XII. — Snr les coordonnees trilineaires
II y a souvent avantage k repr^senter un point M par ses distances k deux droits fixes CA et CB; soient (fig. 9)
MP = x, MQ =y ces distances ; si Ton prend CB pour axe des ordonn£es et CA pour axe des abscisses, les coordonndes MP's (*, MQ'= r\ seront liees k x et ky par les formules
sinC sinC
Ainsi la connaissance de £ et de 7j entrainera celle de x ety t et vice versa, de sorte que x ety seront, au m6me titre que $ et 71, des coordonndes du point M. Etant donn£e une figure par son equation
en coordonnees ordinaires, elle sera representee aussi bien par liquation
\sinC sinC/
en coordonnees x, y.
Cela pose, tragons une droile quelconque AB coupant AC et BC, appelons z la distance du point M a cette droite que
20 GHAPITRB I.
nous supposerons fixe; z dependra de x et dey et sera lie a ces variables par l'equation
ax •+■ by -h cz — 2*,
ou a, 6, c designent les cdtes du triangle ABC et ou s d£signe sa surface; on tire de la
/0 \ ax -\-by -\-cz
is
et liquation (2) s'ecrit alors
J x.is y^s "1 __
J [(ax-\-by-±- cz)sinC' (ax-t- by -\-cz)siaC]~ '
sous cette forme elle est homogene et ne contient plus que les rapports x \y \ z.
Les quantites x, y, z (et mime plus souvent des quantites 6gales a x, y, z multiplies par des facteurs constants) sont ce que l'on appelle les coordonnies triliniaires du point M, le triangle ABC est appele le triangle de r&firence. Les formules (1) et (3) permettent de passer des coordonnees ordinaires aux coordonnees trilin^aires et vice versa. On voit que ces formules sont generates, pourvu que Ton convienne, ainsi que nous le ferons, de regarder x, y y z comme positifs si, en les comptant a partir des c6t£s du triangle de reference, ils sont orients de la mime fag on que les coordonnees trilin£aires des points int£rieurs au triangle, et de les regarder comme n£gatifs dans le cas contraire.
Toute courbe, d'apr&s ce que nous venons de voir, a une Equation en coordonnees trilineaires, et Ton peut mime ajouter que toute courbe algebrique d'ordre m a une Equation de degri m en coordonnees trilineaires; ainsi, par exemple, liquation de la droite est du premier degre.
Mais la reciproque n'est pas vraie; nous allons voir, en effet, que toute equation du premier degri ne reprisente pas une droite.
GfiOMtiTRIE PLANE. 21
Consid6rons, par exemple, liquation
(i) Ix -+- my -+- nz = o ;
si nous rapportons le triangle de reference a deux axes rectangulaires situ£s dans son plan, les Equations de ses c6t£s
seront
£ cos a H-7j sin a — p = o, pour BC,
£ cos p -i- tj sin p — q = o, pour CA, £ cosy -t- t} sin y — r = o, pour AB,
a > P» T» Pi 9> r a y ant des significations bien connues; et l'on
aura
a? = £ cos or -h tj sina — /?,
liquation (i) deviendra alors, avec les coordonn6es ordinaires £, 7j,
{(/cosa -+- mcosjJ -+- ncosy)
•+- 7j ( / sin a -+- m sin (3 -+- /i siny) — Ip — mq — nr = o.
Cette Equation du premier degre* en $ et tj represente bien, en glnlral, une droite ; cependant, si l'on avait a la fois
/ cosa h- m cos p -+- n cosy = o, / sin a -h m sin p -h n sin y = o
ou
sin y cos P — sin p cos y ~~~ sin a cos y — sin f cos a
~~ sin p cos at — sin a cos p
elle ne repr^senterai t plus rien du tout. Or, si l'on observe que
sin f cos p — sin p cosy = s i n (Y — P)
et que v — (S est Tangle que font entre eux les cdte*s AB et AG du triangle de reference ou son supplement, on aura
sin A "" sinB "" sinG
22 GHAPITRB I.
et liquation (i) devient
x sin A -\-y sin B -+- z sin G = o ou
(a) ax -+- by -+- cz = o.
Nous avons vu que le premier membre de cetle Equation reprisente 2s, double de l'aire du triangle de reference; liquation (1) ou la prdc£dente ne repr£sente done rien.
On dit cependant alors que liquation (1) ou (2) repnSsente la droite de Vinfini. Expliquons cette locution : supposons que /, m, n, d'abord diflferents de a, 6, c, tendent vers ces quantit£s, mais de maniere que Ton n'ait pas constamment
Les coefficients de £ et 7j f diflerents de ze>o, tendront vers ze>o, les coordonn^es a Torigine de la droite (1) croitront ind^finiment, la droite en question s'^loignera ind^finiment et Ton pourra dire que liquation (2) repr£sente la droite de Vinfini.
Sans qu'il soit n^cessaire d'insister sur ce sujet, on voit qu'une Equation du second degre* en x, y, z pourra representer une droite ou m£me rien du tout; on dira alors qu'elle repre"sente deux droites, dont Tune est la droite de l'infini, ou une droite double situe'ea l'infini, etc.
Supposons que p 9 q, r, s, ... representent les distances d'un point a des droites P, Q, R, S, . . • , ayant pour equations respectivement, en coordonn^es rectangulaires,
x cos a ~+-y sin a — p x = o, x cos P -+-y sin p — q x = o,
toute Equation de la forme
f(x,y)=*o pourra, et cela d'une infinite de manieres, si p, q, r, .
GfiOMfiTRIE PLANB. Sl3
sont en nombre superieur a deux, se meltre sous la forme
J'ajoute que la fonction F pourra dire suppos£e homog&ne si p, q, r> ... sont au nombre de trois au moins, en sorte que toute courbe pourra £tre representee par une Equation telle que (i); mais toute Equation, telle que (i), ne repr£sentera pas necessairement une courbe situ£e a distance finie; Pi q, r, ... peuvent alors 6tre considers comme des coordonnees multilineaires.
XIII. — Tangentes en coordonnees mnltilineaires et en particulier
en coordonnees trilineaires.
Soit
liquation d'une courbe en coordonnees multilineaires (voir le paragraphe precedent) ; p, q, r, $, ... seront alors les distances d'un point de la courbe a des droites P, Q, R, S, ... representees en coordonnees ordinaires par
/ x cos a —y sin a — p x = o, (2) < a?cosp -r-j'sinp— q x = o,
L'equalion de la tangente a la courbe (1) est, en coordonnees ordinaires,
or on a
mais
[V = Vd £ + df dq +
\ dx dp dx dq dx ' ' ' '
\'dy dp dy dq dy ' " '
p = a?cosa -\~y sin* — p if (5) / ^ = 4? cos (J -f-j sin {3 — q u
24 CBAPITRE 1.
done
dp dp dq Q
£=cosa, ^=sma, £ = cosp, ....
Les formules (4) deviennent alors
■f- = -T- cos a-f -f cos B -+- . . . , ox op oq r
