XXXI. — Surfaces touchees par nn plan suivant une ligne

Nous avons vu que le plan tangent a une developpable la touchait tout le long d'une g£neratrice rectiligne; on pent prouver que r^ciproquement :

Si une surface est toujours touchie par son plan tangent suivant une ligne : i° cette ligne est droite; 2° la surface est developpable.

En effet, si le plan tangent touche la surface suivant une ligne, il restera le m£me quand le point de contact (#, y, z) d6crira la ligne en question; si alors F = o est liquation de la surface e t/( x, y, z, a) = o liquation des lignes de contact,

p = j- et q = -£- seront des fonctions du seul pararri&tre a,

en sorte que l'on en conclut que

p = fonct. (q),

c'est-&-dire que la surface est developpable.

On peut d'ailleurs prouver que, tout le long d'une ligne suivant laquelle un plan touche une surface, on a

rt — s* = o

de sorte que, si partout une surface est touchie par un plan suivant une ligne, cette surface est developpable.

Pour d£montrer cette proposition, il suffit d'observer que, le plan tangent ayant pour equation

cette Equation devra rester la m£me quand on changera x enj-f- dxj y eny -+- dy et z en z -h Az ; or elle devient alors

Z — z — Lz =p(X — x — dx) -+- q(Y —y — dy)\

et il faut que

A£ = pdx -+- qdy = dz ou As — dz = o ;

3lO CHAPITRE IY.

done, en vertu de la formule de Taylor,

ce qui exige que

Liquation

(i) rdx x -\- isdxdy-±- tcty* = o

determine la direction dx^ dy le long de laquelle il y a contact, et Ton voit qu'en g£ne>al il existe deux directions dans lesquelles le plan tangent reste, en se depla^ant, senaiblement parallele a lui-m£me ; mais, si Ton veut qu'il reste rigoureusement fixe, il faudra exprimer que dp = oetdq=Oj ou que l'on a a la fois

rdx-\-sdy =o, sdx-\-tdy = o,

ce qui donne rt — s 2 = o; liquation (i) a alors ses racines 6gales et les deux directions, dans lesquelles le plan tangent ne se de*place presque pas, sont confondues.