XXIX. — Des surfaces developpables

Les surfaces enveloppes d'un plan mobile portent le nom de surfaces developpables pour une raison que nous exposerons plus loin ; de toutes les surfaces enveloppes ce sont les plus remarquables. La theorie generate des enveloppes prouve que :

i° Les surfaces d&veloppables sont re glees , c'est-d-dire sont engendries par le mouvement d'une droite (generatrice).

Cette generatrice est la caracteristique du plan mobile.

a Leplan tangent touche la surface tout le long d f une giniratrice ou caracteristique, et par consequent il n'y a

INFINIMBNT PBT1TS DC l er 0RDRB DANS L'eSPACR. 299

qu'un seulet mime plan tangent pour tous les points d'une mime giniratrice.

3° Les generatrices touchent toutes une mime courbe appelie arite de rebroussement,

Les generatrices d'une surface d^veloppable se rencontrent, au moins quand on se borne k consideVerles termesdu premier ordre, raais ceci a besoin d'etre edairci par quelques d6veloppements.

La plus courte distance de deux generatrices voisines, tangen tes &l'ar£te de rebroussement, est moindre que la distance du point de contact de Tune & la seconde; or cette distance est du second ordre; done la plus courte distance de deux generatrices est du second ordre, au moins, par rapport & l'arc de Tar^te de rebroussement ou par rapport au parametre qui entre dans liquation d'une generatricc. Nous allons prouver que cette distance est du troisieme ordre. Cela resulte du theoreme suivant :

Theoreme nE Bouquet. — Si la plus courte distance de deux droites contenant dans leurs equations un paramitre variable est d' ordre supirieur au premier , elte est au moins du troisidme.

Pour demon trer cette proposition, considerons une droite mobile

(1) x = az -'rpt y = bz -4- q

contenant dans son equation un seul parametre variable. Soil

(a) x = (a -+- Aa)s -+-/>-+- A/>, y = (b -h lb)z -h q -+- \q

l'equation d'une droite infiniment voisine; la plus courte distance h des droites (i) et (2) est donnee par la formule

/Aa* -+■ A6 J -+- (a A6 — b Aa )*

3 00 CUAriTRE IV.

Or, aux lermes du troisieme ordre pres, on a

Aa =-- da ■+- ^ d* a •+- . . . , Lb = db-*-id*b-*-....

La formule (3) donne alors, en negligeant les termesdu troisieme ordre,

, __ (dadq — dbdp)-*-\(d*adq -+- dad* q — d>bdp — db d*p)

yjda x -+- db* -+- (adb — bda)*

Si h est d'ordrc superieur au premier, dadq — dbdp est nul ; orle second groupe ecrit entre parentheses au numerateur de h est la diflerentielle du premier dadq — dbdp : il est done nul en m£me temps que le premier, el h est d'ordre superieur au second.

Dans les cones, qui sont les enveloppes d'un plan mobile passant par un point fixe, les generatrices se rencontrent rigoureusement au sommet qui est l'ar£te de rebroussement de la surface; dans les cylindres, cette ar£te est a l'infini.

Reciproquement, si la plus courte distance de deux generatrices d'une surface reglee est d'ordre superieur au premier, ces generatrices seront tangentes a une meme courbe ; en effel, on pourra identifier les equations (i) avec celles d'une tangente a une courbe

car Identification donne

dx dx

ass di' P = X - Z T*'

Pour que ces equations soient compatibles, il faut qu'il existe

dx

entre elles une equation de condition independante de -jz

et -y-\ eliminant -.- et ~t on a az dz dz

p = x — az, q—y — bz

INFINIMENT PBTITS DU I er ORDRE DANS L'bSPACB. 3oi OU

dp = dx — adz — zda, dq = dy — b dz — zdb et, en observant que dx = adz y dy = bdz,

dp = — z da, dq = — zdb et, par suite,

dp db — da dq = o.

C'est la condition pour que la distance de deux generatrices soit d'ordre sup^rieur au premier.

On peut arriver autre men t a ce r£sultat et trouver directement la condition pour que la droite

x = az -\-p, y = bz -+- q

aitune enveloppeou pour qu'elle soit tan gen te a une courbe a double courbure. En effet, d'apres la th£orie des courbes enveloppes, il faudra que les Equations

o = z da -+- dp, o = zdb -f- dq

soient compatibles avec les pr£c6dentes, ce qui donne encore

la relation

dp db — da dq = o.

Re'ciproquement, le lieu des tangentes a une courbe gauche est une surface d£veloppable. Nous verrons plus loin une demonstration analytique de ce fait; bornons-nous pour le moment a faire observer que le plan passant par une tangente paral [element k la tangente voisine est partout a une distance du second ordre de cette g6n6ratrice et par suite touche le lieu des tangentes tout le long de 1'une d'elles, et qu'il ne contient par suite qu'un seul parametre variable.

La plus courte distance de deux generatrices d'une surface developpable ne peut jamais £tre d'un ordre superieur au troisieme (nous entendons par la qu'elle ne peut pas resteer de cet ordre); en effet, pour que cette distance fut du quatrieme ordre, il faudrait que, dans Texpression

302 CUAP1TBK 1Y.

de AaAgr — A6A/>, les termes du quatri&me ordre fussent nuls, ou que Ton eut, outre les relations

(a) da dq — db dp — o,

(b) dad*q -\-d*adq — dbdtp — d*bdp — o,

la suivante :

( \(dad*q-dbd* P )

\ + \{d*ad*q — d*bd*p) \-\(dq d*a — dp d*b) ^o.

Or, en diflferentiant (6), on a

dad*q -\-d % adq—db d*p — d*bdp-\- •id i ad l q — %d*b d*p = o ;

en vertu de cette relation, (c) devient

{d) d*a<Pq —d*bd*p = o\

or, en diflfcrentiant les Equations

x = az -+-/>, ^ = 6,s-*-£, on a

dx = a dz -\- z da -^ dp, dy — b dz ->r z db -\- dq\

mais ofx = ac&j, c/p = bdz y car la droite mobile est tangente au lieu des points x, y, z\ il en r^sulte

z da 4- dp = o, z db -\- dq ~ o

et, en difKrentiant,

^ t/* a -t- c/a dk -+- c?*/> =o, z d* b -\- db dz -\- d* q — o.

En £liminant £, il vient

(dad i b — dbd i a)dz -\- d % p d % b — d*q d*a = o.

En g£n£ral, rfs n'est pas nul (s'il Tetait, z serait constant] et le lieu des points x, y> z serait alors une courbe plane) ;^si Ton a alors egard a la formule (rf), on a

(e) dad 2 b — dbd i a = o

INFINIMENT PETITS DU I er ORDRB DANS L'eSPACE. 3o3

ou bien

da d log da =

" db

= d log db.

On

i en

conclut,

en appelant k da-

une constante,

-- kdb

el,

par

suite,

a = kb -+- A',

ft t* fi\ r

k' d£signant une nouvelle constante; or a = -j-> 6= ~- *

done

eke -= kdy -+• k dz ;

on en conclut, en appelant k" une nouvelle constante,

x = ky -r- A'>3 -+- A"',

ce qui prouve que la courbe lieu des points x,y,z est plane, et par suite la distance de deux tangentes est rigoureusement nulle-, cette distance ne peut done 6tre qu'accidentellement d'ordre sup^rieur au troisieme.