QUELQUES GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES
I. — Sur une représentation paramétrique des courbes gauches.
1. Nous terminerons ce Volume par quelques remarques relatives aux courbes gauches algébriques sans points multiples. Elles se présenteront simplement comme applications des théorèmes établis sur les courbes planes; il ne peut être question ici d'approfondir la théorie extrêmement difficile des courbes gauches algébriques (*).
Soit donnée une courbe algébrique ou une surface de Riemann
/(?,>3) = o, de genre/?.
Si Ton prend trois fonctions x^ y^ z uniformes sur cette surface de Riemann et ayant seulement des pôles, on aura défini une courbe algébrique, en général gauche. Supposons que ces trois fonctions aient [jl pôles simples communs. La courbe gauche sera, en général, de degré [jl. Soit, en effet, le plan
(*) Les Mémoires fondamentaux sur ce sujet sont le Mémoire de MM. Brill et NÔTHER {Mathemat. Annalen, t. Vil), le Mémoire d'HALPHEN [Classification des courbes gauches algébriques {Journal de V École Polytechnique^ lU* Cahier. 1883)] et le Mémoire de M. Nuthkr {^Académie des Sciences de Berlin^ 1882). Dans la Théorie des fonctions algébriques de deux variables de MM. Picard et Simart, on trouve divers développements sur les courbes ' gauches. (Tome I, Chapitre VIII et Tome II, Chapitre II, Section V.)
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GfiNÉR ALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 5^7
En remplaçant x^ y, z par leurs valeurs, le premier membre devient une fonclîon de (^, tj) du degré u, qui a, par suite, p. racines. On peut décomposer x^ y^ z en éléments simples, comme il a été expliqué au Chapitre XV (p. 473)* Soient
X = A -h «1 El -f- aj Ej -+- . . . -f- otjiEii.,
j^ = B-+-p,Ei-r- -+-P|iE^.,
« = C -f- YiEi -4- ->- ï|iiE|x,
on a les relations {J,oc. cit.)
et les relations analogues avec le ^ et les y.
En général, on tirera p de^ a en fonction des \i — p autres, et
de même pour les ^ et les y.
Si Ton a
on aura une relation linéaire entre ar, y, z^ et la courbe sera plane [à moins que les points (i, 7^) ne soient particuliers, auquel cas il pourrait y avoir plus de [x — p lettres a arbitraires]. Nous en parlerons plus bas.
Quand on a
(I) \^-pl^
on peut faire ainsi correspondre, point par point, à la courbe de genre/? une courbe gauche de degré (jl.
Le nombre des points doubles apparents (*) de cette courbe
(^) Nous avons déjà parlé (Tome I, page 373) des points doubles apparents d'une courbe gauche. II est à peu près évident que la perspective d'une courbe gauche sans points singuliers, prise d*un point de vue arbitraire, n*a que des points doubles. Pour qu'il en fût autrennent, il faudrait que par tout point de l'espace passât au moins une sécante triple. Ceci entraîne que toute sécante double soit triple, et il est aisé de voir que ceci n'est possible que pour une courbe plane. Soit en eiïet une courbe pour laquelle toute sécante double serait triple; partons de deux points arbitraires B et G de la courbe. Par hypothèse, la droite BG rencontre encore la courbe en un point A. Considérons le cône ayant A pour sommet et passant par la courbe; les tangentes en B et G à la courbe sont dans le plan tangent à ce cône le long de la droite ABC. D'où la conclusion que les tangentes en deux points arbitraires B et G de notre courbe se rencon-
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gauche est manifestement égal au nombre des points doubles de /, puisqu'une perspective arbitraire de la courbe gauche sur un plan quelconque et la courbe f sont deux courbes planes de même degré [jl, et se correspondent point par point. Nous désignerons par h ce nombre de points doubles apparents. L'inégalité (i) revient à
Dans ce cas, pour chaque degré [jl et chaque nombre A, on peut regarder les courbes comme formant une seule famille, correspondant à l'ensemble' des courbes planes de degré [jl avec h points doubles. Le nombre des constantes de cette famille est facile à calculer. Il y a les 3/? — 3 modules dans /, les [jl pôles (Ç, 7)), les 3([x — />) constantes a, p, y puis A, B, G, ce qui donne
3/> — 3-+- [JL-T-3([JL— />)-f- 3 ou 4fA. Ce nombre 4l^ est, fait bien remarquable, indépendant de h,
