W|. On continuera ainsi indéfiniment, formant deux suites de fonctions

M,, Ui. ..., Wrt, ...,

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538 CHAPITRE XYI.

On démontrera, toujours par les mêmes raisonnements, Texîslence d'une limite u pour les fonctions de la première ligne, et d'une limite ç pour celles de la seconde. On a

Un — Vn (sur A'B'), Un^x=Vn (sur DG;.

Tous les II et (^ prennent d'ailleurs les mêmes valeurs sur A'D et B'C. On a donc

dans le parallélogramme A' B' CD. D'autre part, Vn prend sur D'C les mêmes valeurs que Un sur A'B', mais avec addition de la constante A; pareillement, Un^\ prend sur AB les mêmes valeurs que Vn sur DC, mais avec diminution de /t. Il en résulte que les valeurs de u sur le périmètre du parallélogramme ABA'B', augmentées de A, seront égales aux valeurs de v sur le périmètre du parallélogramme DCD'C II est clair alors que le prolongement analv tique de u au delà de DC, pour lequel on peut se servir de la fonction v^ remplit bien les conditions requises.

D'une fonction harmonique de seconde espèce on passera à une fonction analytique de seconde espèce. L'analogie est maintenant complète avec la démonstration de l'existence de la classe de fonctions algébriques correspondant à une surface de Riemann.

On voit aussi que les considérations précédentes démontrent a priori l'existence des fonctions doublement périodiques correspondant à un réseau donné de parallélogrammes.

VI. — Des théorèmes d'existence pour l'équation de Beltrami correspondant à une surface quelconque.

25. Nous avons déjà indiqué (p. 8) comment M. Bellramî a généralisé l'équation de Laplace pour une surface quelconque. Voulant nous placer ici dans les circonstances les plus simples, quoique suffisamment générales, nous allons supposer que l'on considère une surface fermée sans lignes multiples, ayant un nombre fini de trous, et telle que, dans une région suffisamment petite tracée autour d'un point quelconque de la surface, on puisse représenter les coordonnées x^ y^ z par des fonctions

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THÉORÈMES GÉNÉRAUX StR VNB SURFACE DE RIEMANN. 53^9.

analytiques de deux paramètres p et q^ ce que nous pouvons exprimer en disant que la surface fermée est régulièrement analytique. Un tore fournit un exemple simple correspondant au cas d*un seul trou.

Nous avons défini {loc. cit.) ce que Ton doit entendre par /o/iction complexe u + iv d'un point mobile de la surface. L'élément d'arc de celle-ci étant représenté par

ds^ = E dp*-h iF dp dq -^ G dq^, on a pour u et ç les deux équations

ov __ dp dq

•EGàp

àq ~ /ËG^^Fï ' et la fonction u satisfait par suite à l'équation

Il est important de remarquer que cette équation a un caractère invariant par rapport à rf^*, c'est-à-dire que, si l'on prend à la place de/? et ^ de nouvelles variables, la nouvelle équation se déduira du ds^ transformé, comme la première se déduit du ds^ primitif. Ceci résulte de la manière même dont l'équation a été obtenue.

26. D'après nos hypothèses sur la nature analytique rfe la surface, on peut, dans le voisinage d'un point quelconque A de celle-ci, exprimer p el q par des fonctions analytiques de X et Y de manière à avoir la carte de la portion de surface voisine de A sur le plan (X, Y), cette carte étant faite avec conservation des angles {voir t. I, p. 4^4)- On aura

Edp^-^7.Tdp dq -H G dq^ = a {d\.^ -\- d\^) ,

Si maintenant on considère u et ç non plus comme fonctions de/?, y, mais comme fonctions de X et Y, on conclut, de l'équa-

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54o CHAPITRE XVI.

lion précédente et de Téquation (p. 8 de ce Volume) ^a«H- dv^ = X(E d>>*-4- 2F dp dq-\- G dq^\

que les équations (a) deviennent

du __ dv

et, par suite, Téquation (^) se transforme en Téquation de Laplace

Il résulte de là que, si Ton se borne à une aire suffisamment petite sur la surface, Péquation de Beltrami peut, au moyen de la Carte géographique indiquée, être transformée en Téquation de Laplace. Les problèmes d^existence que nous avons résolus pour cette dernière sont^ par suite, résolus pour Téquation (^).

