XXII. — Des surfaces polaires reciproques
filant donn£e une surface du second degr£ par une equation en coordonn£es homog^nes
le cdne circonscrlt ayant son somraet en £, r n £, t la touche suivant son intersection avec la surface polaire, representee par liquation
(2) tte+*&+l&- hX di =S0 '
que Ton peut aussi £crire
et qui est dans le cas actuel un plan. Ce plan est dit le plan polaire du point ($, r n £, t). La forme de liquation (2) montre que, si le point (£, r n £, 7), que l'on appelle aussi le p6le du plan (2) ou (3) dccrit un plan, son plan polaire (2) contient un param£tre au premier degr£ et passe par un point fixe, et r^ciproquement. De m£me, si le p61e decrit une droite, le plan polaire passera par une droite, et r£ciproquement. Ces droites sont dites polaires Tune de l'autre.
Cela pose, etant donnee une surface quelconque
28o CHAPITRK IY.
cherchons par rapport a la surface (i) l'enveloppe des plans polaires de tous les points, nous obtiendrons ce que Ton appelle la polaire riciproque de la surface (4). Pour trouver cette polaire, il faudra chercher l'enveloppe du plan
df df df df
d\ J dri d* *- '
sachant que Ton a
0(?|TQ|
Si nous £crivons liquation du plan sous la forme
/an t d f d f r d f d f
on voit qu'il faudra eliminer £, *,, £» centre les Equations (5), (6) et les suivantes, obtenues en £galant a z£ro les determinants des premiers membres de (5) et (6),
<)<p <)tp
dx dy
do do I
dx dz
Plusieurs de ces Equations, bien entendu, sont supertiues; on peat les £crire
^? . df ^? . df do # df do (?/■ c)£ * Ox <h) ' dy ~~ d^ ' dz &z ' dt
Ces equations comprennent Tune des Equations (5), (6), car on peut £crire & leur suite le rapport
do
et Ton peut dire que la surface polaire que nous cherchons s'obtient en £liminant £, 7}, £, t entre (6) et (7) ou entre ( 7 )et(5).
Maintenant cherchons le lieu des pdles des plans tangents a la surface (4). Pour avoir le pdle d'un plan
Ax-\-By -*-Gz + Dt = o,
INFINIMENT PETITS DO I er ORDRE DANS L'ESPACE. 28 1
il suffit d'identifier son Equation avec le plan polaire (3) du point £, 7j, ^x;ona alors les Equations suivantes pour determiner le p6le
l d l - L d JL- L d X- L d l
ou, en changeant £, r n £, t en x, y, 3, t,
i d f = « ts = i v = i d J
A dx B dy G dz \) dV
Le plan tangent & la surface (4) est, en appelant £, 7j, £, t les coordonne"es du point de contact,
X$+Y?-+Z$-hT$=o, d£ dr, dZ^ dz
et son p61e sera donne* par les formules
dx' ~d\ dy* &r\ dz' d£ Ot ' &z
Pour avoir le lieu cherche, il faudra eliminerles coordonne*es £, Tj , £, t entre ces Equations et cp ( £, 7| , £, t) = o ; or ces Equations sont identiques a(5)et(7) qui nous ont fourni la polaire re"ciproque de <p = o; done toute surface pouvant £tre consid^rEe comme Tenveloppe de ses plans tangents est Tenveloppe des plans polaires des points de la polaire rEciproque : elle est done a son tour la polaire riciproque de celle-ci.
Si Ton Egale la suite des rapports (7) a 5 et si Ton fait
o r= AJ»-h AV-+- A'p-t-aBT,;
-+- aB'^ -+- 2B*fr -4- 2G$ -r- aC'r, 4-2CJ -+- D,
A, B, . « . dEsignant des coefficients constants, on aura
A J 4- B'tj -f- B' £ + Ct = 5 J£>
282 CUAPITRE IV.
En 61iminant £, 71, £, t, s entre ces equations et (6), on aura
dx B' A' B C ¥
dz
at
dx dy dz dt
Telle est liquation de la polaire r£ciproque d'une surface du second degr£. Si la surface (1) est la sphere
liquation de la polaire r6ciproque devient
On voit que la polaire d'une surface du second degre est du second degr£. La polaire d'un plan est un point. En general, la surface polaire de cp = o sera d'un degr£ superieur au degre de <p ; mais il est facile de voir que ce degr£ est precis^ment £gal a la classe de co. En effet, a tout point d'une figure correspond un plan polaire; si done on considere une droite rencontrant la surface <p = o en m points, & ces m points correspond ront m plans tangents dans la surface polaire, passant par la droite polaire de la droite propos^e; done, par une droite on peut mener autant de plans tangents a une surface qu'il y a d ; unit£s dans le degr£ de sa polaire r^ciproque. c. q. f. d.
Quand la surface f=o se r£duit k une sphere r6elle, il existe un moyen g£om£trique fort simple de cons tru ire la
INF1NIMENT PETITS DU l cr ORORE DANS l'eSPACK. ^83
polaire r^ciproque d'une surface donn^e. Soit M le point de contact de la surface cp et de son plan tangent MAB dont nous representons seulement la trace sur un grand cercle de la sphere; soient S le sommet du c6ne circonscrit suivant l e
Fig. 35.
cercle AB de la sphere, et OS la droite qui joint le centre de la sphere au sommet du cdne, p61e du plan MAB; S sera un point de la polaire r^ciproque de cp = o.
Soit P le point ou OS rencontre le point ABM ; on aura
OP x OS = R*,
R designant le rayon de la sphere. Done :
Pour avoir le point S de la polaire reciproque de cp = o correspondant au point M de cp = o, menez leplan tangent en M a cp = o et du centre de la sphere abaissez une perpendiculaire OP sur le plan tangent, prolongez cette perpendiculaire d'une longueur OS, telle qu'on ait
OP x OS = R*.
Le lieu du point P est ce que Ton appelle la surface podaire de cp = o par rapport au point O. Done :
La polaire reciproque d'une surface cp == o, par rapport a une sphere de rayon R, est la transformee par rayons vecteurs reciproques de la podaire de cette surface par
rapport au centre de la sphere, et le module de la transformation est le carre du rayon de la sphere (p. 245).
