XXXIII. — fitymologie du mot developpable

Considerons une surface developpable. SoientMN son ar£te de rebroussement, M'N' une section plane ; soient MM' et NN' deux generatrices. Menons dans le plan de la section plane la tangente M'N" a M'N'; le plan M M'N" sera tangent & la surface. Prcnons sur M'N" une longueur M'm n = M'/w'et par le point rri 1 menons une droite m n T m w dans le plan tangent qui fasse avec M'N" un angle 6gal a Tangle que mm' fait avec la courbe M'N'; prenons enfin m ,r m m = m'm, la courbe lieu des points rri' sera dite la transformed de MwN. Plus generalement, si Ton prend m l, a'= m'a, le point a' sera le transforme* de a et une courbe decrile par le point a sur la surface

INFIN1MENT PETITS DU I er ORDRE DANS l'eSPACE. 3l3

developpable aura pour transformie le lieu des points correspondants a! de a. L'ensemble des figures transformies, de celles qui sont trac^es sur la developpable, constitue ce que l'on appelle le developpement de la surface.

Quand on fait le developpement d'une surface developpable, les courbes transform^es sont egales en longueur a

leurs correspondantes. Si, en effet, on suppose m!N f infiniment petit, tout quadrilat&re tel que abm'W sera £gal a son correspondant a!b f m"N" par construction ; done ab sera egal a sa transformee a'b f aux termes du troisi&me ordre pr£s ; en appelant ds et ds' ces deux arcs, on aura done ds = ds! ou5 = s r .

II r^sulte de la que, si Ton fend la surface suivant des generatrices voisines et si Ton fait tourner chaque element de surface autour de ses bords rectilignes de mani&re a amener toutes les generatrices dans un m&me plan, elle coi'neidera avec la figure transformee ; elle est done susceptible de se developper et de s'etaler sur un plan.

II estbond'observer que les courbes qui coupen ties generatrices a angle droit deviennent apr£s le developpement les developpantes de la transformee de Tardte de rebroussement.

3f 4 CHAPITRE 1Y.