Il sérail sans intérêt de se borner à une portion suffisamment petite de la surface, mais le procédé alterné peut évidemment être appliqué à Téqualion (^), qui jouit, d'après ce que nous venons de dire, des propriétés essentielles de Téquation de Laplace. Aucune explication n'est alors nécessaire pour voir que Ton pourra considérer sur la surface non plus seulement une aire suffisamment petite, mais une aire quelconque. Tous les problèmes traités dans les Sections précédentes peuvent donc être posés et résolus de la même manière.

Si nous appelons fonction potentielle sur la surface toute solution de Téquation (P), nous pourrons former, après avoir tracé des rétroscctions C e^ D sur notre surface, une fonction potentielle de première espèce admettant des périodicités données, La signification de cet énoncé est immédiate et a été déjà rencontrée en remplaçant seulement potentielle par harmonique. La fonction potentielle dont nous parlons sera continue sur^toute la surface; elle admet une périodicité h par rapport à une coupure C, si son prolongement analytique au delà de la coupure est identique à la valeur qu'elle a de l'autre côté de cette coupure augmentée àe ±h suivant le sens dans lequel la coupure est traversée.

Des fonctions potentielles de première espèce, on passera, en considérant la fonction associée r, aux fonctions complexes

d'un point variable sur la surface. On aura ainsi la notion de fonctions complexes de première espèce, continues sur toute la surface, et admettant des périodes dont la partie réelle peut être arbitrairement choisie. II n'y a pas à insister sur tous ces points; l'analogie est complète avec le cas où, au lieu d'envisager une surface quelconque, nous avions affaire à Téquation de Laplace et aux feuillets multiples d'une surface de Riemann. On aura aussi p fonctions complexes de première espèce linéairement indépendantes, elp seulement; c'est, comme précédemment, une conséquence de ce que, le long du contour K, dont il a été tant de fois parlé, on a

l'intégrale étant prise dans un sens convenable.

Quant à la démonstration de cette inégalité, elle est immédiate en décomposant la surface en portions assez petites. On a pour chaciine d'elles l'inégalité précédente avec l'aide de la carte de cette petite portion, et il suffit d'ajouter les inégalités.

27. On obtiendra de la même manière les fonctions complexes de seconde espèce, mais il faut définir un pôle d'une fonction complexe de seconde espèce. Un point de la surface sera un pôle pour la fonction complexe u + fV, si dans la carte géographique, relative au voisinage de ce point, sur le plan (X, Y), la fonction w-}- iV qui devient une fonction analytique ordinaire de X -f- iY a pour pôle le point correspondant au point donné de la surface. Nous arriverons enfin, suivant toujours la même marche que dans la Section lll, à des fonctions complexes u + «V, uniformes sur toute la surface et n^ ayant que des pôles.

Relativement à une fonction complexe F = w-f- /r, nous pouvons établir le même théorème qu'à la page 471 • V équation

Fc=:C,

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54a CHAPITRE XVI.

C étant une constante arbitraire^ a toujours le même nombre de racines sur la surface» On pourrait encore employer ici une formule analogue à celle de Cauchy pour trouver le nombre des racines, mais il suffit de remarquer quUl n'est pas possible que le nombre des racines diminue (les racines étant comptées avec leur degré de multiplicité) quand C varie d'une manière continue. On pourrait seulement craindre que des racines ne disparussent au moment où deux ou plusieurs racines deviennent égales, mais ceci est impossible si Ton se reporte à la carte géographique pour laquelle on sait, en appliquant les théorèmes classiques, que les racines d'une fonction d'une variable complexe ne peuvent pas disparaître en devenant égales.