Considérons maintenant deux fonctions complexes
u -r- «V et Mi -h iVi
sur la surface, fonctions uniformes et n'ayant que des pôles. Si l'on donne à w -h iV une valeur arbitraire, il y aura un certain nombre m de points de la surface correspondant à cette valeur de u 4- fV, et si la seconde fonction u^ -\- iv^ a été prise arbitrairement, elle aura m valeurs distinctes. Or nous savons (p. 8) que,
si l'on pose
F = M 4- iV, Fi = i/j -{- iV,,
F| est une fonction analytique ordinaire de F. Quelle sera la nature de cette fonction? A une valeur de F correspond un nombre fini de valeurs de Y^ ; d'autre part, F, est une fonction de F qui ne peut avoir d'autres points singuliers que des pôles et des points critiques algébriques. Ily a donc entre F et F, une relation al--
gébrique
et *d un point arbitraire de la surface correspond un seul point (F, F,) de cette courbe.
Nous avons donc établi ce théorème fondamental (') :
(^) Ce théorème a été énoncé par M. Klein dans son Ouvrage déjà bien des fois cité sur la Théorie des surfaces de Riemann. Le mode de démonstration de M. Klein est extrêmement intéressant, quoiqu'il ne prétende pas à être rigou-
GoogI(
A la sur/ace S donnée dans l'espace et ayant p trous corres^ pond unijormément une courbe algébrique de genre p.
Nous disons que le genre de la courbe/ est égal au nombre p des trous de la surface S; ce qui résulte immédiatement de ce qu'il y a/? fonctions complexes de première espèce sur la surface linéairement indépendantes (§ 26).
29. Nous avons encore à faire une remarque importante. Envisageons la surface 2! de Riemann à m feuillets représentative de la fonction algébrique F, de F. Nous avons dit que S et S se correspondaient point par point; mais, de plus, la relation
du"'-^ dv^ = X(E «?/?2-h 9.F dp dq -+- Gc^<7«)
montre que cette correspondance a lieu avec conservation des angles. On peut donc dire que l'on a une carie géographique de la surface S sur la surface de Riemann S.
30. Appliquons au tore les généralités qui précèdent. Désignons par r le ra)^on du cercle générateur et par R la distance de son centre à Taxe (/'< R). On pourra représenter le tore par les
équations
4? = ( R — r coso) cos^,
^ = ( R — r coso) sin <}/, z = r sino^
OÙ la signification géométrique des angles o et<{/, qui varient deo à 2 7C, se voit immédiatement. On aura donc pour l'élément d'arc de la surface
ds-== dx^-^ dy^-+-dz^= r«<i<p»-f- (R — rcos<p)'c;4;*,
reux au peint de vue analytique. C'est à une expérience électrique fictive faite sur la surface que Tillustre auteur emprunte les éléments de ses démonstrations. L'existence des fonctions potentielles avec leurs singularités diverses se trouve ainsi démontrée en quelque sorte expérimentalement. On vient de voir que les considérations employées pour les surfaces de Riemann et Téquation de Laplace s'étendent sans peine à Téq nation de Beltrami et à une surface quelconque. Relativenfent à celle-cif nous avons seulement fait l'hypothèse qu'elle était régulièrement analytique; on pourrait traiter, je crois, de la même manière, des cas moins simples, ceux notamment où la surface a des arêtes, mais je ne veux pas ici approfondir cette question.
GoogI(
544 CHAPITRE XYI.
que Ton peut écrire
ds'={R — rcosoy- \—-!—^ -4-^6*1,
' ^ L(U — rcoso;* ^ J'
ou, enfin, en posant
/' do
• rcos©
Celte dernière, formule nous donne tout de suite la carte géographique avec conservation des angles, de la surface du tore sur ia surface d'un rectangle. En eflfet, quand cp et ^ varient de o à 271, le point (X, Y) décrit dans son plan Taire d'un rectangle dont les quatre côtés sont
•'^ -do
,/ H — r cos o
Que sont ici les fondions complexes u -\- iif uniformes sur le tore? Ce sont nécessairement des fonctions analytiques de X4- /Y; elles admettront les périodes
r do aici et
Les fonctions doublement périodiques ayant ces deux périodes définissent une classe de courbes algébriques (*) : c^est la classe correspondant au tore,
31. Indiquons un exemple d'une surface ayant /? trous, auquel on puisse appliquer les considérations générales que nous venons de développer. Je considère, comme au Chapitre XIII, un disque plan kp trous, limité par une courbe extérieure C et/? courbes intérieures C|, . . ., C;,, et tracé dans le plan {x^y).
Toutes ces lignes sont supposées régulièrement analytiques. On peut concevoir une fonction analytique f{x^ y) des deux variables
(*) Ce point a élc dcin.onlré à la fin de la Section précédente. Nous le retrouverons d'une manière plus élémentaire au Chapitre suivant.
GoogI(
réelles et x ely s^annulant, en changeant de signe, quand (x, y) traverse les courbes C, C|, . • ., Cpj et étant positive et différente de zéro dans Faire A limitée par ces courbes. Si, par exemple, les courbes sont des cercles, /(:c,^) sera le produit pris avec un signe convenable des premiers membres des équations de ces cercles. J'envisage maintenant la surface
Celte surface sera symétrique par rapport au plan des (x, y)^ elle passera par les courbes considérées et aura visiblement p trous. Elle sera régulièrement analytique. On le voit de suite pour tout point (a:, j^) de l'intérieur de Taire A; la chose est moins immédiate pour un point d'une courbe limite. Pour le voir, (^O)JKo) étant un tel point, posons
a étant une quantité très petite. Pour x = x^^ a = o, nous avons une racine simple y =^o« Nous pouvons donc développer^ suivant les puissances de x et a, dans le voisinage de x = Xq et a=:^o; soit ^{x^ cl) ce développement. On aura alors la surface définie par les équations
ce qui montre que la surface est analytique dans le voisinage du point (a:o, jKo? O). On a supposé seulement qu'en (xo, ^o) la tangente à la courbe limite n'est pas parallèle à Oy^ mais, s'il en était ainsi, on intervertirait x eiy dans les raisonnements. Nous avons donc bien un exemple d'une surface à p trous régulièrement analytique dans toute son étendue. A cette surface correspond, d'après le théorème général, une classe de courbes algébriques.
32. Un cas limite de la surface précédente est extrêmement intéressant. Je considère la surface
où e est une constante positive. Supposons que £ tende vers zéro ;
nous aurons une surface se rapprochant de plus en plus des deux
GoogI(
546 CBAP. XTI. — THÊORËMES GÉNÉRAUX SUR UNE SURFÀCS DE RIKMANN,
côtés du disque plan. La classe de courbes algébriques correspond daot à notre surface deviendra pour e = o une certaine classe limite, et l'on est ainsi conduit au théorème suivant :
A tout disque plan à p trous on peut faire correspondre une classe de courbes algébriques.
Il y a une correspondance uniforme entre les points d'une courbe algébrique de cette classe et les points du disque consi> déré comme ayant deux faces. Le remarquable théorème qui précède est dû à M. Schotlky (*), qui y est arrivé par une lout autre voie, en rattacliant la question au principe classique de Dirichlet.
Le résultat précédent est très important pour l'étude de la représentation conforme des aires limitées par plusieurs contours. Étant donnés deux disques plans ayant le même nombre p de trous, peut-on faire une représentation conforme de ces deux disques l'un sur l'autre, de manière qu^à un point du premier disque ne corresponde qu'un point du second et inçersement ? h2i question était difficile, mais nous sommes maintenant en mesure d'y répondre en quelques lignes. Nous pouvons faire la carte géographique de chaque disque (pris avec ses deux bords) sur une surface de Riemann convenable; cette surface de Riemann esl relative à une courbe quelconque de la classe correspondant au disque. Si Ton peut faire, de la manière indiquée, la représentation conforme des deux disques l'un sur Tautre, les deux surfaces de Riemann et, par suite, les deux courbes se correspondront point par point. On voit donc que la représentation conforme des deux disques est, en général, impossible; les conditions reviennent à l'identité des deux classes de courbes algébriques correspondant à l'un et l'autre disque. Je me borne sur ce point à ces vues, peut-être un peu rapides, en renvoyant au Mémoire de M. Schottky pour l'étude de la représentation conforme des aires multiplement connexes.
(1) Nous avons déjà eu roccasion de citer (p. 3i4) le beau travail de M. Schotlky; c'est un Mémoire fondamental à plus d'un titre.
GoogI(
