XXI. — Deuxieme espece d'enveloppes

Une famille de surfaces peut d£pendre de deux param£tres variables. Ainsi liquation

represente une famille de surfaces. Les trois surfaces infiniment voisines

'(«, P) = o, /(a + rfa, p) = o, /(a, p-w/3) = o

se coupent en un certain point, qui, pour da. = o, r/j3 = o, a une position bien ddterminde. En effet, Intersection de ces

2y8 CHAPITRE IV.

trois surfaces est la m&me que celle des trois suivantes :

f =°> /+ £«**-*-• •• = <>, /-f-|jrfp-+-... = o ou

en passant aux limites. *

Si entre ces trois Equations on ^limine a, |3, on aura le lieu des intersections de trois surfaces cons^cutives ou ce que l'on appelle Yenveloppe des surfaces f= o.

On d£montrera facilement que :

i° Chaque enveloppee (ou surface de la famille) touche I'enveloppe, et que, reciproquement, si une surface touche toutes les surfaces d'une mime famille, elle est leur enveloppe.

2° Les surfaces enveloppes risultant de V elimination de a seul, ou de (3 seul, ont pour enveloppe I'enveloppe fixe, et deux enveloppes de families differentes se touchent.

3° Si une famille de surfaces etait donneepar des iquations de la forme

<fi(*> P> i X) = o,

?»(«i Pi i *) = <>>

le nombre des parametres a, . . . , \ etant super ieur de deux unites au nombre des relations cp, = o, . * . , v tl = o, on obtiendrait V enveloppe en iliminant a, p, . . . , \ entre les Equations pro posees et deux quelconques des suivantes :

II est entendu qu'on pourra faire usage dans les calculs de toutes les Equations, mais en se rappelant qu'elles rentrent les unes dans les autres.

Enfin, si les parametres a, [3, y, ...,), £tant au nombre

INFINIMENT PETITS DU l er ORDRE DANS l/ESPACE. 279

de Ti-t- 2, entraient dans les Equations proposes sous forme homog&ne, on 61iminerait ces param£tres entre les Equations de la forme

que l'on peut former avec les fonctions/, cp et les variables a > P* Yj 3, . . . ; quelques-unes de ees Equations, bien entendu, rentrent dans les autres.