XXVI. — Surface apsidale de rellipsoide

L'analyse du paragraphe pr6c6dent montre que la surface

des ondes est une apsidale d'ellipsoide relative a son centre.

Cherchons directement la surface apsidale de rellipsoide

par rapport a son centre; entre les coordonn^es .r, y 7 z d'un point de rellipsoide et les coordonn^es du point correspondant x',y y z 1 de Tapsidale, on a alors les relations (p. 284)

(1) xx'-hyy-+- zz = o,

et, en exprimant que la normale & l'ellipsoide est dans le plan qui contient l'origine et les points x, y, z et x', \ J , s',

(yz'— zf) ^ -h (**'— xz') £ -h (x/—yx') ~ = 1 . Cette Equation peut s'^crire

Si entre (1), (2), (3), (4) on ^limine #, J', -3, on aura l'equation de Tapsidale. Si Ton fait

(a)et(4) donneiont

a**-' AV r 1 *'

INFINIMENT PBTITS DU I er ORDRE DANS L'ESPACE. 2$5

done, en verlu de (2), on a

a t X '% fry'l c \ z '\

e'est liquation de 1'apsidale cherchee et l'on reconnait une surface des ondes.

XXVII. — Sur les enveloppes des courbes gauches. Deux Equations de la forme

repr6sentent ce que 1'on appelle une famille de courbes dans l'espace. Chaque valeur de a fournitune courbe particuliere ; raais, en ge'ne'ral, une courbe quelconque,

(1) 0(^,7, *, a) = o, <K*,7, *, a) = o, ne coupera pas la courbe infiniraent voisine

(2) <?(#,/, *, a-4-Aa) = o, <K#, /, *, a-f-Aa) = o,

de sorte qu'il n'existera plus, comme en G6ometrie plane, de lieu d' intersections successives.

Quoi qu'il en soit, si, en bornant les approximations au premier ordre, e'est-a-dire en remplacant les Equations (2) par

(3) © -+- -r-J- da = o, <1/ -f- -?- a*a = o, v 'da 'da

les courbes (1) et (3)«e coupent, le lieu de leurs intersections portera le nom ftenveloppe. Pour qu'il y ait, k cet ordre d'approximation pres, intersection, il faut que les formules (1) et(3)soient compatibles ou, ce qui revient au m£me, que les suivantes le soient

294 CHAPITER IT.

en iliminant x, y, z entre ces Equations, on devra done avoir une Equation identique (quel que soil a).

Supposons cetle condition remplie; ['elimination de a entre les trois Equations auxquelles se riduit le systime (4) fournira ce que Ton appelle Yenveloppe des courbes considiries.

L'enveloppe est tangente a toutcs les courbes de la famille : en effet, les Equations <p = o, ty = o peuvent 6tre censies reprisenter l'enveloppe, si Ton y consid&re a comme tiri de

1'une des Equations £quivalentes -* = o, - =o; et il est facile de voir que -~- et -7- ont les mimes valeurs, que a soit constant ou donni par les formules -r? = o ou -~ = o.

r da da

Riciproquement, si les courbes (1) sont tangenles a une mime courbe, cette courbe peut itre considirie comme leur enveloppe. En effet, soit

le lieu des courbes donnies, la courbe tangente doit les rencontrer toutes, et le lieu des points de contact est sur F = o; on peut done le reprisenter par F=o et par une Equation

telle que

appartenant aussi aux courbes de la famille ; seulement, pour la courbe tangente, a sera une fonction convenablement choisie de #, y, z. Or, pour que les dx, dy, dz soient les

mimes, que a soit variable ou constant, il faut que — = o;

la valeur de a fournie par cette Equation est celle qui convient a l'enveloppe. Comme application, cherchons la condition pour que la droite

(1) x = az-\-p, y = bz-hq

touche une courbe. II faut que les Equations

o = z da -+- dpi o = z db -+- dq

INFINIMENT PETITS DU l er ORDRB DANS l'eSPACE. 2q5

soient compatibles avec les proposEes, ou que

da dq — db dp = o.

