I. — Des courbes unicursales
1. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, de faire une étude des propriétés essentielles des courbes de genre zéro et des courbes de genre un. Commençons par les courbes correspondant à /?^ o, qu'on appelle courbes unicursales (* }.
D'après la formule générale (Chap. XIII, n** 17)
(m—\){ni — 'x) v^ I ( e — I >
p = ^ 2-" -li —
on aura pour les courbes unicursales
Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que le genre soit nul. Il n'y aura pas dans ce cas de courbe adjointe d'ordre n\ — 3.
Les courbes unicursales jouissent d'une remarquable propriété :
on peut exprimer les coordonnées {x,y) d'un quelconque de leurs points en fonctions rationnelles d'un paramétre.
Pour le démontrer, considérons une adjointe d'ordre m — a; elle dépend d'une manière non homogène de m — a constantes {^).
(*) Les mots de courbes unicursales ont été employés pour la première fois par M. Cayley {voir Cayley, Comptes rendus, i. LXII).
(') On a vu dans un Chapitre antérieur que le nombre de ces constantes est, pour p quelconque, m — 2 + /?. La numération est d'ailleurs immédiate.
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548 CHAPITRE XYII.
Nous pouvons donc former tin réseau
P,-4-XP, = o
d'adjointes d'ordre m — 2 passant, quel que soit X, par m — 3 points choisis arbitrairement sur la courbe. Combien y aura-l-îl de points de rencontre variables avec X? On a déjà un nombre de points de rencontre fixes représenté par
^a/«(* — I )-+-/« — 3 ou m (m — 2) — 1.
Il reste donc un seul point de rencontre mobile, et, par suite, ses coordonnées x ç^\.y sont des fonctions rationnelles de X.
Considérons inversement une courbe définie par deux équa> tions
R et R| étant des fonctions rationnelles d'un paramètre).. Cette courbe sera de genre zéro.
Si le genre n'était pas nul, la courbe aurait une intégrale de première espèce
'QCr, v)^X
Or, en remplaçant a? et y par les expressions (i), on aurait une intégrale portant sur une fraction rationnelle P( a)
qui devrait rester finie pour toute valeur, finie ou infinie, de a, ce qui est impossible.
2. Nous avons exprimé plus haut les coordonnées x et y d'un point arbitraire de la courbe en fonctions rationnelles d'un paramètre. Pour trouver ces expressions, il a fallu introduire en général certaines irrationnelles par rapport aux coefficients de la courbe, puisqu'on doit prendre m — 3 points sur la courbe. On peut se demander comment on pourrait faire la représentation paramétrique pour une courbe unicursale, en introduisant le moins possible A'' irrationalités par rapport aux coefficients de
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Téqualion de la courbe uDÎcursale. Cette question s'est présentée à M. Nôther dans une recherche relative à certaines surfaces algébriques (*). Pour y répondre, M. Nother procède très élégamment de la manière suivante.
Prenons trois adjointes arbitraires d'ordre m — 2, ce qui peut se faire sans introduire aucune irrationalité par rapport aux coefficients; soient P,(a;, jk)> P2(^j^)? ^zi^^y) 'es trois polynômes adjoints correspondants. Je pose
A la courbe unicursale proposée
va correspondre une courbe
et, si les trois polynômes adjoints d'ordre m — 2 sont arbitraires, les deux courbes se correspondront point par point. Cherchons le degré de la courbe F; il est égal au nombre des points de rencontre, avec/, du réseau
«1 Pi(^,r ) -*- «iPzCa:, y) -i- aa ?z{x, y) --^ o,
en dehors des points multiples, c'est-à-dire à
Nous avons donc transformé la courbe en une courbe d'ordre m — 2. On peut continuer ainsi de proche en proche. Si m est impair, on arrivera à une cubique; si m est pair, à une conique.
Dans le premier cas (m impair), les coordonnées de la cubique unicursale, qui a un seul point double, peuvent être exprimées en fonctions rationnelles d'un paramètre, sans introduction d'au-
(M NôTHKR, Ueber Flàchen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen {Math, Annalen,t. III).
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o5o GMAPITRE XYlf.
cune irrationalité par rapport aux coerficienls de son équation, qui sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des coefficients de la courbe proposée. Donc, pour une courbe unicursale d'ordre impair y on peut n' introduire aucune irrationalité par rapport aux coefficients dans la représentation paramétrique.
11 n'en va pas de même pour m pair. Nous sommes ramené dans ce cas à une conique, et, en générai, nous ne pouvons pas faire la recherche des expressions des coordonnées en fonctions rationnelles d'un paramètre, sans introduire une irrationalité qui sera une racine carrée d'une fonction rationnelle des coefficients. Il en sera donc de même pour la courbe unicursale proposée.
