XXIII. — Digression snr les surfaces apsidales
ConsicUrons une surface S. Par un point fixe O, faisons passer un plan P; il coupera S suivant une certaine courbe C. Soient OM une normale & cette courbe men6e par le point O, M le pied de cette normale. Par le point O, menons une perpendiculaire au plan P et, sur cette perpendiculaire, prenons OM' = OM. Le lieu du point M', quand on fait varier le plan P, est Yapsidale de la surface S, relative au point O.
Soient x, y, z les coordonn6es du point M-, x',y, z'les cordonn^es du point M', par rapport a trois axes reclangulaires passant en O. Soient dx, dy, dz les composantes d'un d£placement infiniment petit effectu£ k partir du point M sur la courbe C; 8.r, hy, 8z les composantes d'un deplacement infiniment petit effectu6 a partir du point M sur la surface S, mais perpendiculairement k dx, dy, dz. On aura
( i) rr 5 -hy* ■+- z* = x'* H-j'* -+- z\*,
(2) x' dx -f- y dy -\- z' dz = o,
(3) xdx -+-y dy -4- zdz = o,
(4) xx' -h yy' -*- zz' = o.
( 5 ) 3a? dx -h %y dy -h %z dz = o.
La premiere de ces Equations exprime que OM = OM'; la seconde exprime que OM' est perpendiculaire k la direction dx, dy, dz qui est situee dans le plan P; (3) exprime que OM est normale a la courbe C} (4) exprime que OM' est normale a OM, qui passe par son pied dans le plan P ; erifin (5) exprime que les directions dx, dy, dz et 8#, 8y, Sz sont perpendiculaires. Quand le point M d£crit le chemin dx, dy, dz, nous supposerons que le point M' d^crit le chemin dx\ dy*, d,
irs'FINIMEXT PETITS DU l er ORDRE DANS l'eSPACE. 285
q u and le point M d^crit le chemin 8,r, 8j', 85, nous supposerons que le point M' d£crit le chemin ox f , S^ 7 , 8*'. Les formules (i) et (4) donnent, en les differentiant,
(6) xdx -\-y dy -\-zdz = x'dx'-\-y'dy-h z'dz\
(7) x ox -+- y $y -+- z Iz — x' $x' -h y o/ -\- z' $z' ,
(8) x dx' -±- y dy' -\- z dz' — — x'dx—y'dy — z'dz,
(9) x§x' -±-yly' -t- zhz' = — x'lx — y'Sy — z'oz; en comparant (2) et (8), on a
(10) x dx' -\- y dy' -\- z dz' = o.
La sym&xie des formules (1), (2), (3), (4) et (10) montre que la surface S peut se d^duire de S' comme S' s'est d£duite de S; done :
Si S' est I'apsidale de S par rapport au point O, S sera aussi I'apsidale de S' par rapport au mime point,
Les formules (2) et (3) donnent
dx dy dz
yz' — zy' zx' — xz' xy' — yx' '
(2) et (10) donnent de m£me
dr dr' dz'
yz' — zy' zx' — xz' xy' — yx'
et, par consequent,
(11) dx : dx' = dy : dy' = dz : dz'.
Les directions dx, dy y dz et dx?, dy r } dz* sont done par alleles, et, par suite, on a, en vertu de (2), (3), (5),
x'dx'n- y'dy'^r- z'dz'=o,
xdx'-\- ydy'~+- zdz'=o,
&r rfar'-h Zy dy'-¥- bz dz'=o;
mais on a 1' identic
\dxSx\dx'Zx'-\dx'dx\Zx'Sx
= y £(dydz'-dy'dz)(!>y$z'-?>z?>y').
Or ^dx ox est nul, en vertu de (5), et dydz' — dz dy est nul aussi, en vertu de (i i); done il reste
2, dx dx' \ §x 02:' = o,
et, comme £.dx dx i r , en vertu de (i i), n'est pas nul, on a
ex ax -r- oy oy -h ozbz = o.
La direction ox, Zy, oz est done perpendiculaire a ox', of, oz 1 .
On a aussi l'identit£
2, dx dx' \ bx %x' — ^.dx^x^. dx' 8ar'
mais le premier membre de cette identite est nul, comme on vient de le voir; le second Test done aussi; done les directions dy §z — dz 8j% . . . , et dy'oz' — dz'hy', . . . sont rectangulaires, ce qui montre que :
Les plans tangents en deux points correspondants de deux surfaces apsidales sont rectangulaires.
En s'appuyant sur ce th£oreme et sur le dernier th6oreme du paragraphs precedent, on voit facilement que :
La polaire reciproque de Vapsidale de la surface S,par rapport a une sphere ay ant son centre en O, est Vapsidale de la polaire reciproque de cette surface.
L'apsidale d'un plan est un cylindre de revolution. L'apsidale d'une surface de revolution est de revolution. L'apsidale d'une sphere est un tore.
INFINIMENT PETITS DU I cr ORDRE DANS L'ESPACE. 287
Nous laissons au lecteur le soin de d£montrer ces the*oremes (Catalan, Bulletin de VAcademie royale de Belgique, 1869).
Nous allons chercher l'apsidale de rellipsoide par rapport a son centre; cette surface, tresimportante en Optique, porte le nom de surface des ondes.