On pourrait trouver cette condition en identifiant les Equations (1) avec les suivantes

dx' dy dz'

OU

, , dx'

dz

qui sont celles d'une tangente a une courbe au point {x\y , -'); alorson aurait

dx' , dy' , , dx' , , dy'

dz dz r dz' J J dz

ou, en Eli min ant dx' y dy\ dz\

p = x — az'y q = y' — bz' f

dp ~ dx' — a dz' — z' da, dq == dy' — b dz' — z db. Done

dp db — dq da — dx db — dy' da — (adb — b da) dz

= dz'( adb — b da) — (a db — b da) dz' \

ou en fin

dp db — dq da — o.

Une mEthode analogue permettrait d'exprimer qu'une courbe mobile touche sans cesse une courbe fixe.

XXVIII. — Remarque sur les enveloppes de courbes. Si Ton considere la surface reprEsentEe par 1'equation

et les surfaces representees par les deux Equations

(2) o(x,y,z) = o, ty(x,y, -) = o,

2C,6 GHAPITRE IV.

chacune des surfaces (2) coupera (1) suivant une courbe, et ces deux courbes Irac^es sur la surface (1) se rencontrent aux points reels ou imaginaires dont les coordonnees sont les solutions communes a (1) et (2). Si, pour fixer les idees, on suppose les equations (1) et (2) algebriques, on sera tente" de dire que deux courbes algebriques trac^es sur une mime surface se rencontrent to uj ours en un nombre fini de points; et qu'en general deux courbes quelconques tracers sur une mime surface se rencontrent, pourvu que leurs equations ne p risen tent pas quelque singularity introduite pour ainsi dire tout expres pour faire tomber notre conclusion en dcfaul.

S'il en etait ainsi du reste, comme deux courbes quelconques peuvent toujours Itre censles appartenir a une meme surface, il en rlsulterait que deux courbes quelconques se coupent ordinairement, et, pour parler avec plus de precision, que deux courbes algebriques se coupent toujours, ce que Ton sait It re faux.

II y a la un paradoxe qu'il faut chercher a expliquer; et d'abord, il est incontestable que les courbes algebriques representees par les Equations (1) et(2) se coupent au sens analytique du mot et que si les Equations en question sont du degrl m, /i, /?, le nombre des intersections sera mnp.

Prenons maintenant deux courbes algebriques quelconques representees par les Equations

et

II y a toujours, avons-nous dit, une surface contenant ces deux courbes, par exemple la surface representee par Inequation

(5) 6o-h8 1 Gj 1 = o ou F=o,

et il est clair qu'il y en aurait une infinite d'autres. Le rai-

1NFINIMENT PETITS DU l or ORDRE DANS l'eSPACE. 297

sonnement en vertu duquel on conclurait que les courbes (3) et(4) se rencontrent consisterait a admettre que liquation F = o peut remplacer l'une des Equations (3) ou (4) et que nos courbes peuvent 6tre representees par les equations

et

Les courbes representees par les equations (6) et (7) se rencontrent bien effectivement (au sens analvtique du mot); mais elles ne sont pas identiques aux courbes representees par les equations (3) et (4): cette digression, peut-etre un peu naive, etait, je crois, necessaire a 1'intelligence de ce qui va suivre.

Nous avons vu que, pour trouver Tenveloppe de courbes representees par

(8) y(x f jr,z,a) = o, ty(r,y, *, «) = 0,

il fallait poser

en supposant ces equations compatibles, 1'elimination de a fournit l'enveloppe. Pour faire le calcul, on pourrait £tre tente d'eliminer a entre les equations (8), ce quidonnerait la resultante

et de remplacer le sysleme (8) par le systeme

alors l'enveloppe serait representee par la resultante de (1 1) et de

do

et elle existerait toujours, puisque -r- = o est une identity.

Effectivement, la courbe representee par les Equations (11) a une enveloppe, mais elle n'est pas identique a la courbe representee par les equations (8). La courbe (8) et la courbe voisine

?(.r, r, z> o+Aa) — o, 'l>(r, y, z, a — Aa) — o

sont bien sur la m£me surface F = o, mais elles ne se rencontrent pas pour cela, parce qu'elles ne sont pas identiques aux courbes representees par

<p(*,7, z, a) — o, F = o et

y(x, y, z } a -t- Aa) — o, F — . 0.

II va sans dire que, pour trouver l'enveloppe d'une famille de courbes, il ne faudrait pas non plus resoudre leurs equations par rapport au param&tre qu'elles contiennent.

En general, il faudra eviter de faire subir aux equations des courbes enveloppees une transformation pouvant modifier la nature de ces courbes.