XXXII. — Circonscrire une developpable a one surface donnee
Liquation q = ?(/>) ou
caract£rise, comme nous avons vu, les surfaces developpables.
Supposons que, dans cette formule (i) (qui est une identity quand il s'agit d'une surface d£veloppable), on remplace p et q par le p et le q d'une autre surface S quelconque; liquation (i) cessera d'etre identique, elle £tablira une relation entre les coordonnles des points de la surface S; elle repr£sentera alors le lieu des points de cette surface S, pour lesquels le plan tangent est celui d'une d^veloppable ; (i) est done liquation de la courbe de contact d'une d^veloppable cir-
INFINIMENT PETIT8 DU I er ORDRK DANS l'eSPACB. 3ll
conscrite. Si Ton suppose que la surface S ait pour Equation
la formule (i) peut 6tre remplac£e par
ou F repr&ente alors une fonction homog&ne.
Une question se pose imm£diatement : Peut-on circonscrire a une surface donnle une d£veloppablc suivant une courbe donn^e trac^e sur la surface? La r^ponse k cette question sera affirmative, si Ton observe qu'on obtiendra une d£veloppable circonscrite suivant la courbe donn£e, en cherchant l'enveloppe des plans tangents k la surface men£s par les points de la courbe donn£e.
II n'en est plus de m^me quand on se donne la relation F(p 7 q) = o y par exemple quand on dit que la surface circonscrite est un c6ne ou un cylindre.
C'est ici l'occasion de faire connaitre une nouvellc m£thode pour circonscrire un c6ne ou un cylindre k une surface. Pour circonscrire le c6ne, on peut chercher l'enveloppe des plans tangents k la surface passant par le sommet cens£ donn£ du c6ne. Pour circonscrire un cylindre, on cherche l'enveloppe des plans tangents parall&les k une droite fixe.
Par exemple, liquation g£n£rale des plans tangents k un ellipsoide est
(1) x cos a -\-y cos (3 -\-z cosYH-/« 1 cos , an- b* cos 1 p -+- c 1 cos 1 y = o; si l'on pose
(2) X cosa-t- [i cos p + v cosy = °»
ce plan tangent sera parall&le k une droite fixe son enveloppe s'obtiendra en observant que
(3) cos*a-t-cos*|3-+-cos*Y = 1
3l2 CHAPITRB IV.
et en £liminant a, (3, y entre (i), (2), (3) et
x ■+- =r a* cos a yH-=r6*cos3 * -i- ?c 0*0057 R ^ R r R -
cos a cos (3 cosy ;
R d£signant, pour abr£ger, le radical. Les calculs auxquels conduit cette m£thode paraissent moins simples, en general, que ceux que nous avons indiqu£s plus haut.
Le probleme qui consiste a circonscrire une developpable a une surface donn£e est ind£termin£, tant qu'on ne fait pas connaitre la nature de la developpable que Ton veut circonscrire. Le probleme devient parfaitement determine quand on se propose de circonscrire une developpable a deux surfaces donn^es; cette developpable peut se definir : l'enveloppe du plan tangent commun aux deux surfaces. G'est dans un autre Chapitre que nous verrons le r6le important de cette developpable.
Nous aurions encore un bon nombre de questions a r6soudre sur les d£veloppables, mais ces questions seront mieux placets ailleurs, ou nous disposerons de moyens plus puissants pour les etudier.
