X. — De la normale anx courbes

La normale a une courbe au point M est la perpendiculaire en M a la tangente a la courbe men£e en ce point. Liquation de la tangente aflectant l'une des formes

(X— x)dy — (Y— y)dx = o, (X-x)ft ^.(Y-y)/, =o,

(') Les conclusions auxquelles nous venons de parvenir dans les deux paragrapbes precedents peuvent etre modifies par la presence des poinls singuliers, mais nous ne pouvons pas examiner tous les cas qui peuvent se presenter, en ce moment. La meme remarque est applicable a un grand nombre de faits 6nonces dans les paragraphes suivants.

l6 GHAPITRE 1.

ou f= o designe l'equation de la courbe, liquation de la normale en coordonnees rectangulaires sera

(X — x)dx-Y-(Y - -y)dy — o,

II en r£sulte que/ et/ 2 sont proporlionnels aux cosinus des angles que la normale fait avec les axes. Quand on a f\ -h/l — i , A e *-A sont pre'cise'nient les cosinus en question. Pour mener une normale a la courbe /= o par un point ext6rieur (x , y )> on £crit que liquation de la normale est satisfaite par les coordonnees x , y Q ; on a alors

x --x ya—y

Cette Equation, jointe a/= o, fait connaitre les coordonnees du point (x, y), ou la normale rencontre la courbe. Si /est de degre m, Tequation pre"cedente est de degre* m aussi ; par suite :

Par un point exterieur on peut mener rri 1 normales a une courbe d'ordre m.

Exemple. — La courbe donn£e etant

liquation qui donne les pieds des normales est de la forme

Xv — x y v - -y

si Ton en lire x et y pour les porter dans l'equation de la courbe, on a

Cette equation a toujours deux racines replies ; on pourra done

to u jours mener deux normales r£elles a l'ellipse par un point exterieur.