XXX. — Equation differentielle des surfaces developpables
Une surface developpable peut 6tre representee par liquation d'une envelopp£e (plan quelconque dont les coefficients p, q> 6 sont fonctions d'un raerae para metre a)
(i) z=px + qy + b,
et par sa derivee prise par rapport a a
Les formules (i) et (2) repr£sentent une g6n£ratricc rectiligne (caracleristique) ou la surface, a volont6, suivant que a est constant ou variable. L'ar&te de rebroussement est fournie par (1) et (2) et la dlrivle de (2)
3o4 CHAPITRE IV.
On remarque (Tabord que, /?, q et 6 £tant fonctions d'lin meme param&tre, q est fonction de p\ soit
On a d'ailleurs
dz dz
P ~~ dx ' <ty*
car (i) est l'equation d'un plan tangent. On peutle constater en diflerentiant (i) par rapport a x, en y regardant a comme fonction de x ety deduite de (2); on a alors
- d -=P+{p^qy^)^
ou, en vertu de (2),
dz
Le caract&re fond amen tal des surfaces d£veloppables, ce qui en fait pr£cis£ment des surfaces exceptionnelles, c'est que le plan tangent renferme un seul param6tre variable et que ce plan ne peut £tre assujetti qu'a une seule condition, telle que de passer par un point. Dans la sphere qui n'est pas diveloppable, le plan tangent peut 6tre assujetti a deux conditions : ainsi Ton peut mener a cette surface un plan tangent passant par deux points donnas.
On peut d'ailleurs prouver que, s'il existe entre p et q une relation
la surface representee par cette Equation diffirentielle est developpable. En effet, le plan tangent a la surface en x, v, z
est
OU
en posant, poi r abr£ger,
== z — px — qr.
INFINIMBNT PBTITS DU I er ORDRE DANS l'eSPACE. 3o5
U est facile de prouver que 8 est une fonction dep seul; en effet, en observant que dz est £gal kpdx + qdy, on a
d8 __ dp dq
dx ~~ dx * dx'
dft dp dq
dy dy J dy
Si Ton forme le determinant . , \ > on trouve
* \dx dy dy dx)
ou
d ( x iy)
c'est-a-dire z£ro, puisque, q 6tant fonction de /?, d( l doit
fitre nul. Ainsi done, si la relation q = <f(p) est satisfaite, le plan tangent ne contiendra qu'un seul para metre variable dans son Equation. La surface en question est done 1'enveloppe d'un plan qui ne contient qu'un seul parametre variable ; par suite elle est dlveloppable. Ainsi, en r£sum£ :
Pour que le plan tangent a une surface renferme deux paramitres variables ou pour que la condition d'itre tangent & une surface soit simple pour un plan, il faut et il suffit que la surface ne soit pas developpable, ou qu'il n'existe pas de relation entre p et q.
La relation q = <p(/>) est parfois remplac£e par une autre plus facile a verifier. Voici comment on l'obtient :
Quand deux fonctions p et q de x et de y sont fonctions Tune de l'autre, leur determinant fonctionnel est nul; et, r£ciproquement, si leur determinant est nul,/? et q sont lies par une relation telle que q = <?(p) \ posons
dp d*z dp dq d*z
~~ dx ~" dx 2 ~~ dy ~" dx ~~ dxdy
dq __ d*z
~~ ty ~~ dy*
3o6 CHAPITRE IY.
Le determinant dep et q sera
= rt — **
et, par suite, les deux relations
ou (f est indetermin£, et
(5) rf — s* = o
seront ^quivalentes; cette relation (5) appartient done exclusivement aux surfaces developpables.
Theoreme. — Le lieu des tangentes a une courbe & double courbure est une surface devetoppable.
Soient, en eflet, a, (3, y les coordonn£es d'un point d'une courbe a double courbure ; si 1'on designe les d£riv6es prises par rapport k y au moyen d'accents, les Equations de la tangente k la courbe consid£r£e au point (a, (3, y) seront
ir-P = ?'(^-Y).
Si Ton suppose a et (3 exprim6s en fonction de y au moyen des equations de la courbe, l'£limination de y fera connaitre liquation du lieu des tangentes. Or ces equations (i), prises simultanement, peuvent etre censdes repr£senler le lieu des tangentes, et, en consid^rant y comme une fonction de x 7 y^ z d£finie par Tune d'elles, on pourra diflferentier ces Equations par rapport a x et a y, ce qui donnera
INFINIMENT PETITS DU l er ORDRE DANS l'eSPACE. 3oy
de ces Equations on tire
Si Ton elimine —■ et ^> £ — y s'^limine en m^me temps, et i'on a
j £ PL*
p el q sont done fonctions de y seul, c'est-&-dire qu'ils sont fonetions l'un de l'autre ; la relation
caracteYistique des surfaces d£veloppables, est done satisfaite.
Ainsi, en r£sum£, nous avons deux modes de generation des surfaces d^veloppables :
i° Par enveloppe d'un plan mobile;
2° Par le mouvement d'une droite qui reste tangente a une courbe ou, ce qui revient au m£me, qui se meut de telle sorte que sa plus courte distance avec la droite voisine soit du troisieme ordre.
II est d'ailleurs facile de constater que la plus courle distance de deux tangentes d'une courbe k double courbure est du troisieme ordre, car la relation
da d £ — dbdoi = o
est satisfaite en remplagant a par a', b par [3', a par a — ya' et £ par p — y£'.
Mais il faut remarquer que la distance d'un point de la courbe k la tangente men^e par le point voisin n'est que du second ordre : si Ton cherche, en effet, la distance h du point x -f- A.r, y -H A/, z -f- As k la droite
dx ~~ dy ~~ dz
3o8 CHAPITRE IT.
on trouve
u\ __ (dzty — dykz)*-*- (dxbz — dzbx)*-h (dykx — dxhy)* m "~ dx* -+- dy* ■+- dz* '
en remplacant A# par dx •+• £ d 2 x + • • • , on a .
, f __ (dzd*y — d l zdy) t -\-(dxd l z — dzd*x)*-\-(dyd*x — dtydx}* ~~ 4 (dx* ■+- dy* ■+- ate*) "
A 2 est du quatrieme ordre au moins; done h est du second ordre ct il est facile de voir qu'il n'est jamais d 'ordre supe"rieur, sans quoi il faudrait que Ton eut a la fois
dzd*y — d*zdy = o, dxd x z — d*xdz = o, dyd % x — dxd*y = o
ou
dtx __ d % y __ d x z
dx ~~~ dy ~ dz
ou
diogdx = dlogdy = d log dz;
il en rdsulte que
\ogdx -+- log a = logdy ■+- log 6 = logife -+- logc,
a, 6, c designant des constantes arbitraires dont le nombre se r£duit a deux distinctes. On en conclut
adx = bdy = cdz
ou
ax -\- a' = by -\- b' = cz -\- c\
a', b\ d designant de nouvelles constantes. Ces Equations sont celles d'une droite et, par suite, la distance d'un point d'une courbe propremenl dite k la tangente voisine est du second ordre. Accidentellement, cette distance pourra e*tre du troisieme ordre, mais cette circonstance ne saurait se presenter tout le long de la courbe.
INFINIMBNT PBTIT9 DU I** ORDRE DANS i/ESPACE. 3o9
