XXXIV. — Theorie des developpables isotropes
Prenons des coord onn£es rectangulaires :
Liquation des spheres de rayon nul ay ant leur centre en a, (3, y est
cette Equation peut 6tre cens£e repr£senter un c6ne imaginaire desommet a, (3, y; unpareil c6ne, asymptote de toutes les spheres ayant leur centre en a, (3, y> s'appelle un cdne isotrope, ses generatrices sont ce qu'on appelle des droites isotropes. Si Ton designe par a, b, c les coefficients directeurs d'une droite isotrope, on auraalors
cette Equation caract£rise les droites isotropes qui, en vertu mime de cette Equation, sont perpendiculaires sur ellesm£mes. Si Ton suppose c = o,onaa 2 + 4 2 = o, et Ton voit que les droites isotropes du plan des xy ontpour coefficients
angulaires =L y/ — i .
Un plan isotrope est un plan asymptote de sphere; c'est, si Ton veut, un plan tangent a un c6ne isotrope. Pans un plan isotrope, les ombilics sont confondus. Deux plans isotropes infiniment voisins se coupent suivant une droite isotrope, et deux droites isotropes infiniment voisines se coupant en un point a, (3, y determinent un plan isotrope.
Toutes les spheres passent par une conique fixe situ£e dans le plan de Tinfini, qui est imaginaire et que nousappellerons Yombilicale (Laguerre) ou le cercle imaginaire de Tinfini. Cette conique ombilicale est d'ailleurs le lieu des ombilics de tous les plans de l'espace.
Toutes les droites isotropes passant par un point de l'espace forment un cdne isotrope ou une sphere de rayon nul ayant son centre en ce point.
INFINIMENT PETITS DU I er ORDRE DANS l'eSPACE. 3l5
L'ombilicale est le lieu des traces de toutes les droites isotropes sur le plan de l'infini (t = o).
Par une droite quelconque passent deux plans dont les traces sur le plan de l'infini touchent l'ombilicale : ces plans sont dits plans isotropes relatifs k cette droite.
On appelle d&veloppables isotropes celles dont les generatrices sont isotropes ; elles sont par suite des enveloppes de plans isotropes.
A toute surface on peut circonscrire une d^veloppable isotrope qui sera dite diveloppable iso trope de cette surface.
Les d^veloppables isotropes jouissent de cette propriety curieuse que leurs normales sont precisement leurs generatrices. En effet, consid£rons une droite isotrope ; cette droite est une g£n£ratrice du c6ne
(*-«)*-»- (y - p)* -h (3 - y) 2 = o; on peut done la repr£senter par
(l) °^—^ =Z^1 = ±Hl = p a J + 6«4-c l =0.
Si l'on veut que cette droite engendre une d^veloppable, il faut exprimer que dans une quelconque de ses positions elle rencontre la droite voisine. A cet effet, £crivons (i) ainsi :
x = a-\- ap 7 y = $ -h bp, z = y-\-cp; la droite voisine a pour Equations
x = a-t- rfa-+-(a-4- da) p -h (p -+• dp) a, ...;
l'eiimination de x, y, z 7 p, dp conduira & liquation de condition cherchee. L'£limi nation de x 9 y, z se fait par sous traction, et Ton a
o = cf(x + arfp4-p da,
o = d$ ■+- b dp -4- p db, o =z dy -+- c dp ■+■ p dc\
on ^limine p et dp en multipliant ces Equations par a, b, c et en observant que,. a 2 + b 2 -f- c 2 £tant nul, on a
a da -f- b db -+- c dc = o ;
3l6 CHAP1TRB IT.
on a alors, en ajoutant,
a da -+- b d$ -+- c dy = o,
ce qui montre que la direction a, b> c de la g£ne>atrice est perpendiculaire a celle de la ligne rfa, <f(3, dy trac£e sur la surface; or la direction a, b, c est d£ja perpendiculaire a elle-m&me puisque a 2 -f- b 2 -+- c 2 == o ; done la gene>atrice d'une developpable isotrope est normale a la surface.
La developpable en question doit 6tre telle que, si l'on
dz dz
pose p = -T- , q = — , on ait
ce qui exprime que la normale a la surface est normale a elle-meme. R£ciproquement, cette Equation est celle d'une developpable : pour avoir son Equation finie, il faut chercher l'enveloppe du plan repre'sente par l'equation
Z=pX-hq Y -+-/(/>),
ouf(p) est quelconque et ou q = y/i -+-p 2 \/ — i- La caracteristique, ou la g6n£ratrice de l'enveloppe, sera donnee par liquation prec^dente et sa derived
Les coefficients directeurs de cette droite sont
et la somme de leurs carres fait o. Done la g6n£ratrice est isotrope : ainsi l'equation
caracteYise les developpables isotropes.
