XXV. — Nouveau point de vue sons lequel on peat envisager
la surface des ondes.
Si, par le centre de Vellipsoide consider e au paragraphe precedent, on mdne une section plane, puis que Von eleve par le centre de Vellipsoide une perpendiculaire a L. — Traite d' Analyse, II. ** 19
cette section igale a Vun des axes de la section, le lieu des extremites de la droite ainsi menee sera la surface des ondes.
En effet, en conservant les notations du paragraphe precedent, les coordonn£es d'un point de la surface seront donnees par les Equations
(1) r = lp, y=mp, * = /ip;
pour avoir liquation du lieu, il faut lliminer Z, m, /i, p enlre ces equations, l'equation aux axes de la section, a savoir
et liquation
Or on tire de (1) et (3)
x i ^-j' i -hz i *
en portant ces valeurs dans (2), on a
v et, en chassant les denominateurs, puis en supprimant le fac teur commun x 2 -\-j' 2 -f- s 2 ,
(x* -hy* ■+■ z*)(a* x* -+- b\y* -i-c^z*)
(4) { — [a s (fc*-H c*)** +^(a« + c «)j'» -4- c s (« 2 -+- £')<=']
Cette Equation ne differe de liquation (i3) du paragraphe precedent que parce que A, B, C y sont remplaces par a, 6, c. Si Ton voulait que la surface (4) fut identiquea la surface (1 3) du paragraphe precedent, il faudrait la faire deliver d'un ellip-
soide ayant pour demi-axes non plus <z, 6, c, mais — > -r-' —
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INF1NIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS i/sSPACE. 29 1
II est facile de voir que les deux surfaces de l'onde ainsi obtenues sont polaires r^ciproques Tune de l'autre par rapport & une sphere concentrique et de rayon k. En effet, la premiere surface des ondes est l'enveloppe d'un plan P silue"
k la distance o = — du centre de Tellipsoide (i) du para-
graphe pr£c£dent que j'appellerai E; la seconde surface a ses points sur la droite le long de laquelle on compte la distance 8'= p du centre de rellipsoi'de E. On a done 88' = A-; cette relation determine pr£cis£ment les points de la polaire r6ciproque de la premiere surface par rapport k la sphere de rayon un.
Done la surface des ondes qui est du quatri&me degri est aussi de la quatri&me classe et il est facile d'obtenir sa polaire riciproque.
Un mot encore sur la surface des ondes : si Ton fait
liquation (4) est satisfaite; on peut done exprimer les coordonndes d'un point quelconque de la surface des ondes au moyen de \ et ja. En r£solvant les Equations pr6c£dentes et en posant
on trouve
dx dx
2(1 IT OJT -jr j- = o, ce qui prouve que les
29a GUAPITRE IV.
courbes d 'intersection de la surface des ondes avec les surfaces (5) et (6), ou X et u, sont constants, se rencontrent k angle droit.
