XI. — Des lignes appelees normale, tangente, sous-normale

8008-tangente.

Soient MP (Jig' 8) l'ordonn^e y d'une courbe quelconque,

Fig.

yy

MT sa tangente termin£e a I'axe des x, MN sa normale ^galemen t termin^e a Taxe des x.

MT, la tangente, sera designee par T

MN, la normale, par N

PN, la sous-normale, par S n

PT, la sous-tangente, par S f

Soit j^ = -j-> nous aurons

dx

(i) PN = S n = y tangPMN =yf,

(a) MN = N = v/^-+- SJ = vVHi -+-/*) =y\/i +/«,

(3) TP = s , =7tangT MP = — ^ = J,

(4) MT = T = v/^S? = 7 V^+7 7 -

Theorems I. — Toutes les courbes qui pour une mime abscisse ont me me sous-notmale ont une difference de carres d'ordonnies constante, et reciproquement.

Soient, en effet, j' et z les ordonn£es des deux courbes : en

vertu de (i),

yf=zz',

l8 GHAPITRB 1.

on en conclut

y* = *«-*- const.

i ° L'hyperbolej' 2 = — s (x 2 — a 2 ) et son asymptote^ 2 = — x 2

ont une difference de carr£s d'ordonn£es constante et 6gale a b 2 , elles ont m£me sous-normale ; on en conclut un moyen 6l£gant de tracer la norm ale a Fhyperbole, quand on a trac6 les asymptotes.

2° Liquation de Tellipse est y 2 = — (a 2 — x 2 ), sa sousnormale est la m£me que celle des droites y 2 = — x 2 , mais

elle est dirig£e dans un autre sens; n6anmoins cela fournit une construction assez simple de la normale.

3° Dans la parabole y*= ipx, la sous-normale yy 1 est £gale a/?; elle est done constante : de la encore une construction facile. La parabole est d'ailleurs la seule courbe dans laquelle la sous-normale soit constante, car deyy = const. = p

on conclut — = px -+- const.

Theoreme II. — Lorsque dans deux courbes les ordonnies y t z, correspondant a une mSme abscisse x, sont proport ionne lies, les sous-tangentes sont egales, et reciproquement.

En effet, de liquation y = K.z on conclut. en supposant K constant,

y'=Kz' et £, = -,,

ce qui montre, en vertu de (3), que les sous-normales sont Egales; r£ciproquement, de

on tire

GfiOMfiTRlE PLANE. 19

ou, en appelant K une cons tan te,