XXIV. — Surfaces des ondes lumineuses

Considdrons rellipsoide represente par liquation

Coupons-le par un plan central

(a) lx-r- my -+- nz — <»,

soit p l'undes axesde l'ellipse determined par la section (2); l'enveloppe du plan parallele a cette section situde a la dis-

tance — de cette section est ce que l'on appelle la surface des

ondes (k designe une constante).

Cherchons l'equation de cette surface : liquation qui donne p est (p.36o, t. I)

La question est alors ramene'e a la suivante : Trouver l'enveloppe du plan

(4) lx-\- my -^ nz — A*p =0,

sachant que

en posant, pour abr£ger, - = a, t = {J, - = y, - = v. Pour

trouver cette enveloppe, il faudra eliminer /, /n, n, v entre ces Equations (4), (5), (6) et les suivantes, obtenues en £galant a z£ro les determinants fonctionnels des premiers membres de ces Equations, a savoir

(7) (mz — ny)v > — sr==wt/iA: 1 (si : 2 i)»

(8) (nx — l z ) v z\rT- — TT = nlk *\-i i i * )>

(9) ((X— /Wa?)P > — = link* I — r — 75^ r ) •

Si Ton £l&ve ces Equations au carr6 et si on les ajoute en posant R a = x 2 -\-y 2 + s 2 , on trouve

En multipliant (8) par — ^ et (9) par jj- et en ajoutaot ces Equations avec (6), on a

Ik* V — T

Ik d'ou l'on tire, en vertu de (10),

et, par suite,

Multipliant cette Equation par x etajoutantavec ses analogues, on trouve

(,2) P ia«-P« -,£**a*-R* ;

INFIMMENT PETITS DU I cr ORDRE DANS L'ESPACK. 289

d'un autre c6t£, de (i i) on tire, en multipliant par Ivx et en ajoutant cette equation avec ses analogues,

(12) devient alors

rr* y 1 s*

-4- TTi rr- z =1.

R»-** a * Rl£vpi Ri-.^Y>

En posant

a* cette Equation devient

a? 1 -*-.? 1 -*-** — A* ** 4-7* ■+- ** — B* x 2 -h^-h^ — G 1 ou bien

Cette surface possfcde seize points singuliers dont quatresont r£els et ont pour coordonn£es (A > B > C)

7 = 0, x = =fc G

les points imaginaires ont des coordonn£es qui se d£duisent de celles-ci par des permutations tournantes; enfin qnatre autres points si lues sur le plan de l'infini appartiennent a la fois a un cercle et a une ellipse.