sina-f- -f- sin 8 -+-..., oy op oq r

et (3) donne, pour liquation de la tangente,

[(X — a?) cosa-h(Y — ^)sina] ^~ -+-[(X — a?) cosp h-(Y— jOsinP]^ -+-... = o

ou, en vertu de (5) et si Ton appelle P, Q, R, . . . ce que deviennent p, q, r, ... quand on y remplace x par X et y par Y, e'est-a-dire les distances des points X, Y, . . . , aux droites P, Q, R, . . . ,

si liquation (i) est homogene, on a

*>op-*-1di-*--' ==mf=0 > m d£signant le degr£ de/, et (6) devient simple men t

op oq or

Telle est la forme remarquable qu'affecte liquation de la tangente en coordonn£es multilin£aires.

En coordonn£es trilinlaires, par exemple, liquation de la tangente a la courbe

au point (x, y, z) 1 est

ox oy os

GfiOMfiTRIB PLANE. 25

Pourfaire une application des considerations pre^dentes, cherchons a exprimer que liquation du second degre"

/= Arr*-+- k'y*-\- A***— iByz -}- 2B'xz -4- iB'xy — o

repr^sente une parabole. II suffit d'exprimer que cette courbe est tangente a une droite qui s'est 61oign£e ind^finiment; en d'autres termes, elle est tangente a la droite de l'infini

ax-\- by -+- cz = o,

ou, en appelant X, Y, Z les coordonn^es courantes,

aX+6Y4-cZ = o;

pour que cette droite soit tangente a la courbe /= o, il faut qu'elle puisse s'identifier avec liquation d'une tangente

ait

dy '

df df

x -f- -4-y ±- -t-z dx dy

ax -\-by -+■ cz

Si Ton £gale ces rapports a p et si l'on observe que

dx J dy A ~ J

si enfin on remplace les d«5riv£es de/par leurs valeurs, on a

d'ou Ton tire

Ax -*- B"y -r- B' z — p a B'x-+- A'/ + B * — p& B^—B^ +A'^ — pc

ax-\-by -hcz = o;

Telle est la condition pour que la conique touche la droite

ax -+- by -f- cz = o ; si cette droite est la droite de l'infini, c'est-&-dire si a, 6, c soot les cot^s du triangle de reference, liquation prec^dente exprimera que la conique en question est une parabole.