II. — Des courbes de genre un

4. Les courbes de genre un sont particulièrement intéressantes à cause de leurs rapports avec la théorie des fonctions doublement périodiques. Pour/>= i, on aura

2iCt — 1) m(m— 3) 01/ =^ • •2 1

On a ici un seul polynôme adjoint d'ordre m — 3 et, par suite, une seule intégrale de première espèce (à un facteur constant près).

Nous commencerons par chercher si les adjointes d'ordre m — 2 ne peuvent pas, comme pour les courbes unicursales, conduire à une représentation paramétrique intéressante. Les courbes adjointes d'ordre m — 2 dépendent ici, d'une manière non linéaire, de m — I paramètres entrant d'une manière non homogène. On peut donc former un faisceau d'adjointes d'ordre m — 2

passant par m — 2 points arbitrairement choisis sur la courbe/.

(^) On pourrait avoir une représentation paramétrique rationnelle telle qu'à un point arbitraire {x^y) de la courbe correspondissent plusieurs valeurs de X. On verra (Luroth, Math, Annalen, t. IX) comment on peut, par un calcul régulier, introduire un autre paramétre, de façon À avoir une nouvelle représentation qui soit du type étudié plus haut.

(2) Clebsch, Ueber diejenigen ebenen Curven deren Coordinaten rationale Functionen eines Parameters sind {Journal de C relie, l* 64).

GoogI(

554 CHAPITRE XYII.

Le nombre des points de rencontre variables avec 7w sera

ni{m — a) — (m — a) — Na|t(« — i) ou 2.

Nous n^aurons donc, pour déterminer x et y en fonction de A, qu'à résoudre une équation du second degré. On aura, par suite,

/et o étant des fonctions rationnelles de X et de y/K(X), en désignant par R ()w) un polynôme en X qu'on peut supposer n'avoir que des racines siniples (le facteur de puissance paire, pour les racines multiples, étant sorti du radical).

A une valeur de X correspondent deux points {x,y) à cause des deux déterminations du radical. A un point arbitraire (x^y) de la courbe / correspondra une seule valeur de X, ce qui est évident d'après (2); il correspondra aussi une seule valeur de v/R(X), l'autre détermination du radical donnant le second point de rencontre de l'adjointe (2) avec /.

Une question très intéressante se présente : Quel est le degré du polynôme R(X)? On peut, pour y répondre, suivre deux voies différentes, entièrement analogues à celles que nous avons suivies en étudiant les courbes du genre deux (p. 5oo).

Je dis que le degré de R(a) ne pourra être que trois ou quatre. En effet, d'après ce que nous venons de dire, les deux courbes

se correspondent point par point, puisque à un point arbitraire (X, |x) de la seconde courbe ne correspond qu'un point {oc^y) de /, et inversement. Les deux courbes sont donc du même genre, c'est-à-dire du genre un, et, par suite, le degré du polynôme R(X) sera nécessairement égal à trois ou à quatre, les deux cas se ramenant d'ailleurs, comme nous l'avons vu autrefois, l'un à l'autre.

La seconde démonstration est plus directe, mais plus longue. On procédera comme nous l'avons fait dans l'étude des courbes de genre deux (p. 5oo). Le nombre cherché sera égal au nombre

GoogI(

COURBKS DBS GENRES ZÉRO ET UN. 555

des courbes du faisceau

P,-4-XP4=0

tangentes à la courbe/. Après avoir supprimé les mêmes solutions étrangères, il restera quatre courbes de ce faisceau tangentes à/, et le degré du polynôme R (X) est, par suite, égal à quatre. On a donc le théorème suivant :

Les coordonnées d^un point quelconque d^une courbe de genre un sont des fonctions rationnelles d^un paramètre et de la racine carrée d\in polynôme du quatrième degré par rapport à ce paramètre (* ).

5. On peut donner une autre forme à l'important théorème qui précède. Si Ton pose

r'- dk

nous avons vu (Chap. XII, n**7) que cette relation définit une fonction doublement périodique de z, soit

et l'on a évidemment

^^ -?'(.) = /Ko).

Il en résulte que x qI y sont des fonctions doublement périodiques du paramètre >s; de plus, à un point arbitraire {x^y) et, par suite, à une valeur de X et de y/K(^Â), ne correspondra qu'une valeur de z, abstration faite de multiples de périodes. Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant :

Dans une courbe de genre un, les coordonnées x et y peuvent s^ exprimer en fonctions doublement périodiques d'un paramètre Zj et cela de telle manière qu'à un point arbitraire de la courbe ne corresponde qu'une valeur de ^, abstraction faite de multiples des périodes.

( ^ ) Ce Ihéorème est dû à Clebsch. Voir son Mémoire : Ueb&' diejenigen Curven deren Coordinaten sich als élliptische Functionen eines Pararneter darstellen lassen {Journal de C relie, t. G4).

GoogI(

556 CBAPITBE XYII.

6. Nous donnerons dans la Section suivante une sorte de réciproque du théorème précédent; mais, pour le moment, proposonsnous de retrouver le même théorème en nous plaçant à un autre point de vue que le point de vue algébrique du § 4. Nous allons considérer, à cet effet, rinli'^grale de première espèce relative à la courbe de genre un, et chercher la nature de la fonction obtenue en faisant Finversion de cette intég^rale. Soit donc la relation

équivalente à Téqualion différentielle

Q(nr,y)dT ^ ^^

Les conditions initiales étant :r = Xq, y=yQ pour ;; = 5o, quelle sera la nature de la fonction x Ae z ainsi définie? Nous voulons montrer que x est une fonction, uniforme dans tout le plan, n! ayant (T autres points singuliers que des pôles.

En supposant que {xq^ yg) ne soit pas un point de ramification ou un point multiple de la courbe, la fonction x sera une fonction holomorphe de z dans le voisinage de ^ =: Zq, diaprés le théorème fondamental (p. 346) sur Texistence de l'intégrale des équations différentielles. En étendant de proche en proche la fonction, le théorème fondamental cessera d'être applicable quand la variable z atteindra une valeur pour laquelle Q(^,JK) = o» mais celte circonstance ne peut se présenter pour un point simple de la courbe, puisque l'adjointe d'ordre m — 3, dans les courbes du genre un, ne rencontre la courbe qu'aux points multiples. Nous devons maintenant examiner le cas où le point correspondant (x^y) de la courbe serait un point multiple ou bien un point de ramification, ou serait à l'infini. 11 n'y a aucune difficulté dans le cas du point multiple, car, lorsque {Xy y) se rapproche d'un point multiple sur une branche déterminée, le

quotient ■ J,-^ reste une fonction holomorphe de x ne s'annu-

lant pas en ce point, puisque la courbe Q = o ne peut avoir aucune tangente commune avec / en un point multiple [sinon, le nombre des poiuts de rencontre de /et de Q s'élèverait au-dessus de m{m — 3)] ; x restera donc fonction holomorphe de z.

GoogI(

Pour le cas du point de ramificalion (a, ^), on posera

dx' et l'on aura alors, pour ^, une fonclion holomorphe de a?' dans

le voisinage de a?'= o; il en résulte que x\ et par suite x, resteront des fonctions holomorphes de -s, dans le voisinage de la valeur de z pour laquelle X'=-a.

Enfin, si, pour 5 = a, ^ devient infinie, le point {x^y) s'éloignant à l'infini sur une des branches de courbe, on posera

et l'on voit encore de suite que -j^ sera une fonction holomorphe

de 0?' dans le voisinage de :p^=o; aucun point crilique ne peut encore apparaître.

Nous pouvons ici faire les mêmes observations qu'à la page 3^9; les remarques précédentes ne suffisent pas à établir que x est une fonction uniforme de z dans tout le plan; mais il n'y a qu'à procéder comme à l'endroit cité pour rendre la démonstration rigoureuse. En isolant les points de ramification et les points à l'infini, on prouvera, sans rien changer aux raisonnements, que l'ftxtension de la fonction pourra se faire de proche en proche à Vaide d^un cercle de rayon 0 invariable, de telle sorte que la fonction ou son inverse soit holomorphe à Tintérieur d'un cercle ajant pour centre un point quelconque du plan et un rayon égal à p. Il en résulte que x est alors une fonction, uniforme dans tout le plan, n^cyant pour points singuliers que des pôles.

Le même ralsonnemenl s'applique sans modification à y^ qui sera aussi une fonction uniforme de z,

7. Il est facile de se rendre compte de la nature des fondions uniformes ^ et j^ de ;; que nous venons de rencontrer. Leur proprié té capitale est la double périodicité.

Rappelons-nous, en effet, que l'intégrale

-^'•^ Q(.r, y)dx

GoogI(

558 CHAPITRE XYII.

a deux périodes co el co' (Chap. XIV). En posant on a rinégalité fondamentale (p. 4^^)

inégalité qui exclut l'égalité. Il en résulte que le rapport des pé-

riodes

est nécessairement imaginaire.

On voit alors qu'à une même valeur de x correspondent, en clioisissant convenablement le chemin allant de x^ à x^ une infinité de déterminations de l'intégrale diflerant de sommes de multiples des périodes co et w'. On aura donc, pour x et y y des fonctions doublement périodiques de z : c'est le théorème auquel nous étions déjà arrivé par une autre voie. A un point arbitraire (x,^) de la courbe ne correspond manifestement, d'après la relation (3), qu'une seule valeur de z, abstraction faite de sommes des multiples des périodes (').

8, Je réserve, pour une autre partie de cet Ouvrage, l'inversion effective de l'intégrale de première espèce pour laquelle il est nécessaire d'introduire les transcendantes de Jacobi. Nous avons montré, au § 12 du Chapitre XII, comment, dans le cas de l'intégrale elliptique, on peut former certaines fonctions entières jouissant, par rapport aux périodes, d'une propriété remarquable. On peut ici former une combinaison analogue que je me contenterai d'indiquer (-); il est facile de former une fonction

(*) Si l'on veut reprendre le point de vue auquel nous nous sommes placé, avec Riemann, aii § 23 du Chapitre XVI, on dira que Tinversion de Tintégrale de première espèce permet, pour p = i^ de faire d'une manière uniforme la représentation conforme de la surface de Riemann sur la surface d'un parallélogramme.

(') Voir le § 10 du Chapitre III de mon Mémoire Sur les /onctions algébriques de deux variables.

GoogI(

COURBES DES GENRES ZÉRO ET UN. SoQ

de degré m — i en j? et ^, et telle que la combinaison

soit une fonction entière dez. Cette fonction entière joue ici le même rôle que la fonction Al (5) de M. Weierstrass.

9. Nous aurons encore à signaler plus tard certaines propriétés des courbes de genres zéro et un. Ainsi l'on peut faire, avec M. Hermite (*), la remarque que les courbes de genre zéro et un sont les seules pour lesquelles Tinversion de l'intégrale abélienne

\(x^y) dx = s

(à étant rationnelle en x et y) donne, pour x et y, des fonctions uniformes de z. Ce sont des questions qui trouveront leur place dans l'étude des équations différentielles de Briot et Bouquet. J'ai même montré (^), d'une manière plus générale, que les courbes des genres zéro et un sont les seules pour lesquelles l'inversion d'une expression

(\ étant rationnelle en x et y) donne pour x ei y des fonctions uniformes de z.

(*) Hermite, Cours lithographie de r École Polytechnique, 1873.

(') Voir le Chapitre VI de mon Mémoire cité plus haut; j'y étudie incidemment d'une manière très sommaire les expressions (4) dont M. Appel! faisait à la môme époque une étude très approfondie dans son Mémoire Sur les intégrales des fonctions à multiplicateurs {Acta Âfatheniatica, t. XIII). Relativement à la représentation paramétrique des coordonnées d*un point d'une courbe algébrique, on peut remarquer que les courbes des genres ze'ro et un sont les seule» pour lesquelles on puisse exprimer a? et y en fonctions uniformes d'un paramètre, n'ayant que des points singuliers essentiels isolés, comme il résulte d'un théorème général que j'ai établi {Acta Mathematica, l. XI). On peut exprimer les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique de genre supérieur à un, au moyen des fonctions fuchsiennes de M. Poincaré, mais alors les points singulier» essentiels de ces transcendantes ne sont pas isolés.

GoogI(

56o CHAPITRE XTII.

m. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques.

10. Nous avons déjà parlé des fonctîoos doublement périodiques (Chap. XII). Les généralités sur ces fonctions, œuvre de Liouville et de M. Hermile, sont devenues si classiques, et ont été tant de fois exposées (<) que nous ne crojons pas devoir nous y arrêter longuement. Je vais seulement faire quelques remarques qui auront trait aux courbes de genre zéro ou un.

Considérons deux fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes

Tout d^abord il existe entre elles une relation algébrique., comme l'ont remarqué simultanément Briot et Bouquet et M. Méray. La démonstration de ce résultat est immédiate, â une valeur arbitraire de x correspond, dans chaque parallélogramme de périodes, un nombre limité (toujours le même) de valeurs de z, La fonction j^ de J7 n'a donc qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de x; elle n'a d'autre part évidemment que des pôles ou des points critiques algébriques. On en conclut que y est une fonction algébrique de x. Nous aurons donc

On aurait pu arriver au même résultat par une autre voie plus élémentaire. En faisant sur x ety une substitution linéaire, nous pouvons supposer que x et y aient les mêmes pôles simples, en nombre |x, dans chaque parallélogramme de périodes.

Prenons un polynôme /{x^y) de degré ;//, à coefficients indéterminés, mais sans terme indépendant de x ety.

Quand on substitue k x ely dans / les deux fonctions doublement périodiques, on a une fonction doublement périodique qui

(*) Consulter, en particulier, le Cours lithographie de M. Hermitc, le Traité sur les /onctions elliptiques de Briot et Bouquei, le Traité d* Analyse de M. Camille Jordan, le grand Traité de Halphen, TOuvrage de MM. Tannery et Molk, et celui de MM. Appell et Lacour. Au point de vue élcmcntaire et pratique, le Précis de M. Lucien Lévy doit être recommandé.

COURBES DES GENRES ZÉRO ET U.\. 56l

a muL pôles, en tenant compte des degrés de multiplicités; il ne faudra pas plus de m[JL — i conditions, pour écrire que ces pôles disparaissent. Or, si l'on prend m de manière que

on pourra choisir (et au moyen d'équations linéaires et homogènes du premier degré) les coefficients de y, de manière que les pôles disparaissent. On aura donc alors

/(^»J'^ = C (C étant une constante),

ce qui donnera une relation algébrique entrer et y, ne se réduisant pas à une identité, puisque / n'a pas de terme indépendant de x et y. Cette relation pourra n'être pas irréductible, mais parmi les relations irréductibles auxquelles elle donnera alors lieu, une certainement sera vérifiée identiquement quand, à la place de x et y, on met les deux fonctions doublement périodiques de z.

Ceci posé, montrons que le genre de la courbe f est au plus égal à l'unité. Si la courbe était de genre supérieur à un, on aurait deux intégrales distinctes de première espèce

rQi(^,y)dx rQ.t{x,y)dx

l^a première de ces intégrales peut s'écrire

En substituant ^a x el y les expressions (5), le multiplicateur de rf5, sous le signe d'intégration,

Q.\{x,y) dx

fy dz'

est une fonction doublement périodique de z. Il faut que cette fonction se réduise à une constante; sinon elle aurait des pôles, et l'intégrale deviendrait infinie. On aura donc

et, de même,

J'y dz

(iiix^Y) dx

— ai

GoogI(

502 CHAPITRE XYII.

ai et ^2 étant des constantes. Des deux identités précédentes, on conclut

égalité impossible, puisque les deux intégrales de première espèce ont été supposées linéairement indépendantes. Le théorème est donc établi (*).

11. Il peut arriver que le genre de la courbe soit égal à zéro ou à un. Faisons la remarque importante que, si à un point arbitraire {x^y) de / ne correspond (\\i^une seule valeur de z dans un parallélogramme de périodes, le genre de la courbe sera certainement égal à l^ unité. En effet, dans le cas contraire, la courbe serait unicursale, et Ton aurait

ar=R(e), ^ = R,(e),

R et R| étant rationnelles en 6, et 6 pouvant se mettre sous la forme d'une fonction rationnelle de x et y. On aurait donc

F(;s) étant une fonction doublement périodique de z. A un point arbitraire {x ^ y) correspond une seule valeur de 6; les valeurs de z correspondant à un point arbitraire {x^y) seraient donc les racines de Téquation (6). Mais, pour une valeur arbitraire donnée à 6, correspondent au moins deux racines de (6) dans un parallélogramme. L'hypothèse faite que la courbe est unicursale est donc inadmissible.

12. Plaçons-nous dans le cas où à un point arbitraire ( j?, y) ne correspondrait qu'une seule valeur de c, abstraction faite de sommes des multiples de périodes, et considérons une fonction doublement périodique quelconque W de ;;, aux mêmes périodes que (p et 4>..A chaque point {x,y) de la surface de Riemann relative à la courbe / ne correspondra qu'une seule valeur ^e W,

(') J'ai donné pour la première fois la démonstration précédente avec un ihcorêmc analogue pour les surfaces algébriques auTomeXCII des Comptes rendus de V Académie des Sciences (p. i^qS).