Nous pouvons maintenant établir un intéressant théorème de M. Nother sur une classe de surfaces algébriques. Prenons une surface algébrique, jouissant de la propriété suivante : elle possède un faisceau linéaire de courbes unicursales, qui peuvent être obtenues par Tintersection de la surface donnée
avec le faisceau de surfaces
P-r-XQ=o,
où P et Q sont des polynômes en x^ y, z. Il est supposé que le faisceau précédent coupe la surface suivant une seule courbe F variable avec )v, et que cette courbe est unicursale. Nous nous proposons d'établir que la sur/ace est unicursale^ c'est-à-dire qu'on peut exprimer les coordonnées d'un point arbitraire de la surface en fonctions rationnelles de deux paramètres. Considérons le faisceau de plans
A -+- X B = o (A et B étant du premier degré).
et faisons la perspective V de la courbe T (correspondant à la même valeur X du paramètre) sur ce plan, en prenant un point de vue fixe mais arbitraire. Notre surface / correspond ainsi point par point à une surface f lieu des courbes F', et, en général, la droite (A = o, 8 = o) sera une droite multiple de /'. Le théorème énoncé est donc à démontrer pour la surface/', qui a une certaine droite multiple (A, B), et qui est telle que tout plan
passant par cette droite la coupe en outre suivant une seule courbe unicursale (qui est la courbe F'); désignons par m le degré de T\
Prenons, dans le plan
m — 4 points arbitraires déterminés rationnellement en X. Ces points déterminent trois adjointes d'ordre m — 2 avec lesquelles nous faisons la transformation indiquée plus haut. Nous sommes par suite ramené à une surface analogue à/', mais où m est remplacé par m — 2. On peut continuer ainsi de proche en proche.
Si m est impair on est ramené à une surface a^ant une droite multiple, et telle que tout plan passant par la ligne multiple la coupe suivant une droite (en dehors de la droite multiple); la surface est alors évidemment unicursale.
Si m est pair, la question est moins simple, et Ton a une surface avec une droite multiple, et tout plan passant par celle-ci coupe la surface suivant une conique (en dehors de la droite multiple). Suivons ici une autre marche (M que M. Nolher. La droite (A, B) étant supposée à Tinfini dans la direction du plan des (.r, y)^ Téquation de la surface peut prendre la forme
ax^-T-b xy -f- cy^ = i ,
où a, 6 etc sont des fonctions rationnelles de z» Nous allons voir que l'on peut satisfaire identiquement à l'équation précédente, en prenant pour x e\, y des fonctions rationnelles de z, La question revient évidemment à faire voir, étant donnée une expression
où Â, B, C sont des polynômes de degré pair 2m, que l'on peut déterminer des polynômes u et \? en z^ de telle sorte que l'expression devienne le carré d'nn polynôme en 5, Or soit |x le degré de u et (^; le nombre des constantes (non homogènes) est 2(jL-f- i pour ces deux polynômes. Or, en substituant, on a un polynôme de degré 2/7i-|-3[^; le nombre des conditions, pour qu'il soit un
( ^ ) Ë. Picard, Sur la résolution de certaines équations à deux variables, et Sur un théorème de M» NÔther {Bulletin des Sciences mathématiques, 1901).
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.53a CHAPITRE XVil.
carré parfait, est m -f- [ji. Or on a
2 ^ H- 1 ^ m -f- jjL,
à partir d'une certaine valeur de (x. Par suite, on pourra déterminer u et i^ de manière que
Au«-hB«p-4- Ct>« soit un carré parfait. En revenant à notre équation ci-dessus
on y satisfera en prenant pour x et y des fractions rationnelles de z.
Pour une valeur donnée de z, on peut donc obtenir rationnellement un point de cette conique et, par suite, exprimera? ety en fonction rationnelle de z et d'un autre paramètre. La surface est donc unicursale,
3. Dans la représentation paramétrique donnée au § 1, nous avons pour une courbe unicursale
et, d'après la manière même dont nous avons procédé, on a pour X
P une fonction rationnelle — — de ^ et j^. A un point arbitraire de
la courbe ne correspond donc qu'une seule valeur de X. Il y a des points particuliers pour lesquels il en est autrement : ce sont les points multiples. En un point multiple d'ordre i, les deux polynômes adjoints P| et Pj sont nuls, et il y a i valeurs pour \ correspondant aux /branches de la courbe au point multiple.
Imaginons qu'on ait une seconde représentation paramétrique
de telle sorte aussi que 6 soit fonction rationnelle de x et y. La nature de la dépendance entre X et 0 s'aperçoit immédiatement; à une valeur arbitraire de  ne correspondra qu'une valeur de 6 et inversement. La relation est d'ailleurs algébrique. Donc X est une 'fonction rationnelle de 0, et 0 est une fonction rationnelle de X;
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on doit, par suUe, avoir
«, bj Cj é^ étant des conslanles. On peut donc dire que, abstraction faite d\ine substitution linéaire sur le paramètre, il n'y a qu^une seule représentation paramétrique, de la nature indiquée, pour une courbe unicursale (').
Je n'insisterai pas davantage sur les courbes unicursales. Une étude très complète en a été faite par Clebsch dans un Mémoire auquel nous renverrons (2).