GoogI(

Cette fonction sera donc une fonction uniforme sur la surface de Riemann; elle n*a nécessairement que des pôles; elle est donc une fonction rationnelle de x eXy (p. 428). Toute fonction doU" blement périodique de z sera donc une fonction rationnelle de o{z) et ^{z). Ce théorème est dû à Liouville.

13. Nous avons vu (p. 4^4) que les courbes de genre un admettent une transformation birationnelle en elle-même dépendant d'un paramètre arbitraire. 11 est facile de retrouver d'une autre manière ce résultat. Considérons les équations

h étant une constante arbitraire; X et Y sont des fonctions dou^ blement périodiques Ae z. On aura donc, d'après le paragraphe précédent,

X = R {x.yji).

R et R, élant rationnelles en x ely^ et évidemment d'ailleurs, pour la même raison, x et y sont des fonctions rationnelles de X et Y. Nous voyons donc bien que la courbe J admettra une transformation birationnelle en elle-même dépendant du paramètre arbitraire h. Il n'est pas inutile de rappeler ici le résultat obtenu (p. 4^6) relatif à l'équation différentiel le

()(x,jr)ffx Q(X,Y)rfX

/; - fi '

Q(j7,jk) étant le polynôme adjoint figurant dans l'intégrale de première espèce relative à /. L'intégrale générale de cette équation, qu'on peut appeler Véquation d^Euler, est algébrique et est précisément fournie par les équations (7) avec la constante arbitraire A.

li. Terminons par l'examen du cas particulier où l'on aurait

GoogI(

564 CHAPITRE XYII.

4>' étant la dérivée de <I>. Écrivons la relation

Quelle que soit la fonction doublement périodique 4>(3), on peut affirmer que le genre de f sera égal à Vanité, Il faut montrer qu'à un point arbitraire (^, y) ne correspondra qu'une valeur de z dans un parallélagramme. Dans le cas contraire, nous pourrions prendre un couple de points Zq^ z^ dans un même parallélogramme correspondant à un même point simple de la courbe. En xïo et >3|, la fonction <I> et sa dérivée 4>' auraient respectivement les mêmes valeurs; d'après l'équation différentielle, il en serait de même de toutes les dérivées de <I>. Donc le développement de ^{z) dans le voisinage de Zq suivant les puissances de z — Zq et le développement de ^(^) dans le voisinage de z^ suivant les puissances de z — ^1 auraient les mêmes coefficients. Il en résulte que Zq — Zs serait une période de ^, ce qui est absurde. Nous reprendrons bientôt l'étude des équations de la forme

qui ont fait l'objet d'un travail mémorable de Briot et Bouquet. Pour le moment, nous nous contenterons d'indiquer la forme de celte relation, si l'on a

^{z) étant une fonction doublement périodique ayant deux pôles simples dans un parallélogramme de périodes. Dans ce cas, Téqua-

tion sera du second degré en -j-y puisque à une valeur de x correspondent deux valeurs de z dans un parallélogramme. De plus,

dx les deux valeurs de -r- sont égales et de signes contraires. Soit,

en effet, l'équation

a étant une constante arbitraire; désignons par a et ^ ses deux racines dans un parallélogramme. Les résidus de la fonction doublement périodique

GoogI(

par rapport à a et ^ sont, d'après un théorème général, égaux et de signes contraires. On en conclut que

*'(a) et *'(?) sont égaux et de signes contraires. On a donc nécessairement

R(:r) étant une fonction rationnelle de x. Celte fonction rationnelle devra être un poljrnome, car -j^ est nécessairement fini

quand x est fini. Enfin ce poljnome doit être du quatrième degré, car, s*il était d'un autre degré, les pôles ne pourraient pas être du même ordre dans les deux membres.

On a donc finalement une relation de la forme

(dx\^ -j-j = Aa?*-i-Bx8-f-Car«-4-Da7 4-E,

les coefficients étant des constantes.

Notre fonction <> (2) résulte donc de Tinversion de l'intégrale elliptique de première espèce

dx

/Aa7*-hBa?3H-Ga?«-H Da; -t- È

inversion que nous avons étudiée dans un Chapitre antérieur (p. 38o).

GoogI(

566 CHAPITRE XYIII